不等重復試驗的多因素方差分析

李沅遙，李晨曦，李 雯

(宜賓學院 理學部，四川 宜賓 644007)

生產活動和科學試驗中，結果的產生往往受多個因素影響，不同因素對結果的影響存在差異。方差分析[1-2]是根據試驗數據推斷一個或多個因素在其水平發生變化時是否對試驗結果產生顯著影響的一種數理統計方法。

教材[1-2]給出了單因素方差分析和有無交互作用的雙因素方差分析的基本理論。戴金輝[3]等將有無交互作用的雙因素方差分析進行比較，完善了雙因素方差分析理論。陳崇雙[4]等對單因素與雙因素方差分析進行了線性回歸模型重構，證明了方差分析的顯著性F檢驗與回歸方程的顯著性檢驗等價。但在實際的生產活動中，影響因素往往是3個及以上，針對這類問題，劉曉華[5]給出了重復試驗次數相等時的多元方差分析模型，但由于試驗材料昂貴等因素，不等重復試驗經常出現。基于王石青[6]和俞純權[7]的不等重復試驗的雙因素方差分析，以三因素方差分析為例，進行嚴格的數學推導，并用乙醇偶合制備C4烯烴的實例加以說明。

1 不等重復試驗的三因素方差分析

為減少損失，在正式生產前會對影響結果的因子進行試驗。由于客觀因素(時間、成本昂貴等)不等重復試驗經常出現。以不等重復試驗的雙因素方差分析為理論依據，將影響因素拓展到3個，建立了不等重復試驗三因素方差分析的數學模型。

1.1 模型建立

假定某項試驗受3個因素的影響，分別為A、B、C。因素A有l個水平，記為A1、A2、…、Al，因素B有m個水平，記為B1、B2、…、Bm，因素C有r個水平，記為C1、C2、…、Cr。在(Ai,Bj,Ct)組合下進行了nijt次試驗，Xijtk表示在組合(Ai,Bj,Ct)下進行第k次試驗所得的觀測值，每個樣本相互獨立且服從正態分布Xijtk～(μijt,σ2)。

各因子的主效應及交互效應定義為：

αi=μi??-μ為因子A的主效應；

βj=μ?j?-μ為因子B的主效應；

γt=μ??t-μ為因子C的主效應；

ηij=μij?-αi-βj-μ為因子A和因子B的交互效應；

ηit=μi?t-αi-γt-μ為因子A和因子C的交互效應；

ηjt=μ?jt-βj-γt-μ為因子B和因子C的交互效應；

ηijt=μijt-(μij?-μi??)-(μ?jt-μ?j?)-(μi?t-μ??t)-μ為因子A、B和C的交互效應。

不等重復試驗的三因素數學模型為：

(1)

在此模型下進行研究分析，任意因子、兩因子的交互作用、三因子的交互作用對試驗結果的影響是否顯著，只需判斷因子水平的改變對試驗結果是否造成明顯改變。現檢驗因子的各水平效應及因子間的交互效應是否相等，作出以下7個假設檢驗：

H0A：αi=0，i=1、2、…、l

H0B：βj=0,j=1、2、…、m

H0C：γt=0,t=1、2…、r

H0AB：對任意i、j，均有ηij=0

H0AC：對任意i、t,均有ηij=0

H0BC：對任意j、t,均有ηjt=0

H0ABC：對任意i、j、t,均有ηijt=0

1.2 模型分析

為研究不等重復試驗的三因素方差分析，引入以下符號：

由(1)可得以下式子：

(2)

基于不等試驗次數的雙因素方差分析中平方和的分解思想，不等重復試驗的三因素方差分析的總偏差平方和可分解為：

(3)

偏差平方和分解為：

(4)

SE、SA、SB、SC、SAB、SAC、SBC、SABC分別為誤差、因素A、因素B、因素C、AB交互作用、AC交互作用、BC交互作用、ABC交互作用的偏差平方和，且滿足：

ST=SE+SA+SB+SC+SAB+SAC+SBC+SABC，

其中自由度為：

fT=n-1，fA=l-1，fB=m-1，fC=r-1；

fAB=(l-1)(m-1)，fAC=(l-1)(r-1)，

fBC=(m-1)(r-1)；

fABC=(l-1)(m-1)(r-1)，fE=n-lmr。

以上自由度滿足：

fT=fE+fA+fB+fC+fAB+fAC+fBC+fABC。

1.3 模型檢驗

HOA,HOB,HOC,HOAB,HOAC,HOBC,HABC成立時，由(1)、(2)、(4)可將(3)轉化為：

若F>Fα，則拒絕原假設。在不同水平下，隨機變量間有差異，認為該因素或因素的交互作用對結果的影響是顯著的。若F

2 實例說明

C4烯烴廣泛應用于化工產品及醫藥生產中，而乙醇是生產制備C4烯烴的原料，制備過程中，催化劑組合(即Co負載量、Co/Sio2和HAP裝料比、乙醇濃度的組合)與溫度會對C4烯烴的選擇性、C4烯烴收率及乙醇的轉化率產生影響。因此通過對催化劑組合設計，探索乙醇催化偶合制備C4烯烴的工藝條件，具有非常重要的意義和價值，表1為裝料比為1∶1時的乙醇轉化率。

表1 裝料比為1∶1時的乙醇轉化率Tab.1 Ethanol conversion at 1∶1 loading ratio

用A表示溫度，1代表250℃，2代表300℃，3代表350℃；B表示乙醇的濃度，1代表1.68 mL/min，2代表mL/min；C表示Co負載量，1代表1 wt%，2代表5 wt%。

進行方差分析前，對乙醇的轉化率進行正態性、獨立性及方差齊性的檢驗。結果表明，樣本不符合正態性及方差齊性，對樣本數據進行對數變換，利用spss26進行檢驗，結果如表2、表3所示。

表2 正態性檢驗表Tab.2 Normality test list

*.真顯著性下限；a.里利氏顯著性修正。

表3 方差齊性檢驗表Tab.3 List of homogeneity test of variance

由表2P>0.05，表明變換后的數據服從正態分布，由表三因素A(溫度)、B(乙醇的濃度)、C(Co的負載量)P值均大于0.05，可認為變換后的數據滿足方差齊性。

對變換后的樣本數據進行方差分析，可見乙醇轉化率，結果如表4。

表4 三因素方差分析表Tab.4 Variance analysis of three factors

由表4可知，取定α=0.05時，溫度、乙醇濃度、乙醇濃度與Co的負載量的交互作用，溫度、乙醇濃度、Co的負載量三者的交互作用對乙醇的轉化率有顯著的影響，而Co的負負載量、溫度與乙醇濃度的交互作用及溫度與Co負載量的交互作用對乙醇的轉化率影響并不顯著。

3 結束語

在不等重復試驗雙因素方差分析的基礎上將影響因素擴展到3個，給出了不等重復試驗的三因素方差分析模型，分別從模型建立、平方和分解及統計量構造等方面進行數學推導，通過實例驗證了模型的可行性，構建了不等重復試驗的多因素方差分析模型。