溫度初值問題對配網三芯電纜熱評估精度影響分析

深圳供電有限公司 洪錳 華南理工大學電力學院 盧穎

1 配網電纜實時導體溫度計算方法

1.1 配網電纜暫態熱路模型

結合傅立葉傳熱定律，配網三芯電纜可以建立暫態熱路模型[1-2]。配網三芯電纜結構示意圖如圖1所示。配網三芯電纜暫態熱路模型如圖2所示。

圖1 配網三芯電纜結構示意圖

圖2 配網三芯電纜暫態熱路模型

其中：Qc為單個線芯電纜導體及內屏蔽層產生的損耗；Qd為單個線芯絕緣及絕緣屏蔽層的介質損耗；λ1為單個線芯金屬套及屏蔽的損耗因素；λ2為單個線芯鎧裝層的損耗因素；θ1為電纜導體溫度；θ2為絕緣外表面及金屬屏蔽層溫度；θ3為鎧裝層溫度；θ0為電纜外護套表面溫度；T1為單個線芯絕緣層熱阻；T2為填充層及內護套熱阻；T3為外護套熱阻；T4為電纜外部熱源至電纜表面介質熱阻；C1'為導體及內屏蔽熱容；C2'為絕緣層及絕緣屏蔽層熱容；C3'為金屬套屏蔽層熱容；C4'為填充層及內護套熱容；C5'為鎧裝層熱容；C6'為外護套熱容。

將暫態熱路模型中同一節點上的熱流源、并聯熱容合并，可簡化為配網三芯電纜簡化暫態熱路模型，如圖3所示。

圖3 配網三芯電纜簡化暫態熱路模型

基于熱電類比理論，對圖3中的配網三芯電纜簡化暫態熱路模型列寫節點方程，通過配網三芯電纜各層結構的等效熱參數與電纜溫度初值，得出任意時刻的電纜實時導體溫度。

配網三芯電纜簡化暫態熱路模型列寫節點方程[3]：

1.2 初值問題描述

基于熱電類比理論可以列出電纜暫態熱路模型的微分方程組，在給定電纜導體溫度的初值作為邊界條件的前提下，實現對電纜導體溫度的求解。而對于實際運行中的存量電纜線路，由于導體上高壓的存在，無法實現對實時導體溫度的直接測量。因而計算初值的設置和選取會在電纜暫態熱路方程求解時逐步累積產生較大的誤差，進而影響導體溫度精確計算。電纜負荷往往是連續波動變化，當前時刻的導體溫度是電纜歷史運行狀態累積作用的結果。

2 導體溫度初值問題收斂性的證明

2.1 熱路模型的簡化

對于待解決的導體溫度初值問題，新建電纜線路可使用新型內置光纖的電纜直接測量導體溫度，但對于存量電纜線路，一般只能通過電纜表皮的溫度進行導體溫度的推算，針對研究對象即為存量電纜線路。實際中大多數的電力電纜結構復雜，其暫態熱路模型對應的微分方程是高階微分方程，不便于計算。

為了簡化計算，在計及電纜各部分損耗的基礎上，利用調和平均法，將電纜的各層損耗歸算到導體損耗，并將導體外的各層參數歸算為同一層，則電纜的暫態熱路模型簡化為一個只有絕緣層和導體的一階T 型熱容熱阻傳熱模型。此時，電纜熱路模型中的微分方程組被簡化成為一個一階熱容熱阻傳熱的微分方程：

式中：P1為電纜損耗；CT為簡化后的等效熱容；TT為簡化后的等效熱阻；θ1為導體溫度；θ2為電纜表皮溫度；τ為時間。

為了證明經過一段時間后，導體溫度在取任意初值和任意負荷的情況下，仍然能夠收斂于一個定值，需要對微分方程進行求解，得出電纜導體溫度關于時間的表達式，證明電纜導體溫升的過程中，導體計算溫度與真實溫度的差值隨著時間的增大而減小。相較于直接求解電纜暫態模型的微分方程組，求解該一階微分方程更為簡便。

2.2 收斂理論的推導證明

為了求解上述常系數微分方程，得出電纜導體溫度關于時間的表達式，需要將有關時間的變量和常數項進行分離。導體的交流電阻Rs是一個與溫度有關的函數，直接代入不能對微分方程進行參數的分離和求解，本質上Rs與溫度呈線性關系，為了實現參數的分離，將Rs等效為一個只與溫度有關的線性函數：

結合電纜熱源的計算公式，可得［2］：

對上式的兩端分別進行積分，可得：

式中：C為微分方程解中待定參數。

將電纜導體溫度的初值作為邊界條件帶入即可得到其數值：

將式（6）代入式（5）可得：

由式（7）可知，導體溫度關于時間的表達式中含有導體溫度的初值，因此，需要分析電纜導體溫度的初值與指數項的乘積以及導體溫度的初值對導體溫度收斂性的影響，即分析此時θ1表達式中所含的指數項的值與零的關系。若式（8）成立，則導體溫度可收斂。

對式（8）整理可得：

基于傳熱學理論可以對電纜暫態熱路模型中各參數進行計算，進而對電纜導體溫度的收斂性進行精確的數學分析。

結合電纜導體交流電阻的計算公式，式（9）可以轉變為式（10）[2]。基于式（10）可得滿足初值收斂條件下電纜負荷有效值應符合的條件：

為了分析電纜負荷對于收斂速度的影響，需要利用數量級進行估算。對于不同型號的電纜，其電纜結構參數的數量級相差不大，由估算可知TT≈10，α20（1+Ys+Yp）≈104，在20℃條件下電纜導體直流電阻R0≈10-5，將各參數的數量級代入式（11）進行估算，可得I1≈104。對于實際運行中的配網三芯電纜，其正常運行時負荷的有效值最大不超過103的數量級，則可證明式（11）恒成立，即配網三芯電纜導體溫度在任意初值的情況下均能收斂于一個定值。

3 收斂速度與導體溫度初值的確定方法

取實際配網三芯電纜運行時電流不超過103的數量級進行估算，代入下式（12）：

式（12）中：z為電纜負荷和交流電阻對該指數項的影響率，計算結果小于1%，在工程計算中可以忽略。

因此，在工程上，電纜導體溫度的表達式可簡化為：

為了求解實際導體溫度與假定導體溫度之間的誤差經過多長時間才能收斂到工程上可以接受的范圍之內，假設θ1為實際導體溫度，θ'1為假定導體溫度。定義此時真實溫度和假設溫度的誤差Δθ，則Δθ的表達式為：

由式（14）可知，此時導體實際溫度和假定溫度之間的誤差是以指數進行衰減，即經過一段時間后，導體溫度的初值對導體溫度的終值的影響逐漸消失。定義工程上實際導體溫度和假定導體溫度的誤差在5%以內可以接受，則：

基于式（15）可以推導得到使導體溫度假定值精度滿足工程實際需求的收斂時間求解公式：

由式（16）可知，導體溫度假定初值和真實初值間的誤差越大，收斂時間越長，雖然任意選擇導體溫度初值最終會收斂于其真實導體溫度，但是選擇合適的初值將有利于收斂過程的進行。

選定零時刻導體溫度初值的方法包括以下三種。

一是取零度與電纜能夠長期工作的最高溫度的中間值。

二是根據載流量大小預設，令導體初值溫度與電纜滿載狀態下導體溫度之比等于初始負荷電流與載流量之比。

三是選擇零時刻電纜負荷的穩態導體計算溫度作為初值。

第三種選取方式較為接近零時刻導體的真實溫度。

4 結論

對導體動態溫度的準確測算是實現配網三芯電纜動態增容的前提。現有研究缺乏溫度初值選取對電纜動態熱評估結果精度影響方面的分析。針對現有存量配網三芯電纜實時熱評估是導體溫度初值往往無法直接通過測量獲取的問題。

基于傳熱學原理建立了配網三芯電纜的暫態熱路模型，并利用調和平均法將多階熱路模型簡化為一階熱路模型。通過對一階微分方程的求解，以比較數量級的方式從理論方面論證了電纜導體溫度初值無論如何選取，在經歷了一段時間的迭代計算后，導體溫度計算結果均能收斂于真實值，為利用歷史監測數據實現導體溫度的實時監測提供了堅實的理論支撐。