基于高斯偽譜法的槍榴彈制導算法

許一蒙，霍鵬飛,2，王 超，雷瀧杰

(1.西安機電信息技術研究所，陜西 西安 710065；2.機電動態控制重點實驗室，陜西 西安 710065)

0 引言

近年來，隨著局部地區的沖突加劇，維穩和反恐行動的需求不斷增加，采用低成本彈藥對地面人員精確打擊的需求日益增長。槍榴彈尺寸小、重量輕、成本低，特別適用于低成本精確打擊人員目標[1]；但傳統槍榴彈無制導，精度低，無法滿足精確打擊的使用需求，因此推動了槍榴彈智能化的發展。通過制導提高槍榴彈的命中精度是槍榴彈智能化設計中的重要環節。

文獻[2]采用極大值原理求解彈道修正引信彈道控制中以能量消耗最小為目標的彈道控制優化模型，得到最優法向過載值；但控制優化模型的求解時間比較長，難以直接應用到槍榴彈制導中。文獻[3]通過綜合協同制導控制和高斯偽譜法彈道規劃，實現多彈以最優路徑攻擊目標；但需要實時測量目標的角度偏差和彈目距離，成本過高。文獻[4]以射程最大為指標，利用高斯偽譜法實現彈道的合理優化，并比較了標準位置跟蹤和標準過載跟蹤兩種實現方法；但由比例導引得到制導指令所需過載較大，槍榴彈難以滿足。文獻[5]將標準彈道的某點作為目標點進行軌道計算及最優入軌控制，無需進行虛擬目標點的修正；但對制導方程進行了簡化，帶來了不小的誤差，需要對精度進一步優化。因此，有必要結合槍榴彈的自身和任務特性，研究一種能夠滿足槍榴彈打擊精度，且消耗能量小，解算速度快的制導算法。本文針對上述問題，提出基于高斯偽譜法的槍榴彈制導算法。

1 高斯偽譜法

高斯偽譜法無需對微分方程求解，收斂半徑大，收斂速率快且精度較高，適用于需要快速解算的槍榴彈彈道。

高斯偽譜法的本質就是同時離散控制變量和狀態變量的直接法，也被稱作配點法或直接配點非線性規劃DCNLP(direct collocation with nonlinear programming)。高斯偽譜法的解算步驟：首先在一系列的LG(Legendre-Gauss)點上將狀態變量和控制變量進行離散；然后通過離散點為節點，采用全局多項式插值，對控制變量和狀態變量進行近似逼近，從而將系統從微分約束轉化為代數約束；最后以節點處的狀態變量和控制變量作為優化變量，將最優控制問題轉化為非線性規劃問題而求解。

彈道優化問題是復雜的多約束動態優化問題，可將其看作一般的最優控制問題，一般最優控制問題的Bolza形式描述如下：

minJ=Φ[x(t0),t0,x(tf),tf]+

(1)

式(1)中，u(t)∈Rm為控制變量，x(t)∈Rn為狀態變量，t0和tf為時間的初始值和終端值。

系統滿足的動力學約束、邊界條件約束和路徑約束分別為

(2)

求解優化問題應對優化問題參數化，具體流程如下。

1)一般非線性系統的動力學方程

由式(2)可知，非線性系統的動力學方程的一般形式為

(3)

2)時域變換

由于最優控制問題的時間變量t∈[t0,tf]，而高斯偽譜法的時間變量τ∈[-1,1]，因此，將t離散到τ：

(4)

3)近似狀態變量與控制變量

高斯偽譜法的離散點個數為K+1個，其中包括K個LG點和τ0=-1點，從而構成K+1個Lagrange插值多項式Li(τ)(i=0,1，…,k)，以此為基函數，進行狀態變量的近似：

(5)

其中，

(6)

(7)

其中，

(8)

以上問題中對于狀態變量是在[-1，1)的時間區間內近似的，未對終端狀態τf=1進行定義，終端狀態滿足動力學方程約束：

(9)

對終端狀態約束條件進行離散并以高斯積分來近似，得到

(10)

4)動力學方程約束轉為代數約束

對式(5)求導可得狀態變量的導數，將動力學方程約束轉換為代數約束：

(11)

從而可得狀態變量在節點處需滿足的代數方程約束：

(12)

5)近似性能指標函數

將Bolza形式的性能指標函數中的積分項用高斯積分近似，可得到用于高斯偽譜法中的近似性能指標函數：

(13)

經過上述步驟，高斯偽譜法將連續最優控制問題轉換為一般非線性規劃問題[6-8]。

2 基于高斯偽譜法的槍榴彈制導算法

2.1 制導策略

基于高斯偽譜法的槍榴彈制導算法的基本策略：采用指令制導方式，發射前一次性規劃，發射后持續修正。發射前，根據目標位置，采用高斯偽譜法規劃出一條需用能量最小的最優標準彈道。制導過程中，在發射點處實時測量并解算出實際彈道相對于發射點的高低角qy和方位角qz與標準彈道的高低角偏差Δqy和方位角偏差Δqz，形成制導指令，導引彈丸飛向目標。制導策略的示意圖如圖1所示。

圖1 基于高斯偽譜法的槍榴彈制導策略Fig.1 Guidance strategy of grenade based on Gaussian pseudo-spectral method

2.2 彈道模型建立

本文采用三自由度(3D)質點彈道模型，將槍榴彈視為理想質點，不考慮彈體繞質心轉動的影響，假定攻角為零，空氣動力只計阻力。建立描述槍榴彈質心運動的方程組如下：

(14)

2.3 優化模型建立

由于能量的大小和過載大小正相關，由式(14)可以看出，過載矢量大小的主要影響因素是速度V、彈道傾角θ和彈道偏角ψv，因此建立優化問題如下[10-12]：

1)性能指標：本文以槍榴彈所需修正能量最小為指標，可得

(15)

2)狀態約束：為式(14)運動方程組。

3)邊界條件：滿足以下邊界條件

(16)

4)過載約束：由于槍榴彈所能提供的修正過載有限，因此對其進行約束：

(17)

優化問題求解流程如圖2所示。

圖2 彈道優化流程Fig.2 Trajectory optimization process

2.4 制導指令計算

定義模擬產生發射點處實時測量和解算的高低角和方位角的偏差為

(18)

式(18)中，qyt、qzt為實時彈道高低角和方位角；qyc、qzc為標準彈道高低角和方位角。

根據測量得到的高低角和方位角偏差計算制導指令：

(19)

式(19)中，K1,K2為比例系數。

3 仿真驗證

本文以40 mm槍榴彈為例，使用Matlab/Simulink軟件進行彈道優化和制導仿真。

3.1 彈道優化仿真

假設槍榴彈發射點坐標(0，0，0)m，目標點坐標(2 000，2，0)m，發射初速v0=230 m/s，修正過載區間(-0.5,0.5)，以所需修正能量最小為指標，選取插值點數為30，利用Matlab中GPOPS-ii工具箱進行基于高斯偽譜法的彈道優化，優化后的彈道如圖3所示。

圖3 優化后的標準彈道Fig.3 Optimized standard trajectory

同時，可以得到最優彈道的初始射角為13.724 8°，初始偏角為0°。

3.2 制導仿真

3.2.1理想情況仿真

不考慮射擊諸元誤差、氣象誤差、角度測量誤差等，以3.1節中經過高斯偽譜法優化的最優彈道為標準彈道，采用2.4節中制導指令的計算方法，以初速度v0=230 m/s，目標點坐標(2 000，2，0)m，初始射角14°，初始偏角0.5°為初始條件，以射程x=2 000 m為停止條件進行制導仿真，以實際彈道和標準彈道進行對比，仿真結果如圖4所示。

圖4 實際彈道與標準彈道對比Fig.4 Comparison between actual trajectory and standard trajectory

仿真末端位置數據如表1所示。

表1 制導仿真末端數據Tab.1 Terminal data of guidance simulation

以上理想情況下制導仿真數據表明，末端彈道高y，橫向偏移z方向誤差小于0.1 m，末端高低角qy,方位角qz角度誤差小于0.01 rad，該制導方法實現了對優化后標準彈道的跟蹤。

3.2.2真實情況仿真

考慮到槍榴彈射程小、彈道低，忽略氣象對彈道的影響，針對初速誤差和角度測量誤差分析制導精度。取名義初速度v0=230 m/s，初速散布誤差均方差取1‰v0，初始射角均值13.7°，方差1°，初始偏角均值0°，方差1°，目標點坐標(2 000，2，0)m，考慮諸多誤差因素，隨機生成100組數據進行打靶仿真試驗，仿真結果如圖5所示。

圖5 100組打靶仿真試驗結果Fig.5 100 groups of shooting simulation tests

為評估該制導方法的精度，用以上100組打靶仿真試驗數據進行RCEP(圓概率誤差)計算，公式如下：

(20)

式(20)中，σ為末端位置均方差。

代入以上生成的100組打靶仿真試驗數據，解得該制導方法的RCEP=0.17 m。

3.3 與其他制導方法對比

本文以最小修正能量為性能指標，依據由高斯偽譜法優化后的最優彈道為標準彈道進行制導，仿真對比該制導方法、傳統比例導引法和落點預測制導法的修正結果，仿真中初速度v0=230 m/s，目標點坐標(2 000，2，0)m，初始射角14°,初始偏角0.5°，槍榴彈重0.5 kg，圖6為三種制導方法過載對比。

圖6 基于高斯偽譜法的制導制算法、比例導引法與落點預測制導法的修正過載對比Fig.6 Comparison of modified overload between guidance algorithm based on Gaussian pseudo-spectrum method, proportional guidance method and impact prediction guidance method

由圖6可知，比例導引法所需修正過載較大，約為本文制導算法的50倍；落點預測制導法雖然修正過載較小，但末端過載出現了明顯震蕩，不利于末端的修正；本文所述制導方法修正過載小且末端無震蕩，具有明顯優勢。

依據修正過載計算上述三種制導方法所需的修正能量，再對其余兩種制導方法進行同3.2.2節所示的100組打靶仿真試驗，計算RCEP，結果見表2。

表2 三種制導方法對比Tab.2 Comparison of three guidance methods

由表2可以看出，本文制導方法所需的能量約為比例導引法的2%，約為落點預測制導法的8%；本文制導方法的RCEP約為落點預測制導法的50%，與比例導引法RCEP大致相同，但從能量角度考慮，比例導引法所需能量更大，對于尺寸小、成本低的槍榴彈要提供比例導引法所需能量的難度更大，成本過高。綜上所述，本文所述制導方法的修正能量明顯小于比例導引法和落點預測制導法的修正能量，且RCEP優于比例導引法和落點預測制導法。

4 結論

本文提出基于高斯偽譜法的槍榴彈制導算法，該算法以最小修正能量為性能指標，利用高斯偽譜法優化出一條最優彈道作為標準彈道，依據實時彈道和標準彈道的偏差生成制導指令。以40 mm槍榴彈為例，與比例導引法和落點預測制導法進行制導性能對比，仿真結果表明，本文制導方法所需修正能量最小，僅為比例導引法的2%，是落點預測制導法的8%；本文制導方法的RCEP小，約為比例導引法的94%，約為落點預測制導法的50%。因此基于高斯偽譜法的槍榴彈制導算法具有修正能量小，制導精度高的特點，易于在槍榴彈上實現與應用。