在操作中思考 在思考中感悟

◇潘 嬌 （江蘇：昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)世茂小學(xué)）

數(shù)學(xué)家佛萊登塔爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“再創(chuàng)造”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一正確的方法，并進(jìn)一步指出“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法就是做”。新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也再次明確了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的價(jià)值和功能。三角形是小學(xué)階段重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。《三角形的三邊關(guān)系》一課，是學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形的基本特征之后，對(duì)三角形“邊”基本特征的初次研究，也是后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。《三角形的三邊關(guān)系》這一課，重點(diǎn)不在于學(xué)生對(duì)這一結(jié)論的簡(jiǎn)單記憶，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中思考，在思考中感悟，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)。

一、在操作活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出猜測(cè)

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須依托學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)，而問(wèn)題情境則可以引發(fā)學(xué)生對(duì)身邊數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的強(qiáng)烈求知欲。小學(xué)生從一年級(jí)開(kāi)始就初步認(rèn)識(shí)了三角形等平面圖形，后來(lái)又進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了線段、角、長(zhǎng)方形和正方形等的特征，四年級(jí)又深入地認(rèn)識(shí)了三角形的特征及其邊和角的規(guī)律。學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不是對(duì)“三邊關(guān)系”這一結(jié)論的簡(jiǎn)單記憶，而是通過(guò)對(duì)“三角形三邊關(guān)系”的活動(dòng)探究，掌握數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本思想和基本方法。

【教學(xué)片段1】

師：三角形是一個(gè)怎樣的圖形？

師：圍一個(gè)三角形，你覺(jué)得需要幾根小棒？是不是3根小棒一定能圍成三角形呢？（讓學(xué)生猜）

師：你們的疑問(wèn)，我也有，那我們今天就來(lái)探究一下。我給大家準(zhǔn)備了一個(gè)材料袋，里面有8厘米、5 厘米、4 厘米、2 厘米小棒各1 根，小棒上貼好了它的長(zhǎng)度，請(qǐng)你們同桌兩人為一組進(jìn)行小組活動(dòng)。

活動(dòng)要求：

從材料袋中，每次任意選取3 根小棒圍一圍，看能否圍成三角形。

同桌兩人合作，一位學(xué)生動(dòng)手圍，另一位學(xué)生及時(shí)做好記錄。

對(duì)于“3 根小棒是不是都能圍成三角形”這個(gè)問(wèn)題，有的學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)就能回答，但有的學(xué)生受其生活經(jīng)歷的局限可能會(huì)存在疑惑。數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)探究的基礎(chǔ)，同時(shí)是數(shù)學(xué)探究的動(dòng)力。小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)根據(jù)自己原有的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)新知進(jìn)行猜想。但這些猜想僅是學(xué)生的主觀想象，教師需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，為他們提供能夠引發(fā)更多數(shù)學(xué)猜想的學(xué)習(xí)素材。這樣，他們就能夠在數(shù)學(xué)猜想的過(guò)程中自主提出研究的問(wèn)題，從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)探究的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。利用這種內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，讓學(xué)生意識(shí)到：當(dāng)我們產(chǎn)生猜想的時(shí)候，就應(yīng)該動(dòng)手操作試一試。在操作中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)任意選的3 根小棒有的能圍成三角形，有的不能，繼而引發(fā)學(xué)生思考：3 根小棒能否圍成三角形和這3 根小棒的什么有關(guān)？通過(guò)剛才的嘗試操作，學(xué)生很容易就知道能否圍成三角形和3 根小棒的長(zhǎng)度有關(guān)，進(jìn)而提出下一個(gè)研究問(wèn)題：3 根小棒的長(zhǎng)度有什么關(guān)系時(shí)，能圍成三角形？

二、在操作活動(dòng)中整理分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論

讓學(xué)生自主進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，并在操作中引發(fā)認(rèn)知沖突：原來(lái)并不是任意3 根小棒都能圍成三角形，那么能圍成三角形的3 根小棒的長(zhǎng)度存在什么關(guān)系呢？在操作中，學(xué)生已經(jīng)從圍不成的3根小棒中體會(huì)到“不夠圍”，這里很容易想到和“小棒的長(zhǎng)度有關(guān)”。學(xué)生自己從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)疑惑，更能調(diào)動(dòng)他們的探究興趣，從而更主動(dòng)地參與接下來(lái)的探究活動(dòng)。

【教學(xué)片段2】

師：那3根小棒的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系就能圍成三角形呢？發(fā)現(xiàn)了什么？和同桌說(shuō)一說(shuō)。

師：誰(shuí)來(lái)交流？

生：兩條短的小棒長(zhǎng)度的和大于第三邊時(shí)，能圍成三角形；當(dāng)兩條短的小棒長(zhǎng)度的和小于第三邊時(shí)，就圍不成了。

師：說(shuō)得真好！能有這樣的發(fā)現(xiàn)真是太不容易了。能用表格中的數(shù)據(jù)來(lái)證明你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：圍成的情況里4+5>8，2+4>5。

師：那為什么在不能圍成的情況中，也有8+5＞2呢？

生：要用較短兩條邊的長(zhǎng)度的和與第三條邊比較。圍不成的情況5+2<8，2+4<8。

師：通過(guò)計(jì)算、比較，發(fā)現(xiàn)，3 根小棒要圍成三角形，兩根較短的小棒長(zhǎng)度的和要大于第三根小棒。

在學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)操作時(shí)，教師觀察到大多數(shù)學(xué)生會(huì)將最長(zhǎng)的那根小棒橫放，然后將較短的兩根小棒分別連接到這根最長(zhǎng)小棒的兩端，以連接處為中心，旋轉(zhuǎn)較短的小棒，嘗試使它們連接。因此，學(xué)生操作過(guò)程中已經(jīng)感受到：要使3 根小棒圍成三角形，就要使較短的兩根小棒能夠連起來(lái)，而要連起來(lái)，這兩根小棒的長(zhǎng)度之和就要比第三根長(zhǎng)。再結(jié)合對(duì)表格里數(shù)據(jù)的整理分析、計(jì)算驗(yàn)證，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，圍成三角形的條件是：“在三角形中，較短的兩邊之和大于第三邊。”

三、在操作活動(dòng)中反思修改，完善結(jié)論

我國(guó)現(xiàn)行的幾版教材都用“任意兩邊之和大于第三邊”來(lái)描述“三角形的三邊關(guān)系”，可是我們發(fā)現(xiàn)：在判斷3 條線段能否圍成三角形的時(shí)候，最快捷的方法就是判斷兩條較短線段之和是否大于第三條線段。那么是否還有繼續(xù)揭示“任意”的必要呢？答案是肯定的。在教學(xué)中，我們要注意“任意兩邊之和大于第三邊”才是“三角形三邊之間的關(guān)系”的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)，這個(gè)基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)對(duì)于后續(xù)初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要。雖然僅是兩字之差，但在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，由“較短”過(guò)渡到“任意”非常困難。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)先入為主地認(rèn)為，只要知道兩條短邊之和與第三邊的長(zhǎng)度就可以直接判斷。這時(shí)候他們更多關(guān)注的是兩條短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)短關(guān)系，而不是三角形三邊之間的關(guān)系。為了避開(kāi)短邊與長(zhǎng)邊的干擾，筆者這里提前借用了“用字母表示”的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生繼續(xù)探究下一個(gè)問(wèn)題：在不知道三邊具體長(zhǎng)度的情況下，怎樣的三邊關(guān)系一定能圍成三角形？

【教學(xué)片段3】

師：我這里有一些線段，請(qǐng)你快速地判斷一下能圍成三角形嗎？下面我們開(kāi)始看誰(shuí)的判斷速度快，用打鉤的手勢(shì)表示能圍成，用打叉的手勢(shì)表示不能圍成。準(zhǔn)備好了嗎？

2厘米、2厘米、5厘米

4厘米、7厘米、5厘米

5厘米、6厘米、4厘米

a厘米、b厘米、c厘米

師：你們?cè)趺戳耍?/p>

生：只有字母，我們不知道長(zhǎng)度，不好判斷。

師：當(dāng)我們已經(jīng)知道3 條線段的長(zhǎng)度時(shí)，我們先看哪兩條是短邊，哪條是長(zhǎng)邊，通過(guò)比較較短兩邊長(zhǎng)度的和與第三邊的長(zhǎng)度來(lái)判斷是否能圍成三角形。現(xiàn)在這里的a、b、c不知道具體是多長(zhǎng)，你能找到較短的是哪兩條？最長(zhǎng)的是哪一條嗎？

師：如果現(xiàn)在告訴你，它們一定能圍成三角形，請(qǐng)你想一想，這三條邊之間會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？同桌討論。

生：假如c最長(zhǎng)，那么a+b>c。

師：那c一定是最長(zhǎng)的嗎？你覺(jué)得還有其他的算式嗎？

生：假如b最長(zhǎng)，那么a+c>b；假如a最長(zhǎng)，那么b+c>a。

師：你們做了三種假設(shè)，如果c不是最長(zhǎng)的，那么它和其他兩邊的關(guān)系又是怎么樣的呢？a、b呢？請(qǐng)你結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)研究一下。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

生：能圍成三角形的三條線段，隨便哪兩條加起來(lái)都要大于第三邊。

師：隨便哪兩條邊的長(zhǎng)度加起來(lái)都比第三邊大，我們就說(shuō)三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊。

根據(jù)學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，能夠根據(jù)兩條短邊的和是否大于第三條邊，來(lái)快速地判斷3 條線段能否圍成三角形。但是當(dāng)不知道3 條邊的具體長(zhǎng)度時(shí)，怎樣確保能夠圍成呢？學(xué)生很聰明，他們提出了假設(shè)的想法，但“假設(shè)”的前提如果不存在，3 條線段是不是還存在兩邊之和大于第三邊的關(guān)系呢？我們需要借助剛才整理在表格中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繼續(xù)分析。經(jīng)過(guò)分析學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不管哪兩條邊，它們的和都會(huì)大于第三條邊。從已知三邊的長(zhǎng)度跨越到未知三邊的長(zhǎng)度存在難度，因此借用表中具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行說(shuō)明更易使學(xué)生理解，從而得出結(jié)論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

四、在操作活動(dòng)中深度應(yīng)用，提升素養(yǎng)

動(dòng)手操作和實(shí)驗(yàn)不是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，教學(xué)的目的是通過(guò)有序的實(shí)驗(yàn)操作發(fā)現(xiàn)初步的規(guī)律，形成數(shù)學(xué)的猜想，然后通過(guò)解釋、思辨、說(shuō)理、證明等活動(dòng)，讓學(xué)生在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砘顒?dòng)中逐步獲得數(shù)學(xué)的思想方法，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)。探索數(shù)學(xué)規(guī)律的目的是獲得知識(shí)技能、發(fā)展數(shù)學(xué)思維和感悟數(shù)學(xué)思想、形成理性精神，而在問(wèn)題解決中應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律，能有效地達(dá)到這一目的。

【教學(xué)片段4】

師：剛才我們研究了能圍成三角形的情況，現(xiàn)在我們來(lái)看這種情況。（8 厘米、5 厘米、2 厘米）你們觀察一下，這三根線段現(xiàn)在一條直線上，想象一下，把2 厘米這一根線段慢慢延伸，你覺(jué)得延長(zhǎng)幾厘米，能圍成三角形？那如果延長(zhǎng)1厘米會(huì)是怎樣的情況呢？5 厘米、3 厘米、8 厘米能圍成三角形嗎？

生：不能，還是在一條直線上。

師：看來(lái)要圍成三角形，兩條短邊之和必須大于第三邊，小于和等于是不行的。是不是只要大于3厘米就行呢？

師：你們想一想，當(dāng)3 厘米繼續(xù)延長(zhǎng)，這條5 厘米的線段會(huì)怎樣？（往上轉(zhuǎn)）當(dāng)5厘米的線段繼續(xù)往上轉(zhuǎn)動(dòng)，這條線段會(huì)變長(zhǎng)，再轉(zhuǎn)過(guò)去，這條邊還會(huì)變長(zhǎng)。是不是一直變長(zhǎng)，就都能圍成三角形？

生：不是，13厘米的時(shí)候，在一條直線上，又不能圍成三角形了。這條線段還要小于13厘米。

師：當(dāng)已知的兩條線段是8 厘米、5 厘米時(shí)，第三條線段的取值范圍是3厘米＜第三邊＜13厘米

師：你們觀察一下3 厘米和13 厘米，有什么特點(diǎn)？

生：這里的3 厘米是兩邊長(zhǎng)度的差，這里的13厘米是兩邊長(zhǎng)度的和，所以第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)該大于兩邊長(zhǎng)度的差，小于兩邊長(zhǎng)度的和。

借助動(dòng)態(tài)課件，讓學(xué)生通過(guò)觀察5 厘米、3 厘米、8 厘米三根小棒首尾相連圍成的圖形，發(fā)現(xiàn)這三根小棒在同一條直線上，不能圍成三角形，進(jìn)一步完善了三角形的三邊關(guān)系——等于和小于都不行。觀察一條短邊繼續(xù)延伸，然后讓學(xué)生進(jìn)行空間想象，推理得到：三角形的第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)該大于兩邊長(zhǎng)度的差，小于兩邊長(zhǎng)度的和。至此，數(shù)學(xué)規(guī)律和應(yīng)用推向了深層，學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)。

在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)具有嚴(yán)謹(jǐn)而明確的學(xué)習(xí)邏輯，那就是：從簡(jiǎn)單出發(fā)，向本質(zhì)邁進(jìn)；從猜想出發(fā)，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；從現(xiàn)象出發(fā)，往規(guī)律探尋。只有充分圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)中所提到的學(xué)生空間觀念形成的諸要素，在動(dòng)手實(shí)踐中探索規(guī)律，在探索規(guī)律中發(fā)展思維，在發(fā)展思維中形成能力，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才是真正有效的，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能有效提升。