運用基本事實,發展推理意識

作者簡介：劉偉（1979—），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數學教學與研究工作。

[摘? 要] 為了幫助學生運用基本事實，發展推理意識，文章以具體的小學數學教學內容為例，通過巧設情境，讓學生感受基本事實;通過學會說理，讓學生運用基本事實;通過遷移深化，讓學生依據“事實”推理。

[關鍵詞] 基本事實;推理意識;新課標

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“基本事實”，即反映數學最基本的規律或特點，經過長期的生產生活檢驗已經得到普遍認可，學生只需要感受基本事實的合理性。在小學數學學習階段，涉及三個基本事實：（1）經歷根據“兩點間線段最短”的基本事實說明三角形三邊關系的過程，形成推理意識;（2）利用現實背景，引導學生理解“等量的等量相等”這一基本事實，形成初步的推理意識;（3）根據具體情境理解“等式的基本性質”。

學生不僅要理解這三個基本事實的內涵，還要從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論，從而發展推理意識，學會用數學的思維思考現實世界，提升數學核心素養。

一、巧設情境，感受基本事實

基本事實具有可感知性、真實性和基礎性等特征。雖然學生不需要去證明基本事實，但是學生要借助多種感官去感知并認可基本事實。

1. 在活動中感知“兩點之間線段最短”

在教學“認識射線和直線”時，筆者讓學生在城市探照燈射出的光線中認識射線，體會射線可以向一端無限延長;然后，把線段的兩端無限延長引出直線，幫助學生在比較中認識射線、直線和線段的特征。

在認識射線和直線后，筆者出示生活情境：點A表示學校，點B表示聰聰的家，怎么走路程最短？這時，很多學生結合生活經驗認為連接點A和點B的這條線段距離是最短的。為了幫助學生更加直觀地感受連接兩點之間的線段最短，筆者出示了兩條連接A、B兩點的線段，在比較中學生更加深刻地體會到兩點間所有的連線中線段最短。此時，筆者向學生介紹了“連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離”，組織學生量一量點A、B兩點間的距離，幫助學生進一步體會兩點間的距離是最短的;同時，讓學生體會線段有兩個端點，線段的長度是有限長，可以測量。

2. 在活動中感知“等量的等量相等”

在教學“認識噸”時，筆者設計了主題活動“曹沖稱象的故事”，引發學生思考稱出大象的重量需要的工具。這時有一個學生發現：可以先把大象放在船上，在船與水面交界的地方做好標記;然后將大象換成石塊，讓船的標記線下降到與水面交界處。這時，大象的重量就等于石塊的重量。只要稱出所有石塊的重量，就知道大象有多重了。

學習中，學生在理解和感受質量單位的基礎上，思考如何根據“總量等于各個分量之和”稱出物體的重量，感知“等量的等量相等”的基本事實，學會了用數學的思維來解決現實生活中的問題。

3. 在活動中感知“等式的基本性質”

在教學“大于、小于和等于”時，筆者借助森林運動會的情境幫助學生了解大于和小于的含義，先出示3只兔子和4只猴子，學生得出3小于4、4大于3;然后，筆者動態展示又跳來了1只兔子，學生得出3+1=4，解釋為“原來有3只兔子，又跳來1只兔子，現在有4只兔子，和4只猴子一樣多”。在此基礎上學生理解了等號的算術思維和程序思維，感知了“等式的基本性質”;最后，筆者動態展示左邊跳走了2只兔子，右邊跳走了2只猴子，學生得出3+1-2=4-2，解釋為“左邊原來有3只兔子，跳來1只兔子，跳走2只兔子，現在有3+1-2=2只兔子;右邊原來有4只猴子，跳走2只猴子，現在有4-2=2只猴子”。

在教學“商不變的性質”時，筆者組織學生在計算中初步發現：被除數和除數都變化了，但是商不變;然后，筆者引導學生進一步觀察表格中的算式（如表1），驗證被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變。

二、學會說理，運用基本事實

學生通過說理的活動不僅能深刻體會從一般到特殊的推理過程，還能運用這三個基本事實解決其他數學問題。

1. 利用“兩點之間線段最短”探究三角形三邊關系

在教學“三角形的三邊關系”時，筆者先出示了8厘米、4厘米、5厘米和2厘米的小棒，讓學生任意選3根小棒，學生在嘗試中發現有的3根小棒可以搭成三角形，有的3根小棒不能搭成三角形，初步感悟命題“任意兩邊之和大于第三邊”的含義。然后，筆者引導學生利用“兩點之間線段最短”的基本事實說明這個命題的正確性，學生發現a+b>c、a+c>b、b+c>a，還發現“最短的兩邊之和要大于第三邊”。

2. 根據“等量的等量相等”探究比物體的輕重

在教學“千克和克”時，教材中有這樣的題目，如圖1所示。

筆者首先引導學生觀察這是一架處于平衡狀態的天平，天平左右兩邊水果的質量是相等的，即左邊的3個菠蘿的質量加1個蘋果的質量總和等于右邊的1個菠蘿質量加7個蘋果的質量總和;然后，學生發現天平左右兩邊都有1個蘋果和1個菠蘿，于是左右兩邊同時拿走1個蘋果和1個菠蘿。這時學生發現左邊2個菠蘿的質量等于右邊6個蘋果的質量，所以1個菠蘿的質量等于3個蘋果的質量，即1個菠蘿質量是1個蘋果質量的3倍。

當學生感知“等量的等量相等”的基本事實后，他們再次遇到這樣的推理題時，就能運用這個基本事實來解決了。比如，這樣一道題（如圖2），學生根據這是一架平衡的天平得出：2個橘子的質量等于20+50+20=90克的砝碼，所以1個橘子的質量就是90÷2=45（克）。

3. 根據“等式的基本性質”探究分數除法

在教學“分數除法”時，筆者出示問題情境：量杯里有升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？

有的學生通過畫圖得出結論：把4個平均分成2份，所以÷2==（升）;有的學生發現：每人喝了升的，所以÷2=×=（升）。

筆者引導學生根據“等式的基本性質”的基本事實出發，把÷2看作a，即÷2=a。由于除法是乘法的逆運算，于是得出“a×2=”。根據等式的基本性質，等式兩邊同時乘后等式不變，計算得到a=×。根據基本事實“等量的等量相等”，所以÷2=×成立。

三、遷移深化，依據基本事實推理

數學學習是根據已知的信息解決未知的問題，教師可以根據基本事實推理出更多的真理，解決更多的問題。比如，學生在一年級時就接受了“自然數是一個一個大起來的”基本事實，他們知道“4+2”就是從4開始往上數2個得到6。在解決“兩位數加減兩位數”時，比如計算26+47時，先數出個位上有幾個1，十位上有幾個10，再把十位和個位合并起來;在解決小數加減法時，比如計算4.3+2.16時，先數出有幾個0.01、有幾個0.1和有幾個1，再把各個數位上的數合起來;在解決分數加減時，比如計算+時，先確定分數單位是，再數出有幾個這樣的。因此，整數、小數和分數加減法的基本事實是先確定計數單位，再確定計數單位的個數;學生在計算整數、小數和分數乘法時也有這樣的基本事實，先通過計數單位乘計數單位得到新的計數單位，再乘上計數單位的個數。

總之，小學數學新課程標準中增加了3個基本事實，教師應帶領學生理解基本事實，在此基礎上引導學生在解決數學問題時要有理有據地思考，讓學生理解應該從什么地方開始思考和為什么從這個地方開始思考，然后一步一步合理地思考下去，最終找到解決問題的答案，從而發展學生的推理意識。