集中載荷作用下雙模量矩形截面梁的彈性解

李 政,肖 珍,吳 曉

(常德學(xué)院智能建筑學(xué)院,中國 常德 415000)

雙模量材料結(jié)構(gòu)已開始在工程實際中被廣泛應(yīng)用,例如納米吸波材料石墨/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料就是典型的雙模量材料,其拉伸區(qū)的彈性模量是壓縮區(qū)的彈性模量的4倍。因此,研究雙模量材料結(jié)構(gòu)的文獻逐漸增多。文獻[1]采用蟻群算法求解了二維拉壓不同模量反問題,文獻[2]研究了基于敏度分析的拉壓不同模量桁架問題的數(shù)值分析,文獻[3]研究了不同拉壓特性的厚壁球殼分析,文獻[4]基于應(yīng)力球張量法的不同模量陶瓷梁有限元分析,文獻[5]研究了基于雙模量理論的均布載荷下簡支梁的解析解及數(shù)值分析,文獻[6]給出了拉壓彈性模量不同曲梁的彈性解,文獻[7]采用彈性理論研究了拉壓彈性模量不同矩形截面桿的彎曲,文獻[8]研究了拉壓彈性模量不等材料簡支梁的線性振動問題。但是,文獻[1-8]均沒有研究集中載荷作用下雙模量矩形截面簡支梁的彎曲變形。本文借鑒文獻[9]和[10]的半逆解方法研究了集中載荷作用下雙模量矩形截面簡支梁的彎曲變形,以完善雙模量材料梁彈性計算理論,為工程計算設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 彎曲應(yīng)力表達式

以圖1所示雙模量矩形截面簡支梁為例,研究其彎曲變形。

圖1 集中載荷作用下簡支梁

由彈性理論可知,梁的應(yīng)力可用應(yīng)力函數(shù)表示為

(1)

式中,φi為應(yīng)力函數(shù),i=1表示拉伸區(qū),i=2表示壓縮區(qū)。

由文獻[7]可知雙模量梁彎曲時,拉伸區(qū)、壓縮區(qū)距離中性軸的高度分別為

(2)

式中,E1,E2分別為拉伸區(qū)、壓伸區(qū)彈性模量。

對于圖1所示簡支梁忽略體力作用時,剪應(yīng)力在梁上下表面均為零,且沿x方向無變化。參閱文獻[9-10]并結(jié)合式(1)可令應(yīng)力函數(shù)為

φi(x,y)=x(Aiy3+Biy2+Ciy)+Hiy3+Kiy2。

(3)

把式(3)代入式(1)中可得

σxi=x(6Aiy+2Bi)+6Hiy+2Ki,σyi=0,τxyi=-(3Aiy2+2Biy+Ci)。

(4)

圖1所示簡支梁應(yīng)力邊界條件為

x=0,y=0,σx1=σx2=0,

(5a)

y=h1,τxy1=0,

(5b)

y=-h2,τxy2=0。

(5c)

圖1所示雙模量簡支梁中性層連續(xù)條件為

y=0,σx1=σx2=0,τxy1=τxy2。

(6)

利用式(1)及式(5a)可得

σx1=6H1y,σx2=6H2y,K1=K2=0。

(7)

由于圖1所示簡支梁在x=0處,梁截面彎矩為零,因此梁截面拉壓彎曲應(yīng)力也為零,由式(7)可知

H1=H2=0。

(8)

再利用式(4)和式(6)～(8)可知

B1=B2=0。

(9)

(10)

利用式(4)和(5b)可得

(11)

把式(4)和(11)代入式(10)可得

(3)1∶25 000水系沉積物測量較1∶50 000水系沉積物測量結(jié)果更佳。不僅對異常的反應(yīng)更準(zhǔn)確，而且更有利于指導(dǎo)下一步找礦。

(12)

把式(7)～(9)和式(12)代入式(4)中可得圖1所示簡支梁拉伸、壓縮區(qū)應(yīng)力表達式分別為

(13a)

(13b)

當(dāng)E1=E2時,式(13)皆退化為材料力學(xué)給出的應(yīng)力公式。

2 撓曲線表達式

由彈性理論可知圖1所示雙模量簡支梁應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

(14a)

(14b)

(14c)

式中,ui為梁軸向位移,wi為梁彎曲撓度,μi為泊松比。

把式(13)代入式(14a)中可求得拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移為

(15a)

(15b)

把式(13a)拉伸區(qū)應(yīng)力分量代入式(14b)中可得拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的彎曲撓度為

(16a)

(16b)

把式(15a)和(16a)代入式(14c)中可得

(17)

把式(15b)和(16b)代入式(14c)中可得

(18)

由式(17)可以求得

(19a)

(19b)

(20a)

(20b)

圖1所示雙模量簡支梁的邊界條件為

x=0,y=0,u1=w1=0,

(21a)

y=0,w1=w2,

(21b)

(21c)

x=0,y=0,u2=w2=0。

(21d)

利用式(15)和(16)、式(19)和(21)可以得到圖1所示簡支梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移撓度表達式及彎曲撓度表達式分別為

(22a)

(22b)

(22c)

(22d)

式(22)即為集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移及彎曲撓度表達式。

3 討論分析

本節(jié)討論集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁的彈性理論解和把集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁作為各向同性材料梁材料力學(xué)解的誤差。

材料力學(xué)方法給出了把圖1所示集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁作為各向同性材料梁彎曲應(yīng)力公式為

(23)

材料力學(xué)方法給出了把圖1所示集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁作為各向同性材料梁的中性軸撓曲線表達式為

(24)

利用式(13)和(23)可以得到本文方法求得的任意梁截面最大彎曲應(yīng)力公式與材料力學(xué)方法求得的任意梁截面最大彎曲應(yīng)力公式的誤差表達式為

(25a)

(25b)

(25c)

利用式(22)和(24)可以得到,當(dāng)Ei=E1,Ei=E2時,本文方法得到的中性軸處彎曲撓度與材料力學(xué)方法得到的中性軸處彎曲撓度的誤差表達式分別為

(26a)

(26b)

下面把式(25)和(26)計算的誤差值均列在表1～5中以便討論分析。具體計算數(shù)值可見表1～5。

表1 拉應(yīng)力誤差 δ1 單位:%

表2 壓應(yīng)力誤差 δ2 單位:%

表3 剪應(yīng)力誤差 δ3 單位:%

表4 彎曲撓度誤差 δ4( Ei=E1 ) 單位:%

表5 彎曲撓度誤差 δ5 ( Ei = E2) 單位:%

由以上推導(dǎo)計算可知,式(22)給出了集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移及彎曲撓度表達式,這說明雙模量梁截面任意點的彎曲撓度都不相同,而材料力學(xué)方法僅能推導(dǎo)出集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁的中性軸撓曲線表達式。

對表1～5進行分析可以知道:對于集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁,當(dāng)0.91.1時,雙模量梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的彎曲應(yīng)力與把雙模量簡支矩形截面梁作為各向同性材料梁的彎曲應(yīng)力的誤差皆大于5%。當(dāng)0.6

4 結(jié)論

(1)本文方法給出了集中載荷作用下雙模量簡支矩形截面梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移及彎曲撓度表達式,這說明雙模量梁截面任意點的彎曲撓度都不相同。

(2)當(dāng)0.9

(3)雙模量簡支矩形截面梁中性軸處彎曲撓度對n值變化很敏感,原則上建議計算雙模量簡支矩形截面梁中性軸處彎曲撓度應(yīng)采用彈性理論。