仿射空間拉普拉斯算子探討

張捍衛(wèi)，李曉玲，楊永勤，張 華

仿射空間拉普拉斯算子探討

張捍衛(wèi)，李曉玲，楊永勤，張 華

（河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454003）

為了進(jìn)一步研究提升慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的精度，對(duì)拉普拉斯算子進(jìn)行討論：拉普拉斯算子是個(gè)微分算子，拉普拉斯方程又名調(diào)和方程、位勢(shì)方程，求解拉普拉斯方程是物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域經(jīng)常遇到的一類(lèi)重要數(shù)學(xué)問(wèn)題；基于曲線坐標(biāo)系和張量理論，分別給出維仿射空間中的拉普拉斯算子表達(dá)式，并證明不同表述的等價(jià)性；最后，基于格林定理和變方方法，分別給出3維仿射空間拉普拉斯算子的表達(dá)式。

拉普拉斯算子；拉普拉斯方程；曲線坐標(biāo)；格林定理；變分原理

0 引言

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的比力方程包含有重力加速度，它是影響慣性系統(tǒng)精度的一個(gè)關(guān)鍵因素，不但要知道重力矢量，還須知道垂線偏差[1-2]。重力匹配輔助慣性導(dǎo)航是解決水下長(zhǎng)時(shí)間自主導(dǎo)航的有效手段[3-4]。遠(yuǎn)程武器發(fā)射和制導(dǎo)必須考慮到地球重力場(chǎng)的影響和干擾[5]。衛(wèi)星精密定軌需要考慮地球和外界天體引力、潮汐力（固體潮、海潮和大氣潮）、大氣阻力、太陽(yáng)光壓和地球電磁場(chǎng)等攝動(dòng)力的影響[6-7]。理論上，很多攝動(dòng)力滿足拉普拉斯或者泊松方程。皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）方程是以位函數(shù)的形式描寫(xiě)物理場(chǎng)。其數(shù)學(xué)表述和解依賴于所研究對(duì)象的幾何形狀和邊界條件。早在1834年，加布里埃爾·拉梅（Gabriel Lamé）就基于繁瑣的直接變換方法，首次將拉普拉斯方程從直角坐標(biāo)系變換到曲線坐標(biāo)系。其后，威廉·湯姆森（William Thomson）即開(kāi)爾文勛爵（Lord Kelvin）、卡爾·古斯塔夫·雅各布·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）、彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）分別基于不同原理對(duì)拉普拉斯方程進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[8]首次給出了球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的表述。特別是，拉普拉斯方程在其他學(xué)科，例如電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)[9-10]、物理大地測(cè)量學(xué)[11]、大氣物理學(xué)[12]、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)[13]、電介質(zhì)物理學(xué)[14]和廣義相對(duì)論[15]等領(lǐng)域，也具有廣泛應(yīng)用，它一直是很多學(xué)科研究的問(wèn)題之一。例如：文獻(xiàn)[16-17]研究了分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的解；文獻(xiàn)[18]在重力異常轉(zhuǎn)換過(guò)程中，比較了球冠諧分析法和拉普拉斯方程直接解法的效果；文獻(xiàn)[19-20]分別研究了拉普拉斯方程正解的對(duì)稱(chēng)性和多重解問(wèn)題。

1 與拉普拉斯算子有關(guān)的微分方程

下面舉例說(shuō)明拉普拉斯算子的應(yīng)用。

1.1 泊松方程和拉普拉斯方程

如果以上2式中的密度為零，那么就變?yōu)槔绽狗匠獭?/p>

1.2 波動(dòng)方程

真空中迅變電磁場(chǎng)滿足波動(dòng)方程[10]，即

1.3 亥姆霍茲方程

定態(tài)電磁波（單色波）滿足赫爾曼·馮·亥姆霍茲（Hermann von Helmholtz）方程[10]，即

1.4 擴(kuò)散方程

在研究氣體擴(kuò)散、液體滲透、熱傳導(dǎo)和半導(dǎo)體材料中雜質(zhì)擴(kuò)散等問(wèn)題時(shí)，需要用到擴(kuò)散定律和質(zhì)量或能量守恒定律。其中擴(kuò)散方程是[12-14]，即

2 黎曼（Riemann）空間

2.1 協(xié)變基向量與協(xié)變度規(guī)張量

式（9）中函數(shù)是單值的、連續(xù)的和可微的；反函數(shù)存在且是唯一的。定義

為協(xié)變基向量。進(jìn)而定義協(xié)變度規(guī)張量為

2.2 逆變基向量與逆變度規(guī)張量

通過(guò)式（12），再定義一組新的向量，稱(chēng)為逆變基向量，即

注意上式中的上下指標(biāo)相同表示求和。進(jìn)而定義逆變度規(guī)張量為

2.3 向量微分與任意向量的表述

由以上公式可得

注意上下指標(biāo)相同表示求和。任意物理量可表示為

2.4 黎曼空間中的微分運(yùn)算

任意向量場(chǎng)式（16）的散度[22-23]為

根據(jù)式（17）、式（18）可得

以上是基于曲線坐標(biāo)系理論得到的結(jié)果。

基于張量分析理論（廣義相對(duì)論）[15]可以給出

稱(chēng)為第二類(lèi)克里斯托弗符號(hào)。

3 正交曲線坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子

正交曲線坐標(biāo)系是指在空間任意點(diǎn)處協(xié)變坐標(biāo)基正交，即

注意，這里上下指標(biāo)相同不代表求和。

3.1 正交曲線坐標(biāo)系表述

基于正交曲線坐標(biāo)系特征，根據(jù)式（19）可得

這就是常用的拉普拉斯算子表達(dá)式。

3.2 張量表述

基于正交曲線坐標(biāo)系特征，根據(jù)式（20）可知

注意，這里為了方便理解，加上了求和號(hào)，其中

顯然有

將式（27）代入式（25），可得

根據(jù)式（23）也可得到上式。

3.3 格林定理方法

注意，上式上下指標(biāo)相同但不求和。格林定理[24]為

其他4個(gè)曲面的貢獻(xiàn)可類(lèi)似得到。因此，最后的曲面積分式（31）變?yōu)?/p>

由于面積分為零，因此可得到

這正是正交曲線坐標(biāo)系表述的拉普拉斯方程。

3.4 變分方法

考慮到體積分

式（36）也等價(jià)于

這里的面積分是整個(gè)曲面邊界的積分。式中(,,)表示微分面元d法線的方向余弦。

通過(guò)類(lèi)似的方式也可得到

因此得到

4 結(jié)束語(yǔ)

基于曲線坐標(biāo)系和張量理論，將拉普拉斯算子擴(kuò)展到維，即式（19）和式（20）；在實(shí)際應(yīng)用中一般采用正交曲線坐標(biāo)系，則是式（23）；3維空間情況下是式（24）。在此情況下，張量表述很容易轉(zhuǎn)換到曲線坐標(biāo)系中。基于格林定理方法和變分方法得到的結(jié)論只是3維正交曲線坐標(biāo)系中的特殊情況。

常用的3維空間拉普拉斯算子式（24）的具體形式依賴于所研究對(duì)象的幾何形狀，例如球體或橢球體，圓柱體或橢圓柱體，等等。其解的形式還依賴于邊界條件，例如位函數(shù)或位函數(shù)梯度在邊界上是否連續(xù)，或其線性組合是否連續(xù)等。

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Discussion of Laplace operator in affine space

ZHANG Hanwei, LI Xiaoling, YANG Yongqin, ZHANG Hua

（School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, Henan 454003, China）

In order to further improve the accuracy of inertial navigation system, the Laplace operator was discussed: the Laplace operator is a differential operator, and Laplace’s equation, also known as harmonic equation, or potential equation; solving Laplace’s equation is an important mathematical problem in physics and mechanics; based on curvilinear coordinate system and tensor theory, the expressions of Laplacian operator in-dimensional affine space were given respectively, and the equivalence of different expressions was proved; finally, based on Green's theorem and variation method, expressions of Laplacian operator in 3-dimensional affine space were given respectively.

Laplace operator; Laplace’s equation; curvilinear coordinates; Green's theorem; variation principle

P228

A

2095-4999(2023)01-0048-05

張捍衛(wèi)，李曉玲，楊永勤，等. 仿射空間拉普拉斯算子探討[J]. 導(dǎo)航定位學(xué)報(bào), 2023, 11(1): 48-52.（ZHANG Hanwei, LI Xiaoling, YANG Yongqin, et al. Discussion of Laplace operator in affine space[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2023, 11(1): 48-52.）DOI:10. 16547/j.cnki.10-1096.20230107.

2022-05-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（42074002，41931075）。

張捍衛(wèi)（1967—），男，遼寧昌圖人，博士，二級(jí)教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榭臻g大地測(cè)量學(xué)和天文地球動(dòng)力學(xué)。