基于改進(jìn)的稀疏最小二乘雙子支撐向量回歸的數(shù)字預(yù)失真技術(shù)

代志江 孔淑曼 李明玉* 蔡天賦 靳 一 徐常志

①(重慶大學(xué)微電子與通信工程學(xué)院 重慶 400044)

②(中國空間技術(shù)研究院西安分院 西安 710100)

1 引言

衛(wèi)星通信逐步向高頻段、大容量、高頻譜效率的方向發(fā)展，對星載射頻前端發(fā)射機非線性補償系統(tǒng)的設(shè)計提出新的挑戰(zhàn)[1]。一方面，多載波、多電平、高峰均比的高階非恒包絡(luò)信號的接入使得終端功率放大器(Power Amplifier, PA)工作于回退區(qū)，效率急劇下降，同時，功放非線性產(chǎn)生的交調(diào)失真落在帶內(nèi)帶外，嚴(yán)重降低了信號質(zhì)量和頻譜效率[2]；另一方面，星載射頻前端功率放大器具有不連續(xù)的非線性失真特點，展現(xiàn)出動態(tài)發(fā)散及失真突變等現(xiàn)象，此外，傳輸帶寬的增加將顯著凸顯射頻PA的記憶效應(yīng)，傳統(tǒng)的數(shù)字預(yù)失真(Digital PreDistortion,DPD)模型很難取得良好的補償效果[3]。因此，開發(fā)新型寬帶高效低復(fù)雜度非線性失真補償技術(shù)成為解決大容量衛(wèi)星通信可靠傳輸問題的關(guān)鍵。

由于功放的強非線性和寬帶信號的引入，傳統(tǒng)多項式預(yù)失真模型，如記憶多項式、廣義記憶多項式(Generalized Memory Polynomial, GMP)，模型系數(shù)呈指數(shù)型增加，參數(shù)估計的精度對反饋噪聲更加敏感，亟需采用剪切算法刪減模型冗余項[4]。近幾年，學(xué)術(shù)界提出使用壓縮感知重構(gòu)理論進(jìn)行稀疏系統(tǒng)辨識，取得了不錯的效果：Abdelhafiz教授團(tuán)隊[5]提出采用壓縮采樣匹配追蹤算法進(jìn)行內(nèi)核選擇，獲得比主成分分析算法更好的剪枝性能和建模精度，但需要利用大量采樣點進(jìn)行篩選；之后，大量的研究在基于正交匹配追蹤及其相應(yīng)的改進(jìn)算法上進(jìn)行，這些算法常使用貪婪規(guī)則來稀疏化PA多項式模型[6–9]。盡管可以識別重要原子的位置，但是由于固定的批處理操作模式以及每次迭代時都涉及最小二乘法偽逆計算，在快速自適應(yīng)方面的應(yīng)用有所限制。同樣，文獻(xiàn)[10,11]針對雙正交匹配追蹤算法中的偽逆計算進(jìn)行優(yōu)化，分別采用遞歸操作和等效正交域變換方法避免求逆運算，提升算法求解速度，此外，研究者還將稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)準(zhǔn)則引入多項式核的修剪過程中，減少學(xué)習(xí)樣本的同時還保持相當(dāng)?shù)木€性化能力[12–14]。

以上的稀疏化方法均采用固定規(guī)則對多項式模型裁剪，在寬帶強非線性失真情況下，過大的緊湊模型可能會存在稀疏辨識困難和模型刪減不徹底等問題。最近的研究中，學(xué)者試圖尋找脫離Volterra級數(shù)基礎(chǔ)的模型來解決寬帶系統(tǒng)的非線性辨識，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以良好的非線性函數(shù)逼近能力被考慮進(jìn)射頻功放的行為建模及數(shù)字預(yù)失真器設(shè)計，而機器學(xué)習(xí)中支撐向量機(Support Vector Machines,SVM)模型有著精度與復(fù)雜度的良好折衷也被廣泛用于數(shù)字補償[15–19]。文獻(xiàn)[18,19]針對支撐向量回歸(Support Vector Regression, SVR)、雙子支撐向量回歸(Twin Support Vector Regression, TSVR)算法在PA非線性建模問題上進(jìn)行了詳細(xì)的描述，盡管模型表現(xiàn)出良好的泛化能力卻仍存在一些問題：一方面，在處理大規(guī)模問題時，訓(xùn)練階段的計算復(fù)雜度非常大，會出現(xiàn)訓(xùn)練失敗情況；另一方面，大樣本情況下，模型表現(xiàn)出的不稀疏性將嚴(yán)重增加預(yù)失真器設(shè)計時的復(fù)雜度。為優(yōu)化以上問題，Cai等人[20]提出稀疏光滑的雙子支撐向量回歸(Smooth Twin Support Vector Regression, STSVR)模型用于發(fā)射機射頻損傷的矯正，其主要思想是刪減核矩陣和裁剪迭代計算中涉及的海塞矩陣，從而達(dá)到稀疏化模型和加速算法收斂速度的目的，但由于核矩陣的刪減采用隨機法，其建模精度可能會相應(yīng)降低。

為解決大規(guī)模樣本回歸問題，本文將繼續(xù)從支持向量機理論角度出發(fā)，采用最小二乘雙子支撐向量回歸(Least Squares Twin Support Vector Regression, LSTSVR)結(jié)構(gòu)，同時考慮模型稀疏性以及快速自適應(yīng)問題，提出了一種用于補償星載發(fā)射機非線性失真的新型模型——改進(jìn)的稀疏最小二乘雙子支撐向量回歸(Improved Sparse Least Squares Twin Support Vector Regression, ISLSTSVR)。為提高魯棒性，該模型用截斷的損失函數(shù)替代LSTSVR中的最小二乘損失函數(shù)以構(gòu)建原空間的目標(biāo)函數(shù)；為進(jìn)一步提高運算速度，該模型采用Cholesky分解迭代尋找核矩陣中的基本核列來簡化核矩陣從而得到相應(yīng)的稀疏解。通過預(yù)失真實驗表明，基于該逆模結(jié)構(gòu)的預(yù)失真系統(tǒng)的補償性能優(yōu)于其他線性度較好的預(yù)失真系統(tǒng)。

2 基于改進(jìn)的稀疏LSTSVR (ISLSTSVR)的PA建模方法

2.1 基于非凸截斷最小二乘損失函數(shù)的LSTSVR

首先，將傳統(tǒng)TSVR模型中帶不等式約束的凸二次規(guī)劃問題替換為等式約束優(yōu)化問題，得到原空間LSTSVR的等價目標(biāo)函數(shù)為

將式(8)代入優(yōu)化目標(biāo)式(6)和式(7)中，得到目標(biāo)函數(shù)為

其中，α和β均為拉格朗日乘子，K為高維特征空間的核矩陣

2.2 基于改進(jìn)的稀疏LSTSVR(ISLSTSVR)的PA建模方法

由于2.1節(jié)所構(gòu)建的模型在求解過程中，核矩陣K∈?m×m要反復(fù)參與迭代運算，消耗了大量的存儲和計算資源。注意到，半正定矩陣K通常不滿秩，于是下面對K進(jìn)行低秩近似和不完全分解。

假設(shè)輸入樣本的索引集為M={1,2,...,m}，B是一個基本集B∈?r×r，用來存放挑選出的有用向量，且B∈M，N為非基本集，N=MB，用于存放樣本集中有用向量之外的其他向量。依據(jù)Nystrom逼近原理[24]，原來的核矩陣K可以用低秩矩陣K?近似逼近，即

2.3 改進(jìn)的稀疏LSTSVR(ISLSTSVR)算法流程

基于ISLSTSVR的PA建模算法流程如圖1所示。本算法主要分為兩個階段：基本集B和 基本核列P的求解；偏差迭代算法求解模型系數(shù)。其中J為偏差迭代的最大次數(shù)。

圖1 ISLSTSVR算法流程圖

3 基于ISLSTSVR的數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)

預(yù)失真的基本思想是預(yù)失真器和放大器的級聯(lián)近似于線性或恒等運算符。基于ISLSTSVR的PA建模方法，本文采用間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，詳細(xì)框圖如圖2所示。

圖2 預(yù)失真系統(tǒng)框圖

先用PA的輸入u(n)和 輸出信號z?(n)構(gòu)建逆向模型，估計PA的后逆參數(shù)(α,b1),(β,b2)，把后逆參數(shù)復(fù)制到預(yù)失真器中作為前逆補償PA的非線性記憶特性。數(shù)據(jù)集的構(gòu)建采用文獻(xiàn)[18]中的時延結(jié)構(gòu)，將時延的輸入和輸出信號分成實部和虛部。同時，為了增強對PA特性的描述，將輸入信號的幅值和相位特性作為增強訓(xùn)練標(biāo)簽。基于此，輸入和輸出的完整關(guān)系可以寫成：

4 仿真實驗及結(jié)果

為了進(jìn)一步驗證提出的基于ISLSTSVR模型的DPD方案的有效性。利用計算機(PC)、數(shù)字電源、功率放大器(PA)、Xilinx Zynq UltraScale+ RFSoC評估板(ZCU111)、矢量信號分析儀(Vector Signal Analyzers, VSA)、衰減器、耦合器、驅(qū)動放大器等搭建預(yù)失真驗證平臺，如圖3所示。

圖3 實驗平臺現(xiàn)場圖

其中，預(yù)失真系統(tǒng)的前饋路徑由RFSoC的片上DAC(基帶信號發(fā)送)、驅(qū)動放大器、被測設(shè)備(PA)組成；反饋路徑上的PA輸出經(jīng)衰減器和耦合器后功分兩路，分別連接至頻譜分析儀(反饋信號觀測)以及RFSoC的片上ADC(采樣PA輸出)；所有的數(shù)字信號處理部分均在MATLAB中進(jìn)行。實驗中，利用MATLAB串口模塊下載符號速率為40 Msym/s的32QAM測試信號于RFSoC評估板中，在經(jīng)Tx路徑后激勵待測功放(基于單管氮化鎵(GaN)器件的寬帶AB類PA(0.5-3 GHz)，工作頻點1.8 GHz，飽和輸出功率45.5 dBm)；一路功分信號被安捷倫公司的N9010A EXA信號分析儀采集進(jìn)行實時頻譜檢測，另一路功分信號被RFSoC評估板ADC模塊所采集，并通過串口傳回MATLAB進(jìn)行時間對齊處理。RFSoC評估板(ZCU111)使用300 MHz的參考時鐘運行，可實現(xiàn)600 MHz基帶采樣率內(nèi)信號的下載，內(nèi)置DAC核采用8倍內(nèi)插模式，可實現(xiàn)0-2.4 GHz的直接頻率轉(zhuǎn)換發(fā)射，ADC時鐘配置2.4 GHz以實現(xiàn)寬帶射頻信號直采任務(wù)。測試步驟如下：

(1)采用ADS2018設(shè)計的32QAM信號，符號速率為40 Msym/s，滾降系數(shù)為0.22，8倍過采。下載40000個點到RFSoC評估板。

(2)以320 Msps的采樣率采集功率放大器的輸出信號用作后逆輸入；

(3)基于ISLSTSVR建模方法，構(gòu)建功放后逆模型，提取后逆參數(shù)；

(4)將后逆參數(shù)復(fù)制于前逆模型并與PA級聯(lián)，采集預(yù)失真系統(tǒng)的輸出信號測試線性化效果；

(5)對比TSVR, STSVR, ISLSTSVR 3種逆模預(yù)失真算法的線性化效果。

為了驗證所提ISLSTSVR算法的建模效果，對實測的PA輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行正向建模，并與GMP,SVR, TSVR, STSVR進(jìn)行對比。首先，對于GMP模型，設(shè)置記憶深度M=4 ，非線性階數(shù)P=9；對于幅度相位增強結(jié)構(gòu)的4種SVR模型，設(shè)置記憶深度為M=2，采用高斯核函數(shù)映射。其次，對于采用光滑損失函數(shù)的STSVR和ISLSTSVR模型，設(shè)置平滑參數(shù)p=104。最后，將ρ=10?3設(shè)置為ISLSTSVR模型中Nystrom逼近的停止參數(shù)，并將τ=10?10設(shè)置為迭代的停止參數(shù)。為保證模型的泛化性能，從經(jīng)過時間對齊和歸一化后的樣本集中選取無交集的訓(xùn)練集和測試集。

表1 不同樣本集大小的機器學(xué)習(xí)模型建模效果對比

同樣，通過數(shù)字預(yù)失真實驗對功放的失真特性進(jìn)行測量。本實驗所用的AB類PA的AM/AM曲線與AM/PM曲線繪制分別如圖4紫色和藍(lán)色所示；基于ISLSTSVR的逆模預(yù)失真系統(tǒng)對PA的AM/AM, AM/PM失真的矯正效果分別如圖4黃色和橘色直線所示。圖4顯示預(yù)失真系統(tǒng)的輸出信號幅度隨輸入線性變化，且輸入輸出信號的相位差近似為0，表明PA的非線性在本文所提預(yù)失真結(jié)構(gòu)下得到很好的矯正。

圖4 ISLSTSVR逆模預(yù)失真的AM/AM, AM/PM曲線

對所提出的ISLSTSVR預(yù)失真系統(tǒng)的補償性能進(jìn)行測試，功率譜密度如圖5所示。與其他模型相比，該模型的輸出譜線性化效果最好，線性化后的PA輸出信號，其鄰信道功率接近系統(tǒng)底噪水平。此外，對相鄰信道功率的抑制表明，該方法有效地抑制了帶外頻譜的擴(kuò)展。為了定量分析補償效果，表2給出了各模型補償下的ACPR測量值。在–30 MHz下，該模型可以抑制約20.60 dB，在+30 MHz下，該模型可以抑制約19.77 dB。與線性化能力最強的STSVR模型相比，改進(jìn)幅度為1.3 dB以上，表明所提出的DPD模型具有良好的補償性能。

圖5 不同模型預(yù)失真輸出信號的功率譜密度對比

表2 不同模型預(yù)失真性能比較

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于改進(jìn)的稀疏最小二乘TSVR(ISLSTSVR)的低復(fù)雜度DPD方法，該方法首先使用改進(jìn)的損失函數(shù)建立基于LSTSVR的功率放大器模型，隨后圍繞簡化模型系數(shù)的目的，在求解過程中采用Nystrom逼近和Cholesky分解對核矩陣進(jìn)行低秩近似從而降低運算復(fù)雜度。最后將該模型用作PA后逆估計，提取預(yù)失真參數(shù)。預(yù)失真實驗表明該方法在保證精度的同時模型系數(shù)顯著減少，使其能夠成為未來衛(wèi)星通信預(yù)失真系統(tǒng)的可行解決方案。