大范圍運動懸臂梁理論模態計算與數值仿真＊

李晨曦，王云海，叢 偉，陳 鋒

（山東交通學院航空學院，山東 濟南 300357）

飛行器運動過程中氣動力引起結構變形，結構變形誘發附加氣動力效應，構成了廣為人知的氣動彈性耦合系統[1]。若結構子系統是線性的，利用模態疊加法求系統的響應無疑是最佳的方案[2]，其前提是獲得結構自由振動條件下的模態數據（頻率和模態振型）。但有時，需要先行確認結構子系統受力之后的平衡位置，然后再做模態分析[3]。

經典的懸臂梁模型[4]，如伯努利-歐拉梁，是基于四階偏微分方程的數學模型，不足以描述真實的飛行器機翼運動狀態。本文擬以平面內大范圍運動的懸臂梁模型[5]為研究對象，基于理論和數值仿真的方法研究其垂直平面內的運動模態。拓展后的梁模型可模擬出機翼根部的角位移以及飛行器整體沉浮運動帶動機翼結構產生的位移。為此，首先建立全局坐標系和局部坐標系。然后，基于哈密頓原理構建結構運動方程，以理論推導的方式完成大范圍平面運動梁模型的模態計算。同時基于ANSYS 仿真軟件，討論了三維空間運動形式下的懸臂梁模態計算，以及施加擺動方向零位移約束后的懸臂梁模態計算（垂直平面內的二維模態計算）。最后，討論了拓展梁模型的理論模態結果和基于數值仿真計算的模態結果之間的差異，提出了建議。

1 空間懸臂梁結構建模

圖1 是經典的懸臂梁模型，其中W為梁的撓度位移方向，L為梁的長度，O為坐標原點（固支約束條件），Y為飛行器翼展方向，P為翼梢部位受到的集中外載荷[6]，更常見的形式為分布式外載荷。

圖1 經典的懸臂梁模型

飛行器的機身通常被視作剛體，它連同機翼部分一起做沉浮運動。機翼結構受空氣外載荷分布力（力矩）的作用會繞翼根產生角位移，同時產生縱向撓度位移曲線，如圖2 所示。

圖2 大范圍運動懸臂梁結構示意圖

對于空間運動的懸臂梁模型[7-8]，為使問題描述變得簡潔，本文選取2 套坐標系統進行描述。具體地說，地面坐標系由單位正交標架矢量所決定，機翼在翼根處的切線方向及其垂直方向構成了局部隨體坐標系，由單位正交標架矢量所決定。描述機翼沉浮和轉動的彈簧剛度分別定義為ky和kθ，機翼轉動角定義為θ（t）。

定義：

根據矢量的仿射不變性，得到：

兩套坐標系之間的變換為：

基于小變形假設，有sinθ≈θ。

于是，式（1）關于時間的導數函數的線性部分為：

根據哈密頓原理：

這里，T、V、Wnc分別是系統的動能、勢能和非保守外力功，分別為：

將式（3）—（5）代入式（2），依據哈密頓變分原理，得到如公式（6）所示的3 個控制方程以及公式（7）所示的邊界條件：

2 求解過程

假設懸臂梁模型做簡諧運動，則有：

式（8）中：V（u）、?、Y分別為3 個自由度運動方向的振幅；ω為系統的模態頻率。

考慮到θ（t）的轉動效應，圖2 中的P點在方向的位移可表示為：

將式（8）和（9）代入微分方程組表征的拓展懸臂梁模型式（6）和式（7）中，即可通過求解獲得飛行器懸臂梁系統簡諧振動的模態解。

3 拓展模型與經典模型之間的聯系

本文采取的懸臂梁模型拓展了經典的懸臂梁模型，最主要的特征差異體現在自由度的增加，而經典懸臂梁模型的控制方程僅相當于本文多自由度懸臂梁模型式（6）的簡化，注意到經典的情況下，有：

從式（10）可以看出，簡化模型忽視了機身剛體運動、機翼繞翼根部位轉動引起的慣性力對機翼橫向位移的影響。

關于式（9）的理論解，具有如下形式：

關于式（10）的理論解，注意到u?x，有：

表1 懸臂梁模型的結構參數

表2 模態頻率理論值

將式（11）代入控制方程式（8）和邊界條件式（7），不妨假設，結構參數仍采用表1 數據。基于Maple 程序求解系統的一階模態時，模態頻率變為4.855 Hz，與固支模型相比，降低了大約1.17%。若取Kθ=0，則模態頻率變為4.818 4 Hz，降低了約1.92%。

4 算例分析

ANSYS 算例分析的空間懸臂梁模型，結構參數如表1 所示，采用實體單元建模法（也可采用線體模型），結構網格尺寸設置為0.65 mm，如圖3 所示。計算結果顯示，空間梁模型出現了擺動方向上的頻率，除此之外，模態計算結果和我們的理論值高度吻合，誤差在0.5%左右，如表3 所示。

圖3 懸臂梁實體單元模型

表3 基于ANSYS 的空間梁模型的模態頻率分析

施加零位移約束條件如圖4 所示。圖4 顯示，若追加y軸方向的零位移約束條件，僅獲得基于ANSYS軟件的懸臂梁模型垂直平面內的模態頻率結果。表4給出了ANSYS 軟件模態結果與理論計算模態結果的差異，相對誤差大約在4.85%附近。

圖4 施加零位移約束條件（y 軸方向）

表4 基于ANSYS 的平面運動梁模型模態頻率分析

5 結論

針對飛行器結構運動具有多自由度的特點，本文拓展了經典的懸臂梁模型，基于哈密頓原理建立了系統的控制方程和邊界條件。在轉動角位移是小量的情況下，柔性懸臂梁模型相比經典的固支懸臂梁模型，算例表明其模態頻率略有下降，大約在2%以內。

此外，本文基于ANSYS 軟件建立了實體單元的固支懸臂梁模型。算例分析表明：固支條件下的空間梁模型會出現擺動方向上的頻率信息。如果施加該方向的零約束條件，計算所得模態數據則會高于真實值，算例誤差可達4.85%。

綜上所述，基于本文提出的拓展懸臂梁模型和理論分析方法，計算結果和ANSYS 仿真結果高度一致。但是，ANSYS 軟件會產生多余的模態信息。消除多余模態信息所施加的零位移約束，相當于提高了原始模型的剛度，從而帶來了較大的誤差，應引起注意。