基于改進模糊自適應補償的柔性關節機器人PD控制

郭俊財，牛軍川，2，謝冰冰

(1.山東大學機械工程學院，山東濟南 250061；2.山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，山東濟南 250061)

0 前言

為適應現代化生產方式，高精度工業機器人將逐漸取代傳統的人工生產方式。當前，我國工業機器人的性能仍停留在輕載、低精度的水平，發展高性能機器人是我國工業現代化的必然選擇[1-3]。

傳統機器人建模多采用剛性模型或僅考慮單一變量，常用計算力矩控制、PID控制、模糊控制、自適應控制、神經網絡控制、反演控制等控制策略[4-9]，但當引入關節柔性及不確定性時[10-11]，常會造成大量傳統控制方法失效或難以達到控制要求[12]。為此，考慮柔性關節和不確定性等復雜模型和條件的控制策略對實現高精度機器人具有重要意義。

對于考慮柔性關節和不確定性的機器人而言，其模型的非線性和剛柔強耦合增加了建模的復雜性，同時也給控制器的設計帶來了困難。EL-NAGAR等[13]針對二自由度機械臂提出了一種嵌入式模糊PD控制策略，該控制方法能夠有效提高機器人的軌跡跟蹤精度，同時對不確定性具有較好的魯棒特性，但并未考慮關節柔性對控制性能的影響。SUN等[14]針對具有全狀態約束的非線性柔性關節機器人，提出了自適應模糊跟蹤控制策略，通過拉雅普諾夫函數及仿真證明了控制策略的穩定性和有效性，但未考慮不確定性的影響。AHMADI和FATEH[15]針對非線性柔性關節機器人，提出了一種自適應泰勒級數模糊魯棒漸進跟蹤控制策略，具有設計簡單、關節跟蹤誤差小的優點，仿真結果表明控制策略具有較高的跟蹤能力，但缺乏不確定性影響及振動效果分析。

模糊自適應控制對柔性關節的非線性及不確定性具有良好的補償能力，能夠有效降低不確定性的干擾。PD控制可以保證系統的快速響應和穩定性。本文作者結合模糊自適應控制算法和PD控制算法的優點，并在原有算法基礎上進行優化，提出了改進模糊自適應補償PD控制方法，探討了該控制策略在具有不確定性的柔性關節機器人中的軌跡跟蹤及振動控制效果。

1 機器人建模及模糊自適應控制

對于考慮不確定性且具有2N自由度的柔性關節機器人，動力學方程可表達為

(1)

在該模型中，連桿的動力學部分具有和剛體機器人相同的性質：

性質1：慣性矩陣M(q)是正定對稱且嚴格有界的；

模糊自適應控制基于傳統模糊邏輯控制方法，包括變量模糊化、模糊規則、模糊推理、反模糊化和自適應律設計5個部分。

模糊自適應控制器[16]可表達為

τ=τD(x|J)=JTξ(x)

(2)

(3)

系統誤差方程可表達為

(4)

(5)

式中：

Λ11=O(n-1)×1

Λ12=I(n-1)×(n-1)

Λ21=[-kn]

Λ22=-[kn-1,kn-2,…,k1]1×(n-1)

定義最優參數：

(6)

定義最小逼近誤差：

ω=τD(x|J*)-τ*

(7)

則根據式(4)，系統誤差方程可表達為

(8)

即

(9)

為使系統誤差足夠小，則需要保證最優參數設計的有效性并采用合適的模糊基函數。

2 控制器設計

模糊自適應控制具有良好的非線性和不確定性補償能力，PD控制具有良好的穩定性和響應速度。但2種控制策略的軌跡跟蹤精度及振動抑制性能仍然較弱。為此，作者結合2種控制策略的優勢，提出了改進模糊自適應補償PD控制器(以下簡稱新型控制器)。

新型控制器可表達為

(10)

新型控制器τ的構造步驟：

(11)

(2)采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器設計模糊控制器，得到：

(12)

(3)定義自適應律為

(13)

ΔTP+PΔ=-Q

(14)

式中：Δ=ΛT；Q為任意n×n階正定矩陣。

(4)設計并調試PD控制器參數，使其到達較好的跟蹤控制效果，采用上述改進模糊自適應控制器進行補償。

為討論系統穩定性，定義Lyapunov函數：

(15)

對上式求導，則：

(16)

因pn表示矩陣P的最后一列，由參數向量b可知eTPb=eTpnb，則上式可寫為

(17)

代入自適應律(13)可得：

(18)

eTQe≥2|eTpnbω|

(19)

新型控制器系統流程如圖1所示。

圖1 新型控制器框圖Fig.1 Block diagram of the new controller

3 仿真結果分析

以單關節柔性機器人為分析對象，則動力學方程(1)退化為如下形式：

(20)

為驗證文中方法的有效性，對具有一個柔性關節自由度的機器人系統進行仿真研究，仿真參數如表1所示。

表1 機器人系統參數Tab.1 Robot system parameters

(21)

圖2—圖4所示為無不確定性條件下的仿真結果。圖2為分別采用PD控制、模糊自適應控制以及新型控制下的關節軌跡跟蹤。圖3所示為各種控制下的關節軌跡跟蹤誤差，可見：相比PD控制，模糊自適應控制具有較好的穩態跟蹤精度，但是在初始階段模糊自適應控制會使跟蹤誤差產生震蕩，初始階段新型控制的跟蹤誤差小于PD控制，大于模糊自適應控制;但隨著時間的延長，新型控制的軌跡跟蹤誤差逐漸減小，明顯優于PD控制和模糊自適應控制。圖4所示為機器人關節無不確定性下的柔性變形量，此時模糊自適應控制在初始時刻出現較大關節柔性變形而引起較大振動，PD控制及新型控制的關節變形變化平穩，可見新型控制綜合了PD控制初始變形小的優點。

圖2 無不確定性時軌跡跟蹤Fig.2 Trajectory tracking without uncertainty

圖3 無不確定性時關節軌跡跟蹤誤差Fig.3 Joint trajectory tracking error without uncertainty

圖4 無不確定性時柔性關節變形量Fig.4 Deformation of flexible joints without uncertainty

圖5—圖7所示為存在不確定性條件下的仿真結果。圖5所示為不同控制下的關節跟蹤軌跡。圖6所示為機器人關節的軌跡跟蹤誤差，與圖3中的無不確定性條件下的軌跡跟蹤誤差相比，不確定性使各控制算法的跟蹤誤差增大；圖3中無不確定性條件下模糊自適應控制與新型控制誤差達到相同的時間約為3.1 s，圖6中存在不確定性條件下模糊自適應控制與新型控制誤差達到相同的時間約為2.7 s，可見相比模糊自適應控制，新型控制策略對不確定性具有更強的自適應能力和更小的跟蹤誤差。圖7所示為存在不確定時機器人關節的柔性變形，相比圖4可以看出：不確定性使機器人關節柔性變形幅值增大，模糊自適應控制在初始時刻和機械臂換向時存在較大的關節變形和抖動，新型控制和PD控制策略下的關節變形明顯優于模糊自適應控制。

圖5 存在不確定性時軌跡跟蹤Fig.5 Trajectory tracking in the presence of uncertainty

圖6 存在不確定性時關節軌跡跟蹤誤差

圖7 存在不確定性時柔性關節變形量

圖8所示為新型控制器中改進模糊自適應的力矩補償，存在不確定性下的力矩補償明顯大于無不確定性下的力矩補償，無不確定性條件時改進模糊自適應力矩補償逐漸增大，而存在不確定性條件時改進模糊自適應力矩補償在4 s內快速增大并趨于穩定，可見改進模糊自適應控制對不確定性具有更快的補償能力。

圖8 改進模糊自適應力矩補償Fig.8 Improved fuzzy adaptive torque compensation

4 結論

文中針對具有不確定性的柔性關節機器人，基于模糊自適應控制和PD控制，提出了改進模糊自適應補償PD控制策略，以提高機器人關節的軌跡跟蹤精度并在一定程度上抑制由關節柔性造成的振動。主要創新點包括：

(1)對控制流程進行優化，提出了改進模糊自適應補償PD控制器，進一步提高了機器人關節軌跡的跟蹤精度并在一定程度上抑制了柔性關節的抖動。

(2)新型控制器中PD控制器和模糊自適應控制器設計相互獨立，保留了傳統PD控制響應速度快、穩定性高的特點，也保留了模糊自適應控制對不確定性有效補償的特點。

通過推導及仿真驗證，表明了改進模糊自適應補償PD控制策略在提高機器人關節軌跡跟蹤精度及振動抑制方面的良好性能，同時能夠保證系統的魯棒性和穩定性。