BM3D 在圖像加密壓縮中的應用

任玉鳳

（西安石油大學 理學院，陜西 西安 710065）

0 引言

現代通信和存儲系統中，確保重要圖像的信息不被未經授權的訪問者獲取至關重要，因此圖像加密成為一個重要的研究領域，以滿足隱私和安全性的需求。然而，圖像在傳輸和存儲中占用大量的數據帶寬和存儲空間。對此，圖像壓縮技術對于降低數據傳輸成本和減少存儲需求至關重要。

壓縮感知理論[1]指出，當原始信號具有稀疏性，可對該信號進行觀測采樣，用重構算法從較少的測量值中重構原始信號。但當信號x非稀疏，則需要借助稀疏基Ψ實現信號稀疏化：x=Ψs。其中，x∈Rn為稀疏信號，Ψ∈Rn×n為稀疏基。此時采樣過程表示為y=Φx。這里，y=[y1,y2,…,yi,…,ym]∈Rm表示測量向量。x=[x1,x2,…,xi,…,xn]∈Rn表示測量向量。Φ∈Rm×n表示測量矩陣，由于m<

文獻[6]提出了分塊壓縮感知（Block Compressed Sensing，BCS），通過對圖像進行分塊處理、采樣和重構，減少了計算復雜度和采樣要求。文獻[7]提出BCS-2DRP 算法，以平衡數據安全性、壓縮效率，但是圖像的重構質量仍有待提升。為此，本文采用二維隨機置換增強圖像安全性，并結合分塊壓縮感知實現高效的圖像加密壓縮，采用塊匹配三維濾波（Block-Matching and 3D Filtering，BM3D）算法降低圖像重構產生的噪聲，提出2DRP-BM3D 算法以提高圖像的清晰度。

1 基本原理

BCS 的基本思想是將信號分成多個小塊，分別對每個子塊進行采樣和重構，從而降低計算復雜度和采樣要求，有助于克服BCS 在處理大規模信號時的計算和存儲挑戰。本文設原始圖像的大小為n×n，將其均勻分割成尺寸為B×B的h塊，第i塊圖像表示為yi=ΦBxi。ΦB采樣標準正交基ΦBΦBT=I的形式。

2 2DRP-BM3D 重構算法

圖像的加密和壓縮的關鍵是通過將圖像劃分為不同的塊，使用隨機的置換矩陣對每個塊進行置換，增加圖像的安全性。之后，采用塊壓縮感知技術對置換后的圖像進行壓縮，以減少數據傳輸和存儲的需求。最終通過BM3D 算法去除圖像加密重構過程中的噪聲。

二維圖像X的稀疏變換表示為。D=ΨXΨT，其中Ψ∈Rn×n表示稀疏基，D∈Rn×n表示原始圖像的系數矩陣。圖像X經過加密后表示為

式中：Ph∈Rn×n與PC∈Rn×n皆為隨機排列矩陣，可提高數據隱私與安全性。圖像的重構問題表示為

為求解上述問題，將原始圖像均勻分塊采樣，并使用3×3 鄰域的維納濾波=Wiener[X(t)]消除圖像分塊而產生的塊偽影。其中，表示經過維納濾波后的圖像。之后，算法通過與加密算子及其轉置的乘積投影，更新圖像X的估計值。

接著，進行閾值收縮，以降低噪聲。

式中：Threshold(·)為閾值函數。根據參考文獻[7]，選取σ(t)的取值。再次通過投影來更新圖像估計。

計算當前估計X(t+1)與前一次估計X(t)之間的相對誤差，評估圖像恢復的質量。經過多次迭代，在符合設定誤差的情況下，重構加密圖像。

式中：vec(·)為向量函數，返回當前次迭代的重構信號。最后，利用文獻[8]～文獻[10]提出的BM3D算法，通過圖像各塊之間的高度相似性去除圖像噪聲，增強圖像清晰度。需要指出的是，基本估計階段使用硬閾值濾波，最終估計階段則使用Wiener 濾波。硬閾值濾波這一操作將小于某一閾值的像素值設為零，從而去除塊內的噪聲成分。用T表示閾值，硬閾值濾波公式為

3 實驗結果與分析

本節實驗的硬件環境為Intel（R） Core（TM）i5-10400 六核十二線程中央處理器（Central Processing Unit，CPU），主頻2.90 GHz，內存16 GB，軟件環境為Matlab2018b。測試過程中，圖像為大小256×256 的mandrill、goldhill、peppers 圖像，如圖1 所示。為驗證算法的有效性，選取采樣率為0.3，對所提算法與TDV 和TV 算法進行對比，如圖2 所示，從上到下依次是加密圖像、2DRP 重構圖像、TDV 重構圖像、TV 重構圖像及本文算法重構圖像。為評估所提算法的重構質量，采用主觀評價和客觀評價方法進行評價。主觀評價方面，重點是人的視覺感受。客觀評價方面，主要是峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）值。PSNR 值越高，表示圖像重構質量越好。

圖1 原圖

圖2 采樣率為0.3 的各算法重構效果對比圖

從圖2 可以清楚地看到，每張圖片都可被有效加密，保證了信息傳輸的安全性。即使在采樣率高達0.3 的情況下，TDV 算法的恢復效果仍不理想，重構的圖像存在過度平滑的現象。TV 算法可在一定程度上去除噪聲。本文所提算法肉眼可見地去除了數字傳輸過程中產生的噪聲，最大限度地接近原始圖像。

為客觀地評價算法的有效性，探究不同采樣率對重構效果的影響，現對圖像mandrill 在不同算法下的PSNR 值進行實驗，結果如表1 所示。從實驗數值看出，在不同采樣率下，TDV 算法的恢復效果都不佳，BM3D 算法可有效提高圖像的重構質量。

表1 mandrill 圖像在不同算法下的PSNR 值

4 結語

本文提出了一種基于塊壓縮感知與二維隨機排列的BM3D 圖像重構算法，首先將圖像進行分塊處理，其次對輸入圖像進加密并重構，最后采用BM3D 模型對信號進行去噪。實驗結果表明，所提算法的恢復精度優于其他傳統算法，在一定程度上有效地克服了噪聲對重構圖像質量的影響，且具有相對較高的PSNR 值。在未來的科研工作中，將繼續研究機器學習在圖像去噪領域中的應用。