求解BBM-KdV方程的一個外推線性化守恒差分算法

賴 倩，胡勁松

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川成都 610039)

0 引言

在對非線性擴(kuò)散波的研究中，BBM-KdV方程

ut-uxxt+ux+uxxx+uux=0

(1)

是弱非線性色散介質(zhì)中長波單向傳播的重要模型，文獻(xiàn)[1-3]通過數(shù)值模擬方法證實(shí)了BBM-KdV方程(1)解的存在性，并討論了其邊界條件的物理意義，文獻(xiàn)[4]又進(jìn)一步研究了一類廣義BBM-KdV方程的孤波解和守恒量，其數(shù)值方法研究也引起眾多關(guān)注[5-9].本文考慮如下一類BBM-KdV方程的初邊值問題：

ut-uxxt+ux+uxxx+uux=0，x∈(xL,xR)，t∈(0,T]

(2)

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]

(3)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]

(4)

其中，u0(x)是一個已知的初值函數(shù).問題(1)-(3)具有如下守恒律[4-5]：

(5)

其中Q(0)，E(0)均為與初始條件有關(guān)的常數(shù).

文獻(xiàn)[5]對問題(2)-(4)雖構(gòu)造了兩層非線性守恒差分格式，但數(shù)值求解過時需要非線性迭代的，計算耗費(fèi)時間較長.本文對非線性項uux在時間層進(jìn)行線性化離散處理，對問題(2)-(4)構(gòu)造了一個具有二階理論精度的兩層線性差分格式，并合理地模擬了守恒量(5)，在不能得到差分解的最大模估計的情況下，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和離散泛函分析方法[10]，直接給出了格式的收斂性和穩(wěn)定性等的理論證明.

1 數(shù)值格式和守恒性

由Taylor展開，有

(6)

對于問題(2)-(4)考慮如下有限差分格式：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(7)

(8)

(9)

定理1差分格式(7)-(9)關(guān)于以下離散能量是守恒的，即

(10)

證明由邊界條件(9)式和分部求和公式[10]有

于是將(7)式兩端乘以h然后對j從1到J-1求和，得

(11)

又

(12)

由Qn的定義，將(12)式代入(11)式，然后兩端同時乘以τ后再對n遞推可得(10)式.

2 差分格式的可解性

定理2 假設(shè)時間步長τ充分小，那么差分格式(7)-(9)是唯一可解的.

證明用數(shù)學(xué)歸納法.U0是由初始條件(8)式唯一確定的，假設(shè)Un(n≤N-1)是唯一可解的，則

‖Un‖∞≤C(n≤N-1)

(13)

其中的Un+1，有

將(14)式與Un+1作內(nèi)積，可得

(15)

由(13)式、邊界條件(9)式、分部求和公式[10]和Cauchy-Schwarz不等式，有

(16)

(17)

3 收斂性和穩(wěn)定性

將差分格式(7)-(9)的截斷誤差定義如下：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(18)

(19)

(20)

根據(jù)Taylor展開式以及(6)式可得，當(dāng)h,τ→0時，

(21)

引理2[9]設(shè)u0∈H2，則初邊值問題(2)-(4)的解滿足：

‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,‖u‖L∞≤C.

定理3 設(shè)u0∈H2，若時間步長τ和空間步長h充分小，則差分格式(7)-(9)的數(shù)值解Un以‖·‖∞收斂到初邊值問題(2)-(4)的連續(xù)解，并且收斂階是O(τ2+h2).

(22)

(23)

(24)

根據(jù)引理2及(21)式可知，存在與τ和h無關(guān)的常數(shù)Cu和Cr，使得

(25)

又根據(jù)(23)式及初始條件(8)可得如下估計式：

‖e0‖=0,‖U0‖∞≤Cu

(26)

假設(shè)

(27)

其中Cl(l=1,2,…,n)為與τ和h無關(guān)的常數(shù).再根據(jù)離散Sobolev嵌入不等式[10]和Cauchy-Schwarz不等式，有

(28)

(29)

整理可得

(30)

根據(jù)引理2及微分中值定理，有

即

(31)

取τ和h充分小，使得

(32)

由(29)式、(31)式、(32)式和引理1、引理2及Cauchy-Schwarz不等式，有

(33)

(34)

將(33)和(34)式代入(30)式，整理得

(35)

將(35)式兩端同時乘以τ，然后從1到n遞推求和，并整理有

(36)

(37)

(38)

≤(Cn+1)2(τ2+h2)2，(n=1,2,…,N-1)，

最后由離散的Sobolev不等式[10]，有

‖en‖∞≤O(τ2+h2),(n=1,2,…,N)

定理4設(shè)u0∈H2,若時間步長τ以及空間步長h都充分小，則差分格式(7)-(9)的解滿足：‖Un‖∞≤Ca，其中Ca是與τ和h無關(guān)的常數(shù).

證明對于充分小的τ和h，根據(jù)定理3有‖Un‖∞≤‖un‖∞+‖en‖∞≤Ca

注：定理4表明差分格式(7)-(9)的解Un以‖·‖∞關(guān)于初值無條件穩(wěn)定.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了便于和文獻(xiàn)[5]中的兩個二階格式進(jìn)行對比，記本文的兩層線性格式為“格式1”，記文獻(xiàn)[5]中的兩層非線性格式為“格式2”，記文獻(xiàn)[5]中的三層線性格式為“格式3”.BBM-KdV方程(1)的孤波解[4-5]為

在計算中，取初值函數(shù)u0(x)=u(x,0)，固定xL=-40,xR=60,T=5.就τ和h的不同取值對數(shù)值解和孤波解在幾個不同時刻的l∞誤差見表1；格式1對守恒量(5)的數(shù)值模擬Qn見表2.

從數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，格式1的計算精度明顯優(yōu)于其它的二階方法(格式2和格式3)，且合理地模擬了守恒量(5)，更為重要的是格式1是線性化的，計算時間也比較節(jié)省，所以本文對初邊值問題(2)-(4)所提出的差分格式(7)-(9)是可靠.

表1 格式1和其它二階格式在不同時刻時的l∞誤差比較Tab.1 lm errors comparison between format 1 and other second-order formats at different time points

表2 格式1對守恒量(5)數(shù)值模擬Qn的部分?jǐn)?shù)據(jù)Tab.2 Partial data of numerical simulation Qn of format 1 versus conserved quantity(5)