人行橋阻尼索減振研究

彭文林，禹見達,2，胡 磊，孫洪鑫,2

(1.湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411201；2. 湖南科技大學 結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201)

隨著我國經濟的不斷發展，城市道路的車流量越來越大，為了進行人車分流，人行天橋的數量也越來越多。人行橋在城市立體交通網絡中發揮了巨大作用，其跨度隨著路面寬度的增加和高強材料技術的進步而不斷增加，其固有頻率也隨之不斷降低。大跨度人行橋的基頻往往會降低到步行力的頻率范圍內，從而發生人致振動[1-2]，著名的案例有日本的T橋[3]、倫敦的千禧橋[4]、巴黎的Solférino橋等[5-6]。橋梁過大的振動會導致行人行走困難，嚴重時可能導致行人恐慌，甚至引發踩踏事故，過度的人行橋振動亟需解決。

現有橋梁振動控制措施主要有增加結構剛度的靜力學措施和調諧減振的動力學措施兩種，增加結構剛度是一種很直觀的方法，但其花費的成本很高，目前主流方法還是調諧減振的動力學措施。調諧質量阻尼器(tuned mass damper, TMD)自Frahm提出、Den Hartog改進以來，在抑制人行橋的人致振動方面得到了深入研究。汪志昊等[7]使用剛度與阻尼參數分離的微型電渦流TMD對人行橋模型進行減振試驗；羅曉群等[8]采用TMD對國內某單斜面索拱支承曲梁人行橋進行人致振動控制研究；Tubino等[9]對人行天橋在豎直方向的最優TMD設計進行了研究；李曉瑋等[10]實測在相同人行荷載作用下安裝TMD系統前后的人行橋振動響應，驗證了TMD對人行橋的減振效果；肖新標等[11]研究了移動荷載作用下的橋梁進行TMD振動控制效果。TMD在人行橋人致振動控制方面得到了廣泛應用，如日本T橋、日本蘆屋人行天橋[12]、倫敦的千禧橋、巴黎的Solférino橋等、綿陽一號人行橋[13]都采用TMD進行減振。

人行橋在使用過程中，橋上行人與橋梁結構存在相互作用，行人自身將作為一個動態的質量-彈簧-阻尼(mass spring damper，MSD)系統參與橋梁振動[14-15]，這時耦合了行人的人行橋系統振動頻率、阻尼等參數將會發生改變[16-18]，已經調諧好的TMD可能失調[19]。針對人行橋振動頻率在一定范圍內變動的特點，Klaus Lievens等[20]提出了一種考慮模態參數不確定的TMD魯棒優化設計方法；霍林生等[21-22]研究表明多重調諧質量阻尼器(multiple tuned mass dampers,MTMD)具有更好的魯棒性，采用MTMD比TMD更適合用于人行橋減振；Wang等[23]通過現場實測和數值模擬研究發現MTMD比TMD對鋼結構人行天橋有更好的減振效果。

TMD減振頻帶窄的缺點，在輕鋼人行橋減振方面變得特別突出。輕鋼人行橋本身質量小，橋面人群質量可能超過結構本身[24]，在不同的人群密度下，人行橋的振動頻率變化范圍較大。為了保證調諧減振的效果，倫敦千禧橋除安裝TMD進行減振外，還采用巨型剛臂、長連桿安裝了黏滯阻尼器輔助減振；華旭剛等針對綿陽一號人行橋結構特點首先應用連桿提高了結構剛度，然后結合TMD進行了人行橋減振。

黏滯阻尼器等液壓流體阻尼器具有巨大的耗能能力，且其減振效果受結構頻率變化的影響小，但其必須利用阻尼器兩端的相對運動才能耗能，目前未有應用液壓流體阻尼器抑制橋梁彎曲大幅振動的報道。禹見達等[25]提出了一種復合阻尼索減振技術，以較小的成本極大地提高了阻尼器的支撐桿長度，并通過模型試驗驗證了復合阻尼索利用黏滯阻尼器抑制高聳結構的減振效果，遺憾的是其未進行深入的復合阻尼索減振理論分析。

以最常見的輕鋼簡支梁人行橋為研究對象，針對其豎彎第一階模態的大幅振動，本文設計了一種自錨式阻尼索。首先建立了阻尼索-簡支梁振動方程，獲得了人行橋附加阻尼比解析計算公式，然后以理想黏性的電渦流阻尼器為耗能元件[26]，通過模型試驗驗證了阻尼比解析計算公式的正確性。為了分析人行橋頻率大幅變化時阻尼索的減振效果是否會削弱，本文還設置了一組對照試驗，試驗結果表明結構頻率大幅變化對阻尼索的減振效果影響小。最后開展了簡支梁橋的阻尼索減振參數理論分析，獲得了主梁附加阻尼比與阻尼索各參數的關系。

1 人行天橋-復合阻尼索系統

人行橋下方為車行道，因此在橋下空間安裝阻尼索可能妨礙交通而很難被采納，但人行橋上方較為空曠，為阻尼索安裝提供了可利用空間。人行橋型式多種多樣，為方便起見，本文僅以簡支梁橋模擬人行橋研究阻尼索的減振效果。在橋梁跨度范圍內適當位置安裝兩立柱(后期可以裝飾為燈柱)，阻尼索張拉方法如圖1所示，在兩端距離支座x1處分別對稱豎立兩根高為H的立柱，在立柱頂點與支座間張拉阻尼索，阻尼索由阻尼器、復位彈簧并聯后再與主索串聯而成，復位彈簧預先張拉，并保證彈簧彈性力遠大于阻尼器阻尼力，這樣就能使阻尼索時刻處于拉緊狀態；在張拉阻尼索的同時在兩根立柱之間連接抗拉索，抗拉索需要能夠能提供較大的弦向剛度。當主梁發生第一階豎彎振動時，兩根阻尼索拉力的水平分量可以互相平衡，豎向分量通過立柱傳遞作用于主梁，由其中的阻尼器阻尼力消耗主梁動能。

圖1 人行橋-阻尼索結構示意圖Fig.1 Structure diagram of footbridge with damping cable

對于主梁的第一階彎曲模態振動，根據對稱性取橋梁-阻尼索系統左半邊進行分析，如圖2所示，設主梁的抗彎剛度為EI，長度為L，質量線密度為ρ，主梁撓曲線為u(x,t)，則主梁豎彎振動方程為

(1)

式中:f(x,t)為人行橋所受橋面分布荷載；Fp為阻尼索動張力；δ(x-x1)為δ函數。

圖2 簡支梁-阻尼索力學模型Fig.2 Mechanical model of simply supported beam with damping cable

阻尼索由主索、阻尼器和復位彈簧組成而成，力學參數包括：主索剛度k3、阻尼器阻尼黏性系數c和復位彈簧剛度k2。當主梁發生第一階模態豎彎微幅振動時，忽略立柱、抗拉索及AB段主索的軸向變形，同時考慮復位彈簧、阻尼器和BC段主索變形，則阻尼索動張力為

(2)

根據模態分析法，主梁振動可表示為振型函數φ(x)=sin(πx/L)與時間函數z(t)的乘積：u(x,t)=φ(x)·z(t)，將其代入式(1)，在方程兩邊同乘以振型φ(x)并積分得到

(3)

由式(2)、式(3)聯立可得到主梁-阻尼索振動方程

(4)

式中，η=2φ(x1)2sin2θ為阻尼索影響系數。

2 人行橋-阻尼索系統自由振動解析解

As3+Bs2+Cs+D=0

(5)

式中：A=cm1；B=(k2+k3)m1；C=(ck1+ck3η)；D=[(k2+k3)k1+k2·k3η]。

對于式(5)的解，可由三次方程求根公式求解, 設α=B2-3AC,β=BC-9AD,γ=C2-3BD。當Δ=β2-4αγ>0時，式(5)的三個根s1，s2和s3分別為

(6)

z(t)=X1es1t+eRe(s2)t(X2eIm(s2)it+X3e-Im(s2)it)

(7)

式中，X1,X2,X3由初始條件確定，其中第一項為實數解，在主梁振動過程中迅速衰減，因此主梁自由振動的特性主要由后面兩項所決定，系統振動的圓頻率

(8)

主梁自由衰減振動附加阻尼比為

(9)

由結構動力學知識可知，結構附加阻尼比越大，則結構自由振動的衰減速度越快，相同外加激勵作用下結構的振幅越小，因此，附加阻尼比可以直觀描述阻尼索對主梁的減振效果。

3 模型試驗驗證

3.1 試驗模型

為了驗證附加阻尼比解析解式(9)的正確性，本文采用簡支鋼梁模擬人行橋，采用增加配重方式模擬行人對橋梁固有頻率的影響，在人行橋兩端對稱安裝阻尼索進行減振試驗，試驗模型左半部分如圖3所示，實際模型圖如圖4所示。簡支鋼梁采用兩根相同的槽鋼并排布置，每端立柱采用兩根直徑12 mm的螺桿，與槽鋼之間采用夾具連接，立柱與阻尼器距離為x1。

圖3 試驗裝置原理圖Fig.3 Schematic diagram of experimental device

圖4 試驗現場照片Fig.4 Experimental site photo

阻尼索包含主索、復位彈簧和管式電渦流阻尼器，主索為直徑1 mm的鋼絲繩；電渦流阻尼器由銅管、磁鐵組成，如圖3所示，銅管通過夾具固定在主梁支座處，磁鐵由下端復位彈簧和上端主索牽引與銅管發生相對運動從而產生電渦流阻尼力。試驗模型的各物理參數如表1所示。

表1 試驗模型參數Tab.1 Parameters of experimental model

電渦流阻尼器低速運動時是一種理想的黏性阻尼器，試驗采用鐵銣硼高強磁鐵，每片磁鐵外徑48 mm、內徑10 mm、厚度20 mm，磁鐵采用同極相斥方式逐級增加，磁鐵間采用15 mm厚塑料螺母分隔；紫銅管內徑55 mm、外徑65 mm。阻尼器磁鐵數量與電渦流阻尼器的黏性阻尼系數關系經試驗測得如表2所示。

表2 電渦流阻尼器阻尼系數Tab.2 Damping constant of eddy current damper

3.2 主梁附加阻尼比的試驗值與理論值對比

對主梁施加人工共振激勵，當主梁振幅達到設定值時撤除激勵，主梁隨后進入自由振動狀態，采集主梁振動加速度，得到其加速度振動衰減曲線。由加速度數據進行數值擬合得到衰減包絡線，從而獲得不同阻尼索參數下的主梁阻尼比ζE。

在阻尼索未安裝時，主梁振動加速度時程曲線如圖5(a)所示，然后在結構上安裝阻尼索，改變電渦流阻尼器中的磁鐵數量，獲得主梁加速度時程。典型加速度時程曲線如圖5所示，圖5(b)為不加裝磁鐵，即阻尼器黏性系數為0時的加速度時程，此時拉索預張力作用于定滑輪上，定滑輪摩擦力可以消耗結構振動的部分能量，圖5(c)、圖5(d)分別為阻尼索安裝2級、5級磁鐵電渦流阻尼器時主梁振動的加速度時程，由圖5可以看出，隨著阻尼索阻尼器磁鐵數量的增加，即黏性系數的增大，結構自由振動衰減越來越快，表明阻尼索能夠快速地消耗結構振動的能量。

圖5 主梁振動加速度典型時程Fig.5 Typical acceleration time history of main girder

對加速度衰減段采用最小二乘法擬合，為避免振幅對阻尼比分析結果的影響，除無阻尼索的裸梁自由振動外，計算阻尼比時選取加速度峰值從2.0 m/s2衰減至0.5 m/s2左右區間進行擬合，如圖5所示。由擬合結果獲得：主梁結構(裸梁)本身阻尼比為0.12%；阻尼索阻尼器黏性系數為0時主梁阻尼比為0.48%，說明滑輪軸承內滾珠受內、外鋼圈預壓力產生的摩擦力可以消耗主梁振動動能。

(10)

表3 附加阻尼比試驗值和理論值Tab.3 Experimental value and theoretical value of additional damping ratio

圖6 附加阻尼比試驗值和理論值對比Fig.6 Comparison of experimental value and theoretical value of additional damping ratio

阻尼索為主梁提供的附加阻尼比與阻尼器黏性系數的關系，如圖6所示。由圖6可知：①當電渦流阻尼器的阻尼系數從0增加到145 N·s/m時，主梁模型試驗實測阻尼比由0.48%增加到4.28%，由阻尼器黏性阻尼力產生的附加阻尼比由0增大到3.80%，由式(9)計算得到的附加阻尼比理論值從0增大到3.75%，理論值與實測值吻合；②隨著阻尼器黏性系數的增大，主梁附加阻尼比近似線性增大。

3.3 主梁頻率改變時附加阻尼比理論值與試驗值對比

輕鋼人行橋本身質量小，橋面人群質量可能超過結構本身，在不同的人群密度下，人行橋的振動頻率變化范圍較大，該狀況對阻尼索減振效果的影響值得討論。為此，在主梁跨中增加一個10 kg的砝碼作為配重，主梁豎彎頻率由2.42 Hz(模型一)變為2.01 Hz(模型二)，同樣通過主梁衰減振動加速度時程曲線擬合得到主梁附加阻尼比理論值和試驗值如表4所示。

表4 模型二附加阻尼比試驗值和理論值Tab.4 Experimental value and theoretical value of additional damping ratio of modeII

對比表3、表4可知：與主梁未增加配重相比，增加配重后阻尼索為主梁提供的附加阻尼比有所降低，這是因為系統質量增加，振動能量增加，而相同振幅條件下阻尼器單周耗能不變，導致阻尼器單周耗能與系統總動能比值降低。

主梁增加配重后阻尼索提供的主梁附加阻尼比與阻尼器黏性系數的關系如圖7所示，同樣可看出，試驗測得的主梁附加阻尼比與理論解吻合，并隨著阻尼器黏性系數的增大而近似線性增大。

圖7 模型二主梁附加阻尼比試驗值與理論值對比Fig.7 Comparison of experimental value and theoretical value of additional damping ratio of mode II

由圖6、圖7可知：①結構阻尼索減振附加阻尼比計算式(9)與模型試驗結果吻合良好，驗證了附加阻尼比理論計算結果的準確性；②通過增加配重模擬人行橋固有頻率改變時，阻尼索同樣可以為主梁提供較大的附加阻尼比；③阻尼索為主梁提供的附加阻尼比隨阻尼器黏性系數的增大而近似線性增大，并且受主梁固有頻率變化的影響小，通過增大阻尼器黏性系數可以方便地獲得理想的減振效果。

4 阻尼索減振效果參數分析

上述試驗已驗證了阻尼索為不同質量主梁提供的附加阻尼比解析解的準確性，為了更好地了解阻尼索對橋梁的減振性能，需要對阻尼索減振進行參數分析。影響阻尼索附加阻尼比ζa的主要參數包括阻尼索材料參數：主索剛度k3、復位彈簧剛度k2、阻尼器黏性系數c，阻尼索幾何參數：立柱安裝位置x1與高度H。為探究各參數對阻尼索附加阻尼比的影響，以未加配重的試驗梁為研究對象，分析阻尼索附加阻尼比ζa與各參數的關系。

4.1 主索剛度與復位彈簧剛度對減振效果的影響

當立柱安裝位置x1=0.25L,H=0.15L，復位彈簧剛度k2=0.2k1，不同阻尼器黏性系數下的主索剛度k3與附加阻尼比的關系，如圖8所示。

由圖8可以看出：當阻尼索其他參數一定時，阻尼索對結構附加阻尼比隨著主索剛度k3與復位彈簧剛度k2之比的增大而增大，但當剛度比大于10以后，繼續提高主索剛度k3對提高阻尼索減振效果不明顯，此時，增大阻尼器黏性系數對提高阻尼索減振效果明顯。

圖8 附加阻尼比與剛度比k3/k2的關系Fig.8 The relationship between additional damping ratio andstiffness ratio k3/k2

4.2 阻尼器阻尼系數對減振效果的影響

確定阻尼索的安裝位置x1=0.25L,H=0.15L和拉索彈簧的剛度k2=0.06k1,k3=3k1，改變阻尼索的阻尼黏性系數，由式(9)計算得到阻尼器阻尼黏性系數c與附加阻尼比ζa的關系，如圖9所示。

圖9 附加阻尼比與阻尼系數c的關系Fig.9 The relationship between additional damping ratio and damping constant c

由圖9可以看出，在阻尼器黏性系數較小的情況下，結構附加阻尼比與阻尼器黏性系數的增大而增大，二者近似成正比。但當阻尼器黏性系數超過最優值時，結構附加阻尼比隨阻尼器黏性系數的增大而減小，其間存在一最優阻尼器黏性系數。

4.3 立柱高度及安裝位置對阻尼索減振效果的影響

當復位彈簧剛度k2=0.08k1,主索剛度k3=3k1，阻尼器黏性系數c=100 N·s/m，不同立柱高度和安裝位置的主梁附加阻尼比如圖10所示。

圖10 附加阻尼比與安裝位置的關系Fig.10 The relationship between additional damping ratio and installation position

由圖10可知：①立柱高度H越大，阻尼索對主梁的減振效果越好；②選定立柱高度后，阻尼索對主梁的減振效果隨立柱安裝位置x1的增大先增大后減小，x1存在一個與立柱高度有關的一個最優安裝位置。

(11)

求解式(11)可得到立柱最優安裝位置，即在相同的阻尼索材料參數和立柱高度條件下獲得主梁最大的附加阻尼比。

5 結 論

本文采用阻尼索抑制人行橋第一階豎彎振動，首先建立了人行橋-阻尼索結構的三階微分方程，獲得了人行橋的自由衰減振動附加阻尼比解析解，隨后通過模型試驗驗證了該解析解的正確性；并對阻尼索減振性能進行了參數影響分析，得到了如下結論：

(1)采用阻尼索可以有效地抑制人行橋第一階模態豎彎振動，增加主梁附加質量改變主梁頻率時，基本上不影響阻尼索的減振效果。

(2)在阻尼索阻尼器黏性系數較小的情況下，主梁附加阻尼比與阻尼系數呈正比，但隨著黏性系數的增大，主梁附加阻尼比達到最大值后出現下降趨勢。

(3)主索剛度k3與復位彈簧剛度k2之比較小時，主梁附加阻尼比隨剛度比的增大而近似成正比增大；當剛度比較大時，主梁附加阻尼比隨剛度比的增大僅稍有增大，此時，主梁附加阻尼比隨阻尼器黏性系數的增大而近似成正比增大。

(4)隨立柱安裝位置x1的增加，即立柱由兩端向跨中移動過程中，主梁附加阻尼比先增大、后減小，因此，存在最優立柱安裝位置。