關于無窮小的若干比較方法及應用

緒玉珍

(江蘇師范大學科文學院 221000)

極限理論是高等數學的基礎，函數的極限是極限理論的一個重要組成部分.極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱“無窮小”，在函數及數列的極限、函數的連續性、微分和積分的定義中都有無窮小的應用.然而，理解清楚無窮小的概念以及運算有一定的難度.無窮小的比較問題，不僅是高等數學的重要內容，也是歷年全國碩士研究生招生考試的重要考點.本文主要針對無窮小的比較給出了幾種方法，有利于讀者進一步理解無窮小的含義以及更加系統地掌握此類問題的解決方法.

1根據定義比較無窮小

例1 當x→0時，比較2x-x2與x2-2x3的階.

所以2x-x2是比x2-2x3低階的無窮小.

注1 不是任意兩個無窮小都可以比較，因為只有當兩個無窮小量比值的極限存在或為無窮大時，才可以比較這兩個無窮小.特別地，xk+ο(xk)是x的k階無窮小(k>0).類似于這個方法，對于無窮小的比較，除了可以使用定義，還可以通過確定每個無窮小的階，然后比較階的大小來比較兩個無窮小.

2 比較無窮小的階

2.1 等價無窮小定階法

定理1只適用于函數相乘或者相除形式的極限，加減法并不適用.

2.2 與(x-a)k(k>0)比較定階法

2.3 泰勒公式定階法

取x0=0，那么有帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式：

對于一些常見函數相加減的形式，用不了等價無窮小替換時，泰勒公式是個很好的選擇.

例4 當x→0時，ex-(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，求a,b.

泰勒公式在求極限時使用方便，實際上利用泰勒公式還可以找一個無窮小量的等價無窮小.

特別地，若f(x0)=0，f′(x0)≠0，則當x→x0時，f(x)～f′(x0)(x-x0).

注2 在利用泰勒公式求函數相加減后的量的等價無窮小時，要將各函數展開到相同階數，并且在加減運算完成后至少要剩余一個非零項，才可以根據推論1得到函數的等價無窮小.

2.4 求導定階法

此定理由洛必達法則容易證明.

由定理3可知，比較兩個無窮小α與β的階，可以轉化為比較它們各自的導函數α′與β′的階數，α′與β′階數具有什么樣的關系，則α與β階數具有同樣的關系.當前面三種定階法都不能很好地處理無窮小比較的問題時，求導定階法往往可以解決一定的問題.特別地，如果遇到多個無窮小是積分上限的函數，在比較這些無窮小時，求導定階法可以快速地解決問題.

例5 (2020年全國碩士研究生招生考試試題)當x→0+時，下列無窮小量中階數最高的是( ).

解當x→0+時，由于四個選項中的無窮小都是積分上限的函數，比較它們的階數，相當于比較它們各自的導函數的階數.

將以上四種確定無窮小的階數的方法靈活使用，可以更加有效地處理無窮小的比較問題.

4結論

本文主要從無窮小比較的定義、等價無窮小定階法、比較定階法、泰勒公式定階法、求導定階法五種方法系統地歸納了無窮小量的比較問題，并結合實例給出了分析過程，使方法可以很好地結合實例進行應用.靈活使用這些方法，可以做到更加有效地解決無窮小的比較問題.