高中數學解題中化歸思想的應用

張俠飛

(安徽省亳州市第三十二中學 236800)

1 化歸思想之換元轉化

換元轉化是非常常用的化歸方法.在遇到數學式較為復雜，不易找到數學式之間的內在聯系時常使用換元轉化.通過換元轉化可使數學式子變得簡潔，更容易構建與其他數學知識點之間的內在聯系，幫助學習者盡快地找到解題思路.實踐表明，換元轉化的方法較多，主要分為整體換元、三角換元、均值換元等，其中前兩種換元方法應用廣泛，尤其在解答三角函數類的習題中可獲得意想不到的效果.但需要注意部分習題并不能直接判斷是否需要進行換元轉化，需運用所學數學知識對已知條件進行整理，在整理過程中應具備換元轉化意識.換元轉化的關鍵在于保證換元前后取值范圍的一致性，這一點應引起足夠重視.

2 化歸思想之構造轉化

運用化歸思想解題的方法多種多樣，其中構造轉化是化歸思想的重要代表.構造轉化指基于對相關參數關系的本質理解，運用所學數學知識構建新的邏輯關系，化陌生為熟悉，從而更好地運用所學知識解決問題.由此可知構造轉化的難點在于：其一，如何通過構造將新的問題轉化為熟悉的問題.解題時需認真觀察所給數學式子的特點，找到共同點，為構造做準備.同時，積極聯系熟悉的知識點，建立與所學數學知識的聯系，完成構造.其二，構造后的處理.構造的目的在于更好地處理問題，因此，構造后應明確如何處理構造出的新關系.

例2已知a=e0.1-1，b=sin0.1，c=ln1.1，則( ).

A.a

3 化歸思想之數形轉化

數形轉化是高中數學解題中較為常用的化歸方法.眾所周知，數和形在本質上具有統一性，通過數形之間的轉化可創造性地解決數學問題.研究發現，數形轉化常被用于解答函數零點、方程根的個數以及與分段函數相關的恒成立問題.運用數形轉化解題時應注意把握以下關鍵環節：其一，如何畫出正確的函數圖像.其二，如何分析出關鍵位置.找到圖像的關鍵位置是解題的關鍵，尤其在難以直觀判斷出相關位置時應大膽設出參數，運用所學求出對應參數.

圖1

4 化歸思想之直接轉化

直接轉化是解答高中數學習題時又一常用的化歸方法.因高中數學習題情境以及考查的知識點不同，因此，運用直接轉化解題的難度存在一定差別.部分習題運用所學知識或解題經驗即可完成由陌生到熟悉的轉化.而部分習題則需學習者具備較強的抽象、概括能力.為確保能運用直接轉化順利解答相關習題，一方面，要保證轉化的等價性.另一方面，轉化時最容易在參數取值范圍上出錯，尤其涉及到不等式問題時很多學習者常將不等式的符號搞錯，因此，轉化時應保證推理的嚴謹性，嚴格按照不等式性質進行推理.

5 化歸思想之坐標轉化

坐標轉化常用于解答高中數學中較為復雜的圖形類問題，尤其用于解答立體幾何習題可獲得顯著效果.為保證轉化后運算的高效性，構建合理的空間直角坐標系是關鍵.一般情況下應注重運用已知條件中的垂直關系構建空間直角坐標系.針對未給出垂直關系的情況，還應運用幾何圖形性質做出相關輔助線.另外，完成空間直角坐標系的構建后應注重運用幾何圖形性質、三角函數、正弦定理、余弦定理等求出相關線段長度，以確定對應點的空間坐標，并靈活運用向量運算，求出最終結果.

例5如圖2，已知三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC和△BCD均為等腰直角三角形，其中∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，點P為線段AB上的動點，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ和AC成30°的角，則線段PA長的取值范圍為____.

圖2

圖3