考慮水化學損傷的巖石真三軸蠕變本構模型1)

陳有亮 陳奇鍵 肖鵬 杜 曦? 王蘇然*

* (上海理工大學環境與建筑學院土木工程系,上海 200093)

? (亞琛工業大學工程地質與水文地質系,德國亞琛52064)

** (東南大學交通學院,南京 210096)

?? (新南威爾士大學土木與環境工程學院,澳大利亞悉尼 2052)

*** (同濟大學地下建筑與工程系,上海 200093)

引言

巖石流變是巖石力學性質隨時間變化的行為,包括蠕變、松弛、彈性后效等流變特性,與巖石工程的長期穩定性和安全息息相關,大量工程實踐與理論研究表明[1-3],許多巖石工程的破壞與失穩都是發生在工程運營期間,由于巖石流變而導致的工程破壞與所帶來的財產生命損失往往十分重大,因此,研究巖石的流變本構模型對實際工程的穩定與安全具有重要的理論意義.近年來,在巖石蠕變本構模型的推導與建立方面已經取得了不少階段性的成果:劉東燕等[4]對重慶地區的砂巖進行了不同圍壓下的蠕變試驗,將優化后的Kelvin 與Burgers 模型串聯,得到可體現加速蠕變特征的非線性蠕變模型,基于試驗數據,采用1 stOpt 軟件的全局優化算法,進行模型參數識別后得到合理的結果.劉文博等[5]對取自阜新恒大煤礦深部的圍巖開展了室內三軸蠕變試驗,分析巖石的蠕變變形規律,并基于經典的蠕變元件,得到一種能反應非線性加速蠕變階段的本構模型,并用試驗數據進行了驗證.張向東等[6]通過引入西原體和Kachanov 損傷模型,建立能描述加速蠕變階段的損傷蠕變模型,并進行砂巖在分級荷載作用下的三軸蠕變試驗,用試驗的數據對建立的蠕變本構模型進行了驗證.劉文博等[7]對Kelvin模型進行了改進,進而構建可反映巖石加速蠕變變形特征的彈塑性損傷蠕變模型,并提出一種確定蠕變模型參數的方法.韓陽等[8]建立了一種非定常伯格斯巖石蠕變模型,并與傳統的伯格斯模型進行對比,可以反應巖石蠕變的3 個階段.張亮亮等[9]指出前人研究中對蠕變模型建立過程中與參數辨識的不嚴謹之處,并建立一個能同時描述巖石蠕變過程中的瞬時彈性應變、衰減蠕變、等速蠕變和加速蠕變階段的本構模型.

上述學者建立的巖石蠕變模型都是在單軸或常規三軸的條件下得到的,而針對真三軸應力狀態下的巖石蠕變本構的研究還比較缺乏.實際的工程中巖石往往處于三相應力的狀態,中間主應力的存在會顯著影響巖石的瞬時和時效力學特性.

同時,巖石賦存的環境往往是復雜且多變的,如我國的西南四川盆地酸雨區,巖石所處的酸性環境會對巖石工程的力學性質產生影響: 酸性溶液中含有的化學成分與巖石發生反應,改變巖石的微觀結構,降低巖石的承載能力,許多學者研究表明[10-15],化學溶液對巖石的損傷發展和力學性能有著重大的影響,不過這些成果多是針對巖石的瞬時力學特性,包括巖石的室內試驗與模型的建立,而對巖石在化學腐蝕作用下的蠕變特性的研究比較少見.

因此,為了研究巖石在酸性環境與真三軸應力情況下的時效性特征,準確描述巖石在酸性環境與真三軸應力共同作用下蠕變行為的各階段特征,基于水巖作用的化學動力學理論,定義了考慮PH 值與時間的化學損傷因子,將彈性體,非線性Kelvin體,線性Kelvin 體,黏彈塑性體進行串聯,并考慮巖石在真三軸應力作用下的實際情況,建立考慮巖石酸腐與真三軸應力耦合作用下的損傷蠕變本構模型,并用已有的試驗研究數據對推導的模型進行參數辨識與驗證,通過數據擬合得到巖石在真三軸應力下的屈服面方程,探討了中間主應力對蠕變模型的影響,結果表明: 推導的本構模型能很好的反應巖石在水化學環境下的真三軸蠕變特性,具有一定的合理性與實用性.

1 非線性化學損傷真三軸蠕變模型的建立

1.1 損傷分析

當工程的巖石處于酸性環境中時,一方面巖石受到荷載的作用形成應力損傷,另一方面酸性環境中的化學成分與巖石發生反應,使得巖石內部的膠結物溶蝕,從而使孔隙增大,微裂縫延展,形成化學損傷.巖石內部的微裂縫的發展與貫通體現了巖石的損傷,姜立春等[16]通過定義巖石的基準損傷狀態,將Lemaitre 應變等效原理進行了改進,巖石受到外力F的作用,損傷產生擴展,取其中的兩種損傷狀態,對于處在酸性環境中的巖石材料,巖石在酸性損傷狀態下的有效應力作用于酸性和應力共同損傷狀態引起的應變等價于巖石在酸性和應力共同損傷狀態下的有效應力作用于酸性損傷狀態下的應變,即

式中,σ1和E1為巖石在酸性損傷狀態下的有效應力和彈性模量,σ2和E2為巖石在酸性損傷和應力損傷共同狀態下的有效應力和彈性模量.

因此可以進行下一步的推導過程,首先根據Lemaitre 應變等效原理得到

式中,Dc為化學腐蝕造成的化學損傷,E0為巖石初始彈性模量.

然后根據改進后的Lemaitre 應變等效原理得到

式中,Dm為應力加載造成的應力損傷.

將式(2)代入到式(3)得

所以有 (1?Dm)(1?Dc)=1?Dcm,即

式中,Dcm為化學腐蝕和應力加載造成的應力總損傷.

1.1.1 考慮pH 值和時間的化學損傷變量

Li 等[17]提出的基于細觀結構的損傷變量可以表示為如下形式

式中,ΔSt為經過時間t之后巖石顆粒間減少的接觸面積,S0為初始時刻巖石顆粒間的接觸面積;Δωt為經過時間t之后巖石之間已溶膠結物的摩爾數,ω0為初始時刻可溶膠結物的摩爾數.

巖石與酸性溶液發生反應的本質是巖石中的物質與H+離子發生化學反應,溶液里H+消耗的快慢反映了溶液里各個化學反應的綜合反應速率,H+離子綜合反應速率表達式如下

式中,比例常數p為綜合反應速率參數,x0為離子濃度參數.

其次,根據pH 值與H+濃度的關系

并結合初始條件求解微分方程得到

式中,pH(t) 和pH0分別表示某時刻化學溶液的pH 值和化學溶液初始pH 值.

不考慮化學反應的先后順序,由反應前后H+離子濃度變化,得到某時刻與酸發生化學反應損失的可溶膠結物的摩爾數為[18]

式中,mi與ni為配平系數,cH+(t)為t時刻離子濃度值,c0H+為初始時刻離子濃度值,M和αi為化學反應系數.Vcs為化學溶液的體積.

結合式(6)、式(8)和式(10),可以得到考慮初始pH 值、時間t的化學損傷因子,其表達式如下

1.1.2 應力損傷變量

當巖石受到的應力大于其長期強度σs時,我們認為此時巖石發生應力損傷,根據Kachanov 蠕變損傷法則[19]得

式中,A,N是與材料有關的參數,Dm為應力損傷變量.

根據式(12)和邊界條件t=tF和Dm=1 得到巖石在加速蠕變過程中損傷變量與蠕變時間的演化方程為

1.1.3 化學腐蝕和應力作用下的綜合損傷變量

化學腐蝕造成的損傷在整個蠕變過程中都存在,而應力損傷發生在巖石受到的應力大于其長期強度σs時,結合式(5)、式(11)和式(13)可得巖石在酸蝕和應力作用下的綜合損傷變量

1.2 真三軸蠕變模型建立

在巖石蠕變試驗中,當初期施加的應力水平小于巖石的長期強度時,巖石試樣在加載過程中首先會產生一個瞬時彈性應變,由于該階段的加載時間在整個蠕變時間中占很小一部分,可認為該彈性應變是瞬間完成的,故該階段的本構關系可用彈性體來描述,而考慮到巖石真三軸應力作用下的實際情況,本構方程為

繼續加載,巖石進入衰減蠕變階段,該階段蠕變曲線具有明顯的非線性特征,故采用經典元件模型難以準確描述其特征.本文通過引入損傷變量的時間函數關系來對傳統Kelvin 模型中黏壺元件的黏性系數進行修正,即假定該黏性系數在巖石蠕變過程中與蠕變時間呈指數函數關系,從而構建非線性Kelvin 模型,其三維微分型本構方程滿足

式中,σij為應力,G2,η2為非線性黏彈性階段巖石的剪切模量和黏性系數,εnve為非線性黏彈性應變,為非線性黏彈性應變對時間的一階導數,λ為待定常數,t為蠕變時間.

對上述微分方程分離變量,并結合初始條件t=0,,進行積分可得非線性Kelvin 體的蠕變方程為

隨著應力的繼續加載,巖石會發生黏彈性應變,本文使用Kelvin 模型來體現巖石流變過程中的這一階段,本構方程為

當施加的應力水平超過巖石的長期強度時,巖石進入加速蠕變階段,在三維應力的情況下,如果應力狀態超過了黏塑性屈服面,則會開始產生黏塑性應變,采用Perzyna 的極限應力流動法則[20-22]來表示黏塑性應變的變化速率

式中,F為巖石的屈服函數,Q為塑性勢函數,η4為與時間有關的黏滯系數.

基于式(13)、式(19)和式(20),可得到加速蠕變狀態下的三維損傷本構方程[23]

將4 個階段的本構模型聯立,如圖1 所示,根據模型串并聯疊加原理可得巖石在真三軸應力狀態下的黏彈塑性損傷蠕變模型的蠕變方程

圖1 非線性黏彈塑性損傷蠕變力學模型Fig.1 Nonlinear viscoelastic plastic damage creep mechanical model

在真三軸的應力環境中,巖石在3 個方向上都受到應力,對于真三軸巖石蠕變試驗有

巖石在三軸壓縮過程中其破壞形式主要為沿著破壞面滑動的壓剪破壞,由于巖石內部裂紋的生成和進一步發展和內部孔隙的擴大,巖石的黏滯系數會受到影響,故考慮損傷主要對剪切模量和黏滯系數造成的影響,忽略其對體積模量的影響[24],因此有

結合式(22)～ 式(24),可以得到巖石在真三軸應力狀態下的黏彈塑性化學損傷蠕變模型的蠕變方程為

1.3 屈服面的確定

Mogi[25]對多種巖石進行了真三軸壓縮試驗,試驗結果表明,中間主應力的存在對巖石破壞的強度有著重要的影響.基于馮-米賽斯準則,Mogi 提出一個考慮中間主應力的八面體強度應力準則,Al-Ajmi等[26]通過分析了多組巖石真三軸壓縮試驗數據,發現Mogi 提出的線性準則是適用于巖石真三軸壓縮試驗的,這個準則被稱為Moji-Coulomb 準則,其表達式如下

式中,τoct為八面體應力,σm,2為有效正應力,C1與C2為試驗常數,可由數據擬合得到.

當巖石所受的應力狀態達到其應力屈服面時,巖石會發生明顯的時間依賴性行為,基于三維應力下的Mogi-Coulomb 準則,得到巖石在三維空間中的損傷應力屈服面為

其中,I1為應力第一不變量,J2為第二偏應力不變量,θ為應力洛德角.

2 蠕變模型參數辨識與模型驗證

2.1 參數辨識

因為考慮酸液腐蝕與真三軸應力同時作用的室內蠕變試驗數據較為缺乏,因此利用酸性溶液腐蝕后的常規三軸巖石蠕變試驗與真三軸應力作用下的巖石蠕變試驗分別對本文的蠕變模型進行參數辨識與驗證.

Wang 等[27]進行了砂巖在酸腐作用后的常規三軸蠕變試驗,本文利用其試驗中經過不同初始pH值溶液浸泡后的pH 值隨時間變化的數據來驗證式(5)的合理性,將溶液pH 值隨時間變化的模擬值和實際測量值進行比較,如圖2 所示,結果表明式(5)能很好的反應溶液pH 值隨時間的變化趨勢,驗證了其合理性與正確性.

圖2 溶液pH 值擬合結果與實測數據對比Fig.2 Comparison between the fitting results of solution pH value and the measured data

本文使用Wang 等[27]試驗中的初始pH=3 的結果來驗證本構模型的正確性與合理性,根據上圖的擬合結果,式(9)中的p與x0分別為1.42 與1.15,化學損傷因子Dc根據式(11)與試驗巖石的礦物組成可得為0.365.

Wang 等[7]進行的是巖石的常規三軸蠕變試驗,是σ2=σ3的特殊情況,因此本文推導的蠕變本構模型可以得到很大的簡化,根據巖石蠕變過程中的長期強度σs和應變速率作為本構方程各階段的判斷條件,模型還需確定的模型有G1,K1,λ,G2,η2,G3,η3,η4和N,巖石發生蠕變破壞的時間tF可根據試驗數據確定,G1,K1根據巖石在同一圍壓下的常規三軸壓縮試驗得到的彈性模量E和泊松比v確定,即

巖石發生蠕變破壞的時間tF已根據巖石蠕變試驗確定,其余模型參數基于最小二乘法原理反演確定: 運用Origin 軟件自帶的Levenberg-Marquardt 算法進行非線性回歸分析,對巖石蠕變模型參數進行辨識,該算法改進了最小二乘法,通過引入阻尼因子d來避免迭代不收斂情況的發生[28].表1 為考慮化學損傷的巖石蠕變模型參數.圖3 為考慮化學損傷的巖石蠕變試驗曲線與理論曲線對比.

表1 考慮化學損傷的砂巖三軸蠕變模型參數(初始pH=3)Table 1 Sandstone triaxial creep model parameters considering chemical damage (initial pH=3)

圖3 考慮化學損傷的巖石蠕變試驗曲線和本構曲線對比Fig.3 Comparison of rock creep experimental curve and constitutive curve considering chemical damage

Zhao 等[29-30]用錦屏大理巖進行了巖石在真三軸應力情況下的蠕變試驗,得到了巖石在不同的中間主應力作用下蠕變的力學行為,可以看成化學損傷因子為0 的特殊情況,從而用以驗證本文推導的本構模型在真三軸應力狀態下的適用性,真三軸應力作用下的蠕變數據如下表2 所示,根據數據我們擬合得到八面體剪應力τoct與平均正應力σm,2的線性關系,從而得到式(26)中常數的大小,如圖4 所示,C1=0.59701,C2=36.25189,代入到式(29)得到屈服面的表達式.

圖4 八面體剪應力τoct 與平均正應力σm,2 的線性關系圖Fig.4 Linear relationship between octahedral shear stress τoct and mean normal stress σm,2

表2 真三軸應力下的巖石損傷應力Table 2 Rock peak stress under true triaxial stress

真三軸應力作用下的本構模型參數的確定與上述過程一致,在三向應力情況下,本文選取了不同中間主應力下的巖石蠕變試驗數據和不同最大主應力下的巖石蠕變數據分別進行驗證,得到真三軸應力狀態下的大理石蠕變參數如表3 所示.Zhao 等[29-30]進行的試驗并不考慮巖石的化學損傷,因此對于本文推導的考慮化學損傷巖石蠕變方程來說,化學損傷因子Dc為0,結合上文已經得到的屈服面常數C1和C2與確定的本構模型參數,得到巖石在真三軸應力作用下的試驗曲線與模型曲線的對比如圖5所示.

圖5 真三軸應力作用下的大理巖實驗曲線與模型曲線對比Fig.5 Comparison between experimental and model curves of marble under true triaxial stress

表3 真三軸應力作用下的大理巖蠕變模型參數Table 3 Parameters of the marble creep model under true triaxial stress

2.2 模型驗證

對比圖3 和圖5 中的試驗曲線和理論曲線,可以看到本文推導的巖石在水化學作用下的真三軸蠕變模型曲線與試驗曲線較為符合,不僅能夠反應化學損傷對巖石蠕變特性的影響,同時能反應巖石在真三軸應力作用下的蠕變行為,包括巖石蠕變的彈性階段、衰減階段、等速階段和加速階段.不同大小的中間主應力對巖石的蠕變行為會產生重要的影響,當第三主應力不變,中間主應力增大時,巖石蠕變破壞時間增大,破壞時的應變減小;通過對比在同一主應力和不同中間主應力作用下的巖石蠕變曲線,當中間主應力為5 MPa 時,巖石進入加速蠕變階段,理論模型能很好的表現巖石進入破壞時的特征,而在其他水平的中主應力作用下,巖石蠕變則處于等速蠕變階段,并沒有發生破壞.同時我們可以看到當巖石蠕變處于加速階段時,本構曲線與試驗曲線的數據往往有一定的偏差,偏差平均在7%左右,這是因為在這個階段巖石受到的應力已經大于其長期強度,巖石表面和內部產生的裂紋開始延展與貫通,導致這階段的巖石的內部的應力不均勻分布.整體來看,本文建立的考慮化學腐蝕的真三軸蠕變模型能很好的反應巖石的蠕變各階段行為,驗證了模型建立的正確性和參數驗證的合理性.

3 中間主應力對模型參數的影響

本文建立的巖石蠕變本構模型考慮了真三軸應力作用,因此,需要探討不同中間主應力對模型參數的影響.通過得到不同中間主應力作用下巖石的蠕變模型參數,如下圖6 所示,其中,剪切模量G2值的大小隨著中間主應力的增加而上升,它作為一個彈性參數,隨中間主應力的增大而逐漸增大.這表明,隨著中間主應力的增加,巖石原有的裂紋、孔洞等微缺陷閉合,使巖石試樣得到一定程度的硬化;黏滯系數η2的值隨著中間主應力的增加呈現下降的趨勢,黏滯系數η4的值隨著中間主應力的增加呈現先增加而后減小的趨勢.值得注意的是,當巖石進入加速蠕變階段時,黏滯系數η3會大幅減小,從而使得巖石的蠕變速率增加,最終進入加速蠕變階段,在本構模型曲線上體現為巖石應變的增加.在巖石蠕變未進入加速階段而處于黏彈性應變時,黏滯系數η3的值很大,在宏觀上表現為巖石蠕變速率的穩定,巖石所受到的外力還未達到巖石的長期強度.參數N隨著中主應力的增加而呈現增大的趨勢,同時可以觀察到,當中主應力的水平較小時(σ2=5 MPa),巖石進入加速蠕變階段所需的時間較大,當中主應力增加時,巖石蠕變破壞時間顯著減小.

圖6 不同中間主應力對模型參數的影響Fig.6 Effects of different intermediate principal stresses on model parameters

4 結論

(1)基于水巖作用的化學動力學理論,定義了考慮PH 值與時間的化學損傷因子,將彈性體,非線性Kelvin 體,線性Kelvin 體,黏彈塑性體((Mogi-Coulomb)進行串聯,并同時考慮真三軸應力作用下的實際情況,建立了考慮巖石酸腐與真三軸應力耦合作用下的損傷蠕變本構模型.

(2)采用考慮化學腐蝕的巖石蠕變實驗結果和真三軸應力作用下的巖石蠕變結果分別對模型進行了驗證,得到了化學損傷因子和考慮真三軸應力作用的巖石屈服面,結果表明,建立的本構模型能很好的反應巖石在酸腐作用和真三軸應力狀態下的蠕變特性,驗證了其合理性與參數確定的正確性.

(3)該蠕變模型不僅能夠準確地描述巖石的瞬時彈性應變階段、等速蠕變階段的蠕變曲線特征,而且能夠較好地描述巖石衰減蠕變階段和加速蠕變階段蠕變曲線的非線性特征.

(4)分析了不同中間主應力對巖石參數的影響,剪切模量G2值的大小隨著中間主應力的增加而上升;黏滯系數η2的值隨著中間主應力的增加呈現下降的趨勢,黏滯系數η4的值隨著中間主應力的增加呈現先增加而后減小的趨勢;當巖石進入加速蠕變階段時,黏滯系數η3會大幅減小;參數N隨著中主應力的增加而呈現增大的趨勢,當中主應力增加時,巖石蠕變破壞時間顯著減小.