具有基數(shù)約束的多階段均值-半方差可信性投資組合優(yōu)化

張 鵬, 崔淑琳, 李璟欣

(華南師范大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

0 引言

MARKOWITZ[1]提出了均值-方差投資組合選擇模型。傳統(tǒng)上,概率論是一個分析投資組合選擇不確定性的主要工具。然而,如果沒有足夠的歷史數(shù)據(jù),假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的收益為模糊變量更合理。模糊投資組合選擇已在許多文獻(xiàn)中被提出,諸如VERCHER等[2],MOHEBBI和NAJAFI[3],JIN等[4]分別提出了幾種多階段模糊投資組合選擇模型;LIU和ZHANG[5]提出了多階段可能性投資組合優(yōu)化模型。但以上模型中的可能性測度不滿足自對偶性。為了彌補可能性理論的缺陷,LIU和LIU[6]提出了具有自對偶性的可信性理論。此后,學(xué)者們將可信性理論運用于投資組合研究中,如HUANG[7]構(gòu)建了可信性均值-半方差投資組合模型。GUPTA等[8]探究了多階段均值-半絕對偏差-偏度可信性投資組合選擇模型。

現(xiàn)有的模型大多以Markowitz的均值-方差模型為框架,同時考慮一些現(xiàn)實約束,如基數(shù)約束和閾值約束。考慮交易成本,管理由大量資產(chǎn)組成的投資組合顯然是不可取的。具有基數(shù)約束的Markowitz投資組合模型及其拓展模型在過去十幾年里已被深入研究。特別是從計算的角度,一些研究者提出了精確解的方法,如BERTSIMAS和 SHIODA[9],LE THI和MOEINI[10]。由于精確解法只能夠解決決策變量較少的情況,因此,許多學(xué)者提出了啟發(fā)式算法求解,如LEUNG和WANG[11],YAMAN和DALKILIC[12]。事實上,標(biāo)準(zhǔn)Makowitz模型是凸二次規(guī)劃問題,而具有基數(shù)約束的Markowitz模型是混合整數(shù)二次規(guī)劃問題,屬于NP完全問題。

現(xiàn)實生活中投資者可以將自己的財富在不同時期重新分配,因此,實際投資活動是動態(tài)且連續(xù)的。JIN等[4]構(gòu)建了多階段均值-方差-流動性投資組合模型;LIU和LIU[6]提出了多階段均值-方差可信性投資組合模型。張鵬等[13]提出了多階段均值-半方差隨機投資組合模型。

本文引入了具有交易成本、借貸約束、交易量限制以及基數(shù)約束,構(gòu)建了具有現(xiàn)實約束的多階段均值-半方差可信性投資組合模型,并提出離散近似迭代算法求解。最后,用一個具體的算例驗證了模型和算法的有效性。

1 預(yù)備知識

設(shè)ξ為隸屬度函數(shù)μ的一個模糊變量,u和x是實數(shù)。對于任何給定的集合B(ξ∈B),可能性、必要性和可信性測度分別定義為:

其中可信性測度滿足自對偶性,Cr{ξ≤r}+Cr{ξ≥r}=1。

定義1[6]設(shè)ξ是一個模糊變量。則ξ的期望值定義為:

(1)

定理1[6]設(shè)ξ和η是相互獨立的模糊變量,λ和μ是兩個實數(shù)。則

E(λξ+μη)=λE(ξ)+μE(η)

(2)

定義2[7]設(shè)ξ的期望值為e,(ξ-e)-=min{ξ-e,0},則ξ的可信性半方差為:

(3)

定理2令ξ和η為期望值有限且相互獨立的模糊變量,λ和μ為非負(fù)實數(shù),則:

SV(λξ+μη)=λ2SV(ξ)+μ2SV(η)

(4)

定理3設(shè)ξ=(a,α,β)是一個三角模糊數(shù)。則ξ的可信性期望值和可信性半方差為:

(5)

(6)

2 多階段投資組合模型

假設(shè)證券市場上存在風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)可供投資。投資者將初始財富W1配置于n+1種資產(chǎn),并在T期結(jié)束時使其財富最大化。假設(shè)每個階段風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為三角模糊變量。符號及說明如表1所示。

表1 符號及說明

2.1 收益、風(fēng)險和基數(shù)約束

假設(shè)第t階段風(fēng)險資產(chǎn)i的收益率Rit=(ait,αit,βit)是三角模糊變量,采用V型函數(shù)來刻畫交易成本,xt的凈回報率為:

(7)

第t+1期的初始財富為:

(8)

投資組合的可信性半方差可以表示為:

(9)

多階段投資組合模型的閾值約束可以表示為:lit≤xit≤uit。

θ表示投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù)(0≤θ≤1)。θ越大,表示投資者厭惡風(fēng)險程度越大。假設(shè)(1-θ)和θ分別為rNt和SVt(xt)的偏好系數(shù),則投資者效用函數(shù)可表示為:

(10)

2.2 多階段投資組合優(yōu)化基本模型

投資者希望在整個T期的效用最大化。具有現(xiàn)實約束的多階段投資組合模型為:

(11)

約束條件(a)是財富動態(tài)轉(zhuǎn)移方程;約束條件(b)表示無風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例超過給定下界;約束條件(c)表示xt中非零風(fēng)險資產(chǎn)的數(shù)量不能超過K;約束條件(d)為xit的閾值約束。

3 求解算法

第t階段的狀態(tài)變量Wt按由小到大分成4等分,則在每個時期均有5個離散狀態(tài)變量值。模型(11)可以近似轉(zhuǎn)化為多階段加權(quán)有向圖,如圖1。有向圖的階段數(shù)即投資期數(shù),第t階段目標(biāo)函數(shù)值和狀態(tài)變量的離散值分別由多階段加權(quán)有向圖第t階段的權(quán)重和點表示。本文運用HEIDERGOTT等[14]的極大代數(shù)法求上述多階段有向賦權(quán)圖的最長路徑。

圖1 多階段有向賦權(quán)圖

3.1 離散近似迭代法

離散近似迭代法的具體步驟:

步驟1確定第t(t=2,…,T+1)階段的離散狀態(tài)變量:

假設(shè)投資者只考慮在第t階段使投資組合的半方差最小化:

(12)

假設(shè)投資者希望第t階段投資組合期望收益最大化:

(13)

步驟2確定有向賦權(quán)圖的權(quán)重。

步驟3計算多階段加權(quán)有向圖的最長路徑。

多階段加權(quán)有向圖的最長路徑F(1)的第一次迭代可以得到如下:

(14)

步驟4離散近似迭代法的第k+1次迭代具體描述如下:

步驟4.3可得第k+1次迭代F(k+1)的最長路徑和另一個可行解如下:

(15)

如果|F(k+1)-F(k)|≤10-6,則最長路徑F(k+1)的最優(yōu)解也是模型(11)的近似最優(yōu)解。否則返回步驟2。

3.2 離散近似迭代法的收斂性

定理4離散近似迭代法是收斂的。

則可得第k次迭代F(k)的多階段加權(quán)有向圖的最長路徑如下:

(16)

定理證畢。

4 算例

假設(shè)投資者從上海證券交易所選擇30支股票投資。股票代碼分別為S1,…,S30。以W1=1為初期財富進行5期投資,其財富在每個時期的開始可以調(diào)整。假定每個時期的收益,風(fēng)險和30支股票的流動率分別用三角模糊數(shù)表示。本文以2006年4月至2015年3月的歷史數(shù)據(jù)為樣本,并以每3個月為一個周期進行處理。用VERCHER等[2]計算每個階段資產(chǎn)收益率的三角可能性分布。

表2 當(dāng)θ=0.5,K=6時的最優(yōu)解

表3 當(dāng)θ=0.5,K=8時的最優(yōu)解

當(dāng)θ=0.5,K=6時,第1階段最優(yōu)化投資策略投資者分別以20%,20%,20%,20%,20%,20%,-20%,0%的比例分配其初始財富于資產(chǎn)1、資產(chǎn)13、資產(chǎn)17、資產(chǎn)19、資產(chǎn)24 、資產(chǎn)28、無風(fēng)險資產(chǎn)和30支股票中的其他資產(chǎn)。從表2中也可以得到第2階段,第3階段,第4階段,第5階段的最優(yōu)投資策略。最終可用財富為2.0396。當(dāng)θ=0.5,K=8,最終可用財富為2.2268。從表2和表3可以看出,當(dāng)K=6和8時,最優(yōu)解中大部分資產(chǎn)相同。當(dāng)θ=0.5,K=0,1,…,9時,得到的最終可用財富如表4所示。由表4可知,K=8與K≥9的最優(yōu)解相同。當(dāng)K∈[0,8]時,投資組合中非零風(fēng)險資產(chǎn)數(shù)量越多,最終財富越大,它反映了在投資組合優(yōu)化中所需資產(chǎn)數(shù)量的影響。

當(dāng)K=7,θ=0.1,…,0.9,1時,可得到的最終財富如表5所示。

表4 當(dāng)θ=0.5,K=0,1,…,9時的最終財富

表5 當(dāng)K=7,θ=0,0.1,…,0.9,1時的最終財富

從表5中可以看出,當(dāng)0.1≤θ≤0.6時,最終財富相同;當(dāng)0.6<θ≤1時,偏好系數(shù)θ越大,最終財富越小,它反映了在投資組合優(yōu)化中偏好系數(shù)θ的影響。

5 結(jié)論

本文考慮了模糊環(huán)境下的多階段投資組合優(yōu)化問題。文章使用可信性均值和半方差分別度量多階段投資組合的收益和風(fēng)險。提出了具有交易成本、借貸約束、閾值約束和基數(shù)約束的多階段均值-半方差投資組合模型,給出了離散近似迭代法進行求解,并證明了其收斂性。最后,以一個具體例子來證明模型和算法的有效性。