基于WOA優(yōu)化概率分布參考點(diǎn)的鋰電池故障診斷

李康樂(lè) 張?jiān)埔? 韓勁松 賀維

摘 要：鋰離子電池憑借其優(yōu)越的儲(chǔ)能性能被廣泛應(yīng)用在許多領(lǐng)域，而隨著使用時(shí)間增加，鋰離子電池的老化加劇容易導(dǎo)致不同程度的故障，因此對(duì)鋰離子電池進(jìn)行在線故障診斷至關(guān)重要。為了進(jìn)一步提高故障診斷的準(zhǔn)確率和透明性，提出使用連續(xù)概率分布證據(jù)推理（ER）規(guī)則的故障診斷模型，并使用優(yōu)化方法優(yōu)化相關(guān)參數(shù)。首先，從充放電過(guò)程中提取能反映電池健康狀態(tài)（SOH）的特征指標(biāo)，采用Spearman相關(guān)系數(shù)分析特征指標(biāo)與SOH之間的關(guān)聯(lián)來(lái)提取健康因子；第二，考慮到電池的故障信息具有不確定性，提出一種基于ER規(guī)則的連續(xù)概率分布參考點(diǎn)的故障診斷方法，采用高斯分布描述參考點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)在線故障診斷；第三，設(shè)計(jì)了一種帶約束的鯨魚優(yōu)化算法（WOA）優(yōu)化證據(jù)參數(shù)，構(gòu)建GERW故障診斷模型，使模型故障診斷準(zhǔn)確率達(dá)到最優(yōu)；最后，通過(guò)分析SOH對(duì)故障進(jìn)行模糊劃分，以NASA電池?cái)?shù)據(jù)集為例驗(yàn)證GERW模型的有效性，此外還將模型拓展到電池SOH估計(jì)中。驗(yàn)證結(jié)果表明，GERW模型對(duì)比其他故障診斷方法具有更高準(zhǔn)確率且診斷過(guò)程更加透明，在SOH估計(jì)中也有一定效果。

關(guān)鍵詞：鋰離子電池；故障診斷；證據(jù)推理規(guī)則；高斯分布；信息轉(zhuǎn)換；鯨魚優(yōu)化算法

中圖分類號(hào)：TP18?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?? 文章編號(hào)：1001-3695（2023）12-005-3551-08

doi：10.19734/j.issn.10013695.2023.04.0154

Lithium batteries fault diagnosis based on WOA optimized probability distribution reference points

Abstract：Lithiumion batteries are widely used in various fields due to their superior energy storage performance.However，with the increase of using time，the aging of lithiumion batteries is prone to lead to different failure degrees，so online fault diagnosis for lithiumion batteries is crucial.To improve the accuracy and transparency of fault diagnosis，this paper proposed a fault diagnosis model based on continuous probability distribution evidential reasoning （ER） rule，and optimized the related parameters by optimization method.Firstly，this paper extracted characteristic indicators that could reflect batteries state of health （SOH） from charging and discharging process，and used Spearman correlation coefficient to analyze the correlation between characteristic indicators and the SOH to extract health indexes.Secondly，considering the uncertainty of battery fault information，this paper proposed a fault diagnosis method based on continuous probability distribution reference points of evidential reasoning（ER） rule，it used Gaussian distribution to describe the reference points，so as to achieve online fault diagnosis.Thirdly，it designed a whale optimization algorithm （WOA） with constraints to optimize evidence parameters to construct the GERW fault diagnosis model，so that the accuracy of model fault diagnosis reached the best.Finally，it made fuzzy division of faults by analyzing SOH，and verified the effectiveness of the GERW model by taking the NASA battery data set as an example.In addition，the model was extended to batteries SOH estimation.The verification results show that GERW model has higher accuracy and more transparent process than other fault diagnosis methods，and it also has a certain effect in SOH estimation.

Key words：lithiumion batteries；fault diagnosis；evidential reasoning rule；Gaussian distribution；information conversion；whale optimization algorithm（WOA）

0 引言

鋰離子電池在現(xiàn)代生活和工業(yè)生產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用，從電子設(shè)備到汽車領(lǐng)域和航空航天領(lǐng)域，突顯了它們?cè)跒楫?dāng)代社會(huì)提供動(dòng)力方面的重要作用。然而，隨著充放電循環(huán)次數(shù)增加，電池壽命和存儲(chǔ)容量等健康狀態(tài)（SOH）指標(biāo)將不斷惡化，導(dǎo)致不同程度的故障。因此，實(shí)現(xiàn)在線故障診斷對(duì)于保障電池安全可靠運(yùn)行、降低設(shè)備性能下降或因電池故障導(dǎo)致的停機(jī)事故具有重要意義。目前常用的鋰電池故障診斷方法有基于模型的方法、基于信號(hào)的方法和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法［1］三種類型。

基于模型的方法通常利用各種濾波方法和獲取電池模型參數(shù)中包含的故障信息生成殘差信號(hào)來(lái)檢測(cè)故障。Yang等人［2］提出一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器的車載鋰電池故障診斷方法，利用庫(kù)侖計(jì)數(shù)估算的充電狀態(tài)（state of charge，SOC）與SOC差異來(lái)檢測(cè)故障。Sidhu等人［3］提出一種自適應(yīng)故障診斷技術(shù)，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器用于估計(jì)電池的端電壓并生成殘差信號(hào)來(lái)生成確定特征故障的概率。Feng等人［4］提出一種基于等效電路的內(nèi)短路故障診斷模型，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器和遞歸最小二乘估計(jì)電池SOC、電壓和內(nèi)阻等指標(biāo)來(lái)進(jìn)行故障診斷。Feng等人［5］提出了基于電池內(nèi)部短路的電化學(xué)—熱耦合模型實(shí)現(xiàn)故障診斷。然而基于模型的方法計(jì)算成本較高，一些復(fù)雜且高耦合的電化學(xué)模型難以在線實(shí)現(xiàn)故障診斷。

基于信號(hào)的方法可以直接在采集數(shù)據(jù)上實(shí)現(xiàn)，因?yàn)椴杉瘮?shù)據(jù)中會(huì)攜帶故障信息，常見信號(hào)包括電壓信號(hào)和電流信號(hào)等。Jiang等人［6］提出一種基于信號(hào)的故障診斷方法，利用流形學(xué)習(xí)對(duì)時(shí)間序列特征提取、特征融合和降維影響的信號(hào)分析，最后基于聚類的異常值檢測(cè)來(lái)識(shí)別異常信號(hào)特征。劉鵬等人［7］提出一種基于快速傅里葉變換和異常系數(shù)評(píng)估的動(dòng)力電池電壓不一致性故障診斷方法，提取頻域中的幅值作為特征參數(shù)實(shí)現(xiàn)故障診斷。Kong等人［8］對(duì)達(dá)到滿電狀態(tài)單體電池的充電電壓曲線進(jìn)行變化，依據(jù)單體間的剩余充電容量的變化不一致性進(jìn)行故障診斷。雖然基于信號(hào)的方法計(jì)算簡(jiǎn)單且無(wú)須搭建電池的運(yùn)行模型，但該方法無(wú)法應(yīng)用在傳感器故障和電池狀態(tài)不一致時(shí)的故障診斷。

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法依賴歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法和機(jī)器學(xué)習(xí)方法建模來(lái)進(jìn)行故障診斷。Kang等人［9］提出一種改進(jìn)的相關(guān)系數(shù)方法來(lái)診斷電池短路、傳感器故障和連接故障。Xue等人［10］提出一種新型的電動(dòng)滑板車電池組故障診斷與異常檢測(cè)方法，基于高斯分布確定診斷系數(shù)，利用K均值聚類算法、Z評(píng)分法和sigma篩選法對(duì)異常電池進(jìn)行檢測(cè)和定位。夏飛等人［11］提出在決策層采用DS證據(jù)理論組合規(guī)則來(lái)確定基于BP網(wǎng)絡(luò)和RBF網(wǎng)絡(luò)的故障診斷算法結(jié)果，依據(jù)決策準(zhǔn)則確定鋰電池系統(tǒng)的故障狀態(tài)。彭運(yùn)賽等人［12］提出一種基于改進(jìn)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和信息融合鋰離子電池組故障診斷方法，利用DS證據(jù)理論融合初步和輔助診斷結(jié)果得到最終的故障診斷結(jié)果。Li等人［13］提出了一種基于樣本熵的鋰電池故障診斷方法，該方法經(jīng)過(guò)真實(shí)世界數(shù)據(jù)驗(yàn)證，可以在各種工作條件下準(zhǔn)確識(shí)別電池故障。Li等人［14］結(jié)合長(zhǎng)短期記憶循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和等效電路模型，提出了一種新的電池故障診斷方法，利用改進(jìn)的自適應(yīng)增壓方法提高診斷準(zhǔn)確率。然而基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法過(guò)于依賴觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量，此外采用的機(jī)器學(xué)習(xí)建模方法是黑盒模型，導(dǎo)致診斷結(jié)果不具有可解釋性。

綜上所述，現(xiàn)有的大部分研究聚焦于診斷鋰電池的特定故障，而對(duì)故障程度的研究相對(duì)較少。隨著使用時(shí)間增加，電池性能下降導(dǎo)致不同程度的故障，因此有必要在線診斷鋰電池的故障程度以防止事故發(fā)生。張睿等人［15］提出一種基于Delphi變異系數(shù)組合賦權(quán)法的電池性能評(píng)估方法，評(píng)估電池成組的總體性能下降程度，為工程中成組使用動(dòng)力電池提供決策依據(jù)。Yao等人［16］提出一種基于遺傳算法的改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)對(duì)鋰電池組的故障狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化估計(jì)，利用電壓信號(hào)提取特征參數(shù)來(lái)檢測(cè)電池組的故障程度。上述方法未能有效結(jié)合多種包含故障信息的特征指標(biāo)，或僅對(duì)單一指標(biāo)分析，導(dǎo)致無(wú)法得到綜合全面的故障診斷結(jié)果。同時(shí)，鋰電池在運(yùn)行過(guò)程中難免會(huì)受到干擾，導(dǎo)致指標(biāo)中包含不確定性信息［17］。ER規(guī)則作為一種半定量信息方法，能夠考慮定性知識(shí)和定量信息，有效融合多源信息以解決不確定性問(wèn)題，得到綜合評(píng)估結(jié)果［18］。

ER規(guī)則最初由文獻(xiàn)［19］在2013年提出，其在信息融合與處理不確定性方面具有顯著優(yōu)勢(shì)而被廣泛應(yīng)用于評(píng)估與決策的多個(gè)領(lǐng)域中，包括多屬性決策分析［20］、信息融合［21，22］和專家系統(tǒng)［23，24］等。因此，本文利用ER規(guī)則融合包含鋰電池故障信息的特征指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)對(duì)鋰電池不同程度故障的診斷。

作為ER規(guī)則中信息轉(zhuǎn)換的重要參數(shù)，證據(jù)參考點(diǎn)極大程度上決定了ER規(guī)則的聚合結(jié)果，參考點(diǎn)可以看作是對(duì)指標(biāo)信息狀態(tài)的劃分，同時(shí)整體的聚合結(jié)果也與指標(biāo)信息狀態(tài)的劃分密切相關(guān)［25］。目前的研究中，參考點(diǎn)的設(shè)置包括定量和定性兩種方式。定性方式由決策者或?qū)＜腋鶕?jù)領(lǐng)域知識(shí)進(jìn)行主觀判斷，給出輸入相對(duì)于不同參考點(diǎn)的置信度。定量方式采用信息轉(zhuǎn)換方法將信息轉(zhuǎn)換成特定的參考值，常用的定量方式包括基于規(guī)則的方法和基于區(qū)間［26］的方法。然而，定性方式過(guò)于依賴專家知識(shí)，定量方式不能全面描述相應(yīng)的狀態(tài)，缺乏反映實(shí)際信息的能力，在轉(zhuǎn)換過(guò)程中丟失大量有效信息，導(dǎo)致評(píng)估結(jié)果不合理。同時(shí)，區(qū)間形式只給出了上下界，無(wú)法解決參考點(diǎn)的概率不確定性。針對(duì)上述問(wèn)題，提出了一種基于連續(xù)概率分布參考點(diǎn)的ER規(guī)則模型。鑒于高斯分布已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，且與鋰電池退化過(guò)程基本一致，因此將參考點(diǎn)的分布形式指定為高斯分布。此外，初始的高斯分布相關(guān)參數(shù)根據(jù)專家知識(shí)給出，可能并非最優(yōu)參數(shù)，有必要利用參數(shù)優(yōu)化方法來(lái)優(yōu)化參數(shù)，以提高故障診斷的準(zhǔn)確率。

目前成熟的智能優(yōu)化算法有遺傳算法（GA）［27］、差分進(jìn)化算法（DE）［28］和粒子群算法（PSO）［29］等。遺傳算法作為一種全局優(yōu)化概率算法具有進(jìn)化的特性，在搜索過(guò)程中無(wú)須考慮問(wèn)題的內(nèi)在性質(zhì)，對(duì)于任意形式的目標(biāo)函數(shù)和約束都能處理，但其存在早熟問(wèn)題，易陷入局部最優(yōu)，同時(shí)對(duì)于高維數(shù)參數(shù)的優(yōu)化處理效果不佳；作為遺傳算法的拓展，差分進(jìn)化算法引入了利用當(dāng)前群體中個(gè)體差異來(lái)構(gòu)造變異個(gè)體的差分變異模式作為進(jìn)化方式，在繼承遺傳算法優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)保持高魯棒性，但仍未擺脫遺傳算法中的局部最優(yōu)問(wèn)題；粒子群算法作為一種群智能算法，通過(guò)追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來(lái)尋找全局最優(yōu)，具有參數(shù)少、收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但其存在早熟且被證明非全局收斂的缺點(diǎn)。然而，鯨魚優(yōu)化算法作為一種元啟發(fā)式優(yōu)化算法，根據(jù)鯨魚圍捕獵物的行為而提出，其中每個(gè)鯨魚的位置代表了一個(gè)可行解，在鯨魚群捕獵過(guò)程中，每只鯨魚有兩種行為：a）包圍獵物，所有鯨魚都向著其他鯨魚前進(jìn)來(lái)包圍獵物；b）汽包網(wǎng)，鯨魚環(huán)形游動(dòng)噴出氣泡來(lái)驅(qū)趕獵物。在每一代的游動(dòng)中，鯨魚們會(huì)隨機(jī)選擇這兩種行為來(lái)進(jìn)行捕獵，采用隨機(jī)或最佳搜索代理來(lái)模擬捕獵行為，有效避免了早熟問(wèn)題，提高了算法的全局搜索能力，同時(shí)具有無(wú)須梯度信息、且參數(shù)量少的優(yōu)點(diǎn)［30］，因此本文利用WOA優(yōu)化證據(jù)參數(shù)，使故障診斷的效果達(dá)到最優(yōu)。

本文提出了一種基于WOA優(yōu)化的連續(xù)概率分布ER故障診斷模型，主要貢獻(xiàn)包括：a）利用高斯分布描述證據(jù)的參考點(diǎn)，構(gòu)建了GER模型，解決參考點(diǎn)的概率不確定性和有效信息缺失的問(wèn)題；b）根據(jù)故障診斷的結(jié)果，提出一種帶約束的鯨魚優(yōu)化算法來(lái)優(yōu)化證據(jù)參數(shù)，構(gòu)建了GERW模型，在提高故障診斷準(zhǔn)確率的同時(shí)保證參數(shù)的合理性。

1 問(wèn)題描述

構(gòu)建GERW模型，主要解決的問(wèn)題如下：

問(wèn)題1 特征指標(biāo)的選取。作為故障診斷的基礎(chǔ)，包含故障信息的指標(biāo)多元，特征各異，僅憑單一指標(biāo)無(wú)法有效診斷故障，聯(lián)合多指標(biāo)進(jìn)行綜合的故障診斷至關(guān)重要，如何選取合理的特征指標(biāo)是亟待解決的第一個(gè)問(wèn)題。鑒于此，本文提出

indicator=S（X1，X2，…，XI）（1）

其中：S（·）代表非線性函數(shù)；X代表特征指標(biāo)；I代表指標(biāo)的個(gè)數(shù)。

問(wèn)題2 連續(xù)概率分布參考點(diǎn)的設(shè)置。作為ER規(guī)則的基本參數(shù)，參考點(diǎn)設(shè)置的合理與否將直接影響故障診斷的效果，如何選取合理的分布形式描述參考點(diǎn)以解決概率不確定性和信息缺失是亟待解決的第二個(gè)問(wèn)題。鑒于此，本文提出

RP=g（X，υ）（2）

其中：g（·）代表非線性函數(shù)；υ代表連續(xù)概率分布的參數(shù)集合。

問(wèn)題3 參數(shù)優(yōu)化方法的設(shè)置。連續(xù)概率分布的初始參數(shù)由專家知識(shí)給出，主觀性較強(qiáng)并且無(wú)法保證最優(yōu)效果，有必要采取優(yōu)化方法確定更合理的參數(shù)，如何選取合理方法來(lái)優(yōu)化相關(guān)參數(shù)使故障診斷達(dá)到最優(yōu)效果是亟待解決的第三個(gè)問(wèn)題。鑒于此，本文提出

υbest=W（X，γ）（3）

其中：W（·）代表非線性函數(shù)；γ代表優(yōu)化方法的參數(shù)集合。GERW模型的總體故障診斷流程如圖1所示。

2 GERW故障診斷模型的構(gòu)建

本文在考慮選取包含故障信息特征指標(biāo)的基礎(chǔ)上，提出利用ER規(guī)則融合多指標(biāo)進(jìn)行故障診斷，并利用高斯分布描述參考點(diǎn)解決信息缺失和概率不確定性問(wèn)題，最后利用WOA優(yōu)化參數(shù)。

2.1 ER規(guī)則

假設(shè)一個(gè)由一系列互斥和相關(guān)命題組成的辨識(shí)框架Θ={H1，…，HN}，共有I條互相獨(dú)立的證據(jù)以置信分布的形式表示：

ei={（Hn，pn，i），n=1，…，N，i=1，…，I；（Θ，pΘ，i）}（4）

其中：pn，i表示證據(jù)i對(duì)命題Hn的支持程度，即置信度；pΘ，i表示證據(jù)i對(duì)辨識(shí)框架Θ的支持程度。每個(gè)指標(biāo)都被當(dāng)作一條證據(jù)，每條證據(jù)ei都有可靠度ri和權(quán)重wi兩個(gè)參數(shù)，分別采用基于距離的方法和變異系數(shù)法計(jì)算［31］。

a）證據(jù)可靠度的計(jì)算。由于鋰電池運(yùn)行時(shí)會(huì)受到各種不確定性因素的干擾，導(dǎo)致特征指標(biāo)不可靠，所以融合指標(biāo)證據(jù)時(shí)必須考慮其可靠性，利用基于距離的方法進(jìn)行計(jì)算，如下所示。

證據(jù)可靠度為

b）證據(jù)權(quán)重的計(jì)算。在融合證據(jù)時(shí)，為了體現(xiàn)證據(jù)間的相對(duì)重要程度，有必要通過(guò)證據(jù)權(quán)重來(lái)體現(xiàn)。利用變異系數(shù)法計(jì)算，如下所示。

則證據(jù)權(quán)重為

求得上述證據(jù)參數(shù)之后，ER規(guī)則的聚合結(jié)果pn，e（I）可由解析ER方法計(jì)算：

其中：pn，e（I）代表I條證據(jù)對(duì)命題Hn的聯(lián)合支持程度，即聯(lián)合置信度，描述為置信分布形式。

e（I）={（Hn，pn，e（I）），n=1，…，N，（Θ，pΘ，e（I））}（13）

2.2 基于高斯分布的信息轉(zhuǎn)換方法

本節(jié)描述了利用高斯分布對(duì)特征指標(biāo)進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換的過(guò)程。假設(shè)共有I個(gè)指標(biāo)，N個(gè)故障等級(jí)，如下所示。

{（xi，Hn，i），i=1，…，I，n=1，…，N}（14）

其中：Hn，i表示指標(biāo)xi對(duì)應(yīng)的第n個(gè)故障等級(jí)，所有故障等級(jí)均可將xi劃分為N個(gè)狀態(tài)。

xi（k）=［x1，i（k），x2，i（k），…，xN-1，i（k），xN，i（k）］（15）

每級(jí)指標(biāo)數(shù)據(jù)都被視為服從高斯分布，表示為g（un，i，σn，i），有

xn，i（k）≈g（un，i，σn，i）（16）

基于高斯分布的特性，其計(jì)算為

其中：un，i表示高斯分布的均值；σn，i表示高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差，它們的初始值由專家知識(shí)給出，后續(xù)通過(guò)優(yōu)化得到精確數(shù)值。

un，i和σn，i作為故障等級(jí)參數(shù)，反映了高斯分布的狀態(tài)，un，i可視為不同等級(jí)中最具代表性的點(diǎn)，指標(biāo)數(shù)據(jù)離un，i越近，其隸屬于Hn，i的程度越高，如圖2所示。

可以理解為當(dāng)特征指標(biāo)位于兩個(gè)不同等級(jí)之間，對(duì)每個(gè)等級(jí)的隸屬程度取決于高斯分布g（un，i，σn，i，xn，i（k））的加權(quán)值?？紤]到實(shí)際情況，共有三種條件有待討論。

條件1 指標(biāo)xi（k）位于un，i和un+1，i之間。

條件2 指標(biāo)xi（k）大于uN，i。

pN，i（k）=1 pm，i（k）=0，m≠N（18b）

條件3 指標(biāo)xi（k）小于u1，i。

p1，i（k）=1 pm，i（k）=0，m≠1（18c）

式（18）引入高斯分布對(duì)特征指標(biāo)進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換，其計(jì)算結(jié)果即為式（4）中的pn，i，不僅增強(qiáng)了ER規(guī)則處理不確定性的能力，還在一定程度上提高了故障診斷的效果。

2.3 參數(shù)的優(yōu)化過(guò)程

考慮到專家設(shè)置的初始證據(jù)參數(shù)不一定準(zhǔn)確，有必要利用優(yōu)化算法來(lái)調(diào)整參數(shù)，獲得故障診斷的最優(yōu)解。WOA是模仿座頭鯨的狩獵行為進(jìn)而提出的一種新型啟發(fā)式優(yōu)化算法，其操作簡(jiǎn)單，調(diào)整的參數(shù)少且跳出局部最優(yōu)的能力強(qiáng)，因此本文利用WOA優(yōu)化高斯分布的相關(guān)參數(shù)。在WOA有包圍獵物、狩獵行為和搜索獵物三個(gè)過(guò)程，如下所示。

a）包圍獵物。該過(guò)程可由如式（19）（20）表述。

D=|CXbest（t）-X（t）|（19）

X（t+1）=Xbest（t）-AD（20）

其中：A和C代表系數(shù)向量；X（t）代表當(dāng)前鯨魚的位置向量；t為當(dāng)前的迭代次數(shù)。向量A和C可由下式計(jì)算：

A=2av1-a，C=2v2（21）

a=2-2t/Tmax（22）

其中：v1和v2代表分布于［0，1］的隨機(jī)向量；Tmax代表最大迭代次數(shù)；a從2線性下降到0。

b）狩獵行為。座頭鯨的狩獵行為是以螺旋運(yùn)動(dòng)游向獵物進(jìn)行狩獵，可由式（23）（24）表述。

X（t+1）=Xbest（t）+Dpeblcos（2πl(wèi)）（23）

Dp=|Xbest（t）-X（t）|（24）

其中：Dp代表座頭鯨和獵物間的距離；b代表定義螺旋運(yùn)動(dòng)軌跡的常數(shù)；l代表［-1，1］的隨機(jī)數(shù)。此外，座頭鯨以螺旋狀運(yùn)動(dòng)軌跡游向獵物的同時(shí)還要收縮包圍圈，因此假設(shè)收縮包圍圈的概率為Pi，選擇螺旋模型更新座頭鯨位置的概率為1-Pi，有

其中：當(dāng)靠近獵物時(shí)減小a的值，以此向量A的波動(dòng)范圍也隨之下降，在迭代過(guò)程中a的值從2下降到0，A是［-a，a］的隨機(jī)值，座頭鯨的下一個(gè)位置可以是其現(xiàn)在所處位置和獵物所處位置之間的任意位置，A越小，游走的步長(zhǎng)越小。

c）搜索獵物。該過(guò)程可由式（26）（27）表述。

D=|CXrand（t）-X（t）|（26）

X（t+1）=Xrand（t）-AD（27）

其中：Xrand（t）代表隨機(jī)選擇的鯨魚的位置。當(dāng)A≥1時(shí)隨機(jī)選擇一個(gè)搜索代理，根據(jù)隨機(jī)選擇的鯨魚位置來(lái)更新其他鯨魚的位置，加強(qiáng)WOA的全局搜索能力。WOA算法的基本流程如圖3所示。WOA的流程可以分為如下六步：

a）初始化鯨魚位置信息，設(shè)置鯨魚種群數(shù)為N，最大迭代次數(shù)為Tmax。

b）計(jì)算每個(gè)鯨魚的適應(yīng)度，判斷參數(shù)是否處于約束區(qū)間內(nèi)，找到當(dāng)前處于約束區(qū)間內(nèi)最優(yōu)位置的鯨魚并保存。

c）計(jì)算參數(shù)和系數(shù)向量，判斷概率p是否小于0.5，若是則轉(zhuǎn)入步驟d），否則按式（19）（20）更新鯨魚位置。

d）判斷系數(shù)向量A的絕對(duì)值是否小于1，若是則包圍獵物，按式（19）（20）更新鯨魚位置，否則全局隨機(jī)搜索獵物，按式（26）（27）更新鯨魚位置。

e）當(dāng)位置更新結(jié)束，再次計(jì)算每個(gè)鯨魚的適應(yīng)度，并與上次迭代的最優(yōu)位置的鯨魚比較，若優(yōu)則利用最新的最優(yōu)解替換。

f）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若是則獲得最優(yōu)解，否則繼續(xù)迭代。

2.4 基于GERW模型的故障診斷流程

GERW模型的故障診斷流程包括選取健康因子、高斯分布的健康因子信息轉(zhuǎn)換、ER規(guī)則融合診斷和WOA優(yōu)化高斯參數(shù)四部分組成。作為故障診斷的基礎(chǔ)，選取有效的特征指標(biāo)作為健康因子（HI）將直接影響診斷效果。在實(shí)際工程中，并非每種特征指標(biāo)都包含有效的故障信息，因此有必要分析特征指標(biāo)和故障狀態(tài)之間的相關(guān)性，提取有效的健康因子。為了驗(yàn)證可行性，利用Spearman相關(guān)系數(shù)分析特征指標(biāo)和故障狀態(tài)的相關(guān)性。假設(shè)有兩組數(shù)據(jù)變量αi和βi，i=1，…，n，Spearman相關(guān)系數(shù)如式（28）所示。

獲得健康因子后將其視為證據(jù)，根據(jù)式（18）并結(jié)合專家知識(shí)設(shè)置服從高斯分布的參考點(diǎn)，將利用高斯分布將健康因子進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換，得到式（4）所示的置信分布形式；再根據(jù)式（5）～（7）和式（8）～（11）分別計(jì)算證據(jù)可靠度和證據(jù)權(quán)重，利用式（12）所示的ER規(guī)則融合上述證據(jù)參數(shù)，得到故障診斷的結(jié)果。假設(shè)鋰電池的故障程度包括N種狀態(tài)，各觀測(cè)點(diǎn)的輸出聯(lián)合置信度pn，e（I）（k）如式（29）所示。

{（H1，p1，e（I）（k）），（H2，p2，e（I）（k）），…，（HN，pN，e（I）（k）），k=1，2，…，T-1，T}（29）

其中：輸出的最大聯(lián)合置信度pn，e（I）（k）所支持的故障狀態(tài)即當(dāng)前的診斷結(jié)果，如式（30）所示。

故障診斷的總體準(zhǔn)確率被定義為

其中：right代表被診斷的觀測(cè)點(diǎn)和實(shí)際故障狀態(tài)一致的觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)；all代表被診斷觀測(cè)點(diǎn)的總數(shù)且all=T。

經(jīng)過(guò)上述步驟，得到初始故障診斷結(jié)果，但初始等級(jí)參數(shù)un，i和σn，i由專家知識(shí)設(shè)置，導(dǎo)致診斷結(jié)果并非最優(yōu)，因此為了提高模型精度，利用WOA對(duì)等級(jí)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和約束條件如下：

其中：Ulb和Uub分別代表un，i的上界和下界；ci代表限制不同等級(jí)之間過(guò)度重疊的系數(shù)，均可由觀測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)合專家知識(shí)確定。

GERW模型的總體故障診斷流程如圖4所示。

3 案例分析

為了驗(yàn)證所提GERW故障診斷模型的有效性，以NASA公開鋰離子電池?cái)?shù)據(jù)集為例，對(duì)鋰電池在充放電循環(huán)過(guò)程中的故障狀態(tài)進(jìn)行診斷。

3.1 數(shù)據(jù)處理

本文采用的驗(yàn)證數(shù)據(jù)來(lái)源于NASA提供的規(guī)格為2 A·h的18650鈷酸鋰電池老化數(shù)據(jù)集。以電池每次充放電循環(huán)的相關(guān)數(shù)據(jù)提取特征指標(biāo)。具體操作包括充電模式和放電模式兩部分：

a）充電模式。鋰電池在1.5 A的恒定電流模式下充電，直到電池電壓達(dá)到4.2 V，再以恒定電壓4.2 V充電，一直充到電流降至20 mA為止。

b）放電模式。以恒定電流2 A進(jìn)行放電，直到電壓達(dá)到設(shè)定的截止電壓。

當(dāng)電池容量相對(duì)額定容量下降30%，充放電循環(huán)停止。

因此本文選取電池B0006，提取充電模式下的恒定電流下電壓從3.8 V升至4.2 V的電壓升放時(shí)間以及恒定電壓條件下電流從1.5 A降到0.5 A的電流降放時(shí)間作為特征指標(biāo)1和2?？紤]到溫度的影響，還提取了每次循環(huán)周期內(nèi)的最大溫差作為特征指標(biāo)3。指標(biāo)如圖5所示。

根據(jù)電池的剩余容量計(jì)算SOH，以SOH為性能標(biāo)準(zhǔn)來(lái)劃分故障狀態(tài)和分析指標(biāo)相關(guān)性，選取健康因子，SOH計(jì)算公式為

其中：Ci代表第i次循環(huán)后的電池容量；C代表電池的額定容量。SOH如圖5所示。

如圖6所示，隨著鋰離子電池循環(huán)充放電的次數(shù)增加，電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生重大改變進(jìn)而導(dǎo)致電池性能不斷退化，比如鋰離子在移動(dòng)過(guò)程中與電解液發(fā)生反應(yīng)導(dǎo)致的鋰損失和電解液分解，SEI 膜增厚或分解，集電極腐蝕等，因此電池的SOH隨著充放電循環(huán)呈下降趨勢(shì)，SOH可以直觀反映出鋰電池的故障狀態(tài)，SOH值越小，電池老化越嚴(yán)重，故障等級(jí)越高。本文以SOH為參照設(shè)置電池的三種故障等級(jí)：當(dāng)SOH值處于0.8附近及以上時(shí)，電池處于正常狀態(tài)；當(dāng)SOH值處于0.7～0.8，電池輕度故障；當(dāng)SOH值低于0.7，電池嚴(yán)重故障。雖然根據(jù)SOH的變化曲線能在一定程度上推測(cè)處于當(dāng)前的故障程度，但當(dāng)數(shù)據(jù)波動(dòng)較大且處于臨界狀態(tài)時(shí)，故障程度難以準(zhǔn)確診斷，且單一指標(biāo)無(wú)法全面描述電池的故障狀態(tài)，有必要綜合多項(xiàng)指標(biāo)，得到全面合理的故障診斷結(jié)果。最后，利用Spearman相關(guān)系數(shù)計(jì)算所提取指標(biāo)和SOH的相關(guān)性，選擇健康因子作為診斷基礎(chǔ)。根據(jù)式（28），相關(guān)系數(shù)如表1所示。

根據(jù)表1，相關(guān)系數(shù)都逼近于1或-1，認(rèn)為三個(gè)特征指標(biāo)都合理有效且包含足夠的故障信息，因此所有指標(biāo)都可以作為健康因子，分別表示為HI1、HI2和HI3。

3.2 信息轉(zhuǎn)換和證據(jù)參數(shù)的計(jì)算

在進(jìn)行ER過(guò)程之前，每種健康因子都被視作一條證據(jù)，需要將健康因子進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換成置信分布形式，利用高斯分布進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換描述參考點(diǎn)，初始的等級(jí)參數(shù)均值un，i和標(biāo)準(zhǔn)差σn，i由專家知識(shí)設(shè)置，如表2所示。

根據(jù)式（18），健康因子的置信分布如圖7所示。根據(jù)式（5）～（7），健康因子的可靠度分布如圖8所示。

根據(jù)圖8，第一階段HI3的可靠度最高，第二階段HI1的可靠度最高，最后階段HI2的可靠度最高，說(shuō)明隨著循環(huán)次數(shù)的增加，不同健康因子的可靠度實(shí)時(shí)變化。為保證診斷的精確性，有必要計(jì)算可靠度來(lái)評(píng)估健康因子解決問(wèn)題的能力。

根據(jù)圖7，總體上HI1、HI2和HI3的置信度在第一階段以正常狀態(tài)為主，第二階段以輕度故障為主，第三階段以嚴(yán)重故障為主，符合實(shí)際。根據(jù)式（8）～（11），健康因子的權(quán)重分布如圖9所示。

根據(jù)圖9，總體上HI1的權(quán)重顯著高于HI2和HI3，維持在0.4以上，HI2的權(quán)重總體維持在0.4以下，HI3權(quán)重最小為維持在0.3以下，說(shuō)明在診斷過(guò)程中HI1的重要程度最高。

3.3 故障診斷的ER過(guò)程和WOA優(yōu)化過(guò)程

經(jīng)過(guò)2.1節(jié)的計(jì)算得到健康因子的證據(jù)參數(shù)，包括置信分布、可靠度和權(quán)重，基于式（18）利用ER規(guī)則聚合證據(jù)參數(shù)，得到最終的故障診斷結(jié)果，以式（13）和（29）所示的置信分布形式表示，診斷結(jié)果如圖10所示。

根據(jù)圖10，在第一階段0～55次循環(huán)間，診斷結(jié)果主要分布在正常等級(jí)上，對(duì)應(yīng)置信度在0.7以上；在第二階段56～110次循環(huán)間，診斷結(jié)果主要分布在輕度故障上，置信度分布于0.5～0.9；在第三階段111～165次循環(huán)間，置信度分布在0.5附近，表明此時(shí)診斷結(jié)果以嚴(yán)重故障為主。這與實(shí)際相符，表明隨著充放電循環(huán)的增加，電池老化導(dǎo)致故障發(fā)生，循環(huán)次數(shù)越多故障程度越嚴(yán)重。為了量化診斷結(jié)果，根據(jù)式（31）計(jì)算故障診斷的準(zhǔn)確率，如圖11所示。

根據(jù)圖11，故障診斷的準(zhǔn)確率達(dá)到87.27%，但仍有部分觀測(cè)點(diǎn)診斷有誤，尤其體現(xiàn)在輕度故障和嚴(yán)重故障臨界點(diǎn)的診斷種，這是由于初始的專家知識(shí)設(shè)置等級(jí)參數(shù)的主觀性導(dǎo)致的。

為了進(jìn)一步提高故障診斷的精度，利用式（19）～（27）所示的鯨魚算法優(yōu)化等級(jí)參數(shù)，得到最優(yōu)的診斷結(jié)果。影響WOA優(yōu)化效果的超參數(shù)主要包括迭代次數(shù)和種群大小兩項(xiàng)，通常迭代次數(shù)越多且種群數(shù)量越大，WOA尋優(yōu)能力越強(qiáng)，但尋優(yōu)的時(shí)空間復(fù)雜性會(huì)增加。為了在尋優(yōu)精度和復(fù)雜性之間取得平衡，本文設(shè)置鯨魚算法的最大迭代次數(shù)為50，變量維數(shù)為18（共18個(gè)需要優(yōu)化的參數(shù)），種群個(gè)體數(shù)為50。根據(jù)式（32），目標(biāo)函數(shù)和約束條件如下：

根據(jù)式（34）得到優(yōu)化后的等級(jí)參數(shù)如表3所示。

根據(jù)WOA優(yōu)化后的等級(jí)參數(shù)，新的故障診斷結(jié)果如圖12所示。

根據(jù)圖12，WOA優(yōu)化后的故障診斷結(jié)果更加精確且符合實(shí)際，其準(zhǔn)確率的量化值如圖13所示。

根據(jù)圖13，WOA優(yōu)化的故障診斷準(zhǔn)確率高達(dá)98.79%，共165個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，僅在正常和輕度故障、輕度故障和嚴(yán)重故障的臨界點(diǎn)診斷有誤，相比于專家知識(shí)確定初始等級(jí)參數(shù)，極大提高了診斷精度。為了進(jìn)一步驗(yàn)證不同超參數(shù)對(duì)WOA優(yōu)化效果的影響，更多的超參數(shù)設(shè)置的故障診斷準(zhǔn)確率如表4所示，可以看出當(dāng)種群大小達(dá)到50，迭代次數(shù)達(dá)到50時(shí)，診斷精度不會(huì)有明顯變化。此外，當(dāng)種群大小和迭代次數(shù)足夠大時(shí)，故障診斷準(zhǔn)確率能達(dá)到100%，這體現(xiàn)了WOA在全局尋優(yōu)的優(yōu)勢(shì)。

3.4 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

3.4.1 建模方法的對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證GERW模型的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)行以下對(duì)比研究。首先，為了證明高斯分布描述參考點(diǎn)的解決信息缺失和概率不確定性問(wèn)題，將定量形式的參考值設(shè)置為初始高斯分布的均值和WOA優(yōu)化后的高斯分布的均值分別表示為QER1模型和QER2模型，診斷結(jié)果如圖14所示。

其次，作為證據(jù)推理的拓展應(yīng)用，置信規(guī)則庫(kù)（BRB）憑借優(yōu)秀的非線性建模能力而被廣泛應(yīng)用在故障檢測(cè)和安全評(píng)估等領(lǐng)域［23］，其能夠有效結(jié)合專家知識(shí)和工程實(shí)踐信息，具備較高的建模精度。本文將BRB和可解釋性BRB（BRBi）作為對(duì)比，仍然利用帶約束的WOA作為BRB的參數(shù)優(yōu)化方法，種群大小和迭代次數(shù)仍為50，其故障診斷結(jié)果如圖15所示。

最后，將GERW模型與常用的機(jī)器學(xué)習(xí)模型支持向量機(jī)SVM和多層感知機(jī)MLP進(jìn)行對(duì)比，將50%的觀測(cè)樣本作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，全部觀測(cè)樣本作為測(cè)試數(shù)據(jù)，其故障診斷結(jié)果如圖16所示。所有故障診斷方法的準(zhǔn)確率如表5所示。

根據(jù)表5，本文GERW模型準(zhǔn)確率達(dá)到98.79%，GER模型的準(zhǔn)確率為87.27%，高于QER1和QER2模型的86.67%和84.85%，這表明利用高斯分布描述參考點(diǎn)相比于傳統(tǒng)的定量方法，能有效解決信息缺失和概率不確定性問(wèn)題，提高故障診斷的精度。在和GERW模型相同的優(yōu)化條件下，BRB和BRBi模型的準(zhǔn)確率分別為98.18%和93.94%，均低于GERW，而機(jī)器學(xué)習(xí)模型MLP和SVM的準(zhǔn)確率相比于未優(yōu)化的GER模型有所提高，但仍低于GERW模型。此外機(jī)器學(xué)習(xí)是黑盒模型，其推理過(guò)程不透明不具備可解釋性，而ER推理過(guò)程清晰透明，具有較強(qiáng)的工程實(shí)踐意義。

3.4.2 優(yōu)化方法的對(duì)比

為了驗(yàn)證本文所提帶約束的WOA在參數(shù)尋優(yōu)方面的優(yōu)勢(shì)，分別將遺傳算法（GA）、差分進(jìn)化算法（DE）和粒子群算法（PSO）作為對(duì)比方法，各優(yōu)化方法在不同迭代次數(shù)下的尋優(yōu)效果如表6所示，所有優(yōu)化算法的參數(shù)約束條件仍如式（34）所示。

如表6所示，本文WOA在不同迭代次數(shù)下的尋優(yōu)能力最強(qiáng)，在第30次循環(huán)就能達(dá)到99.39%的準(zhǔn)確率，顯著高于其他優(yōu)化算法。此外，在50、100和200次循環(huán)下，WOA和DE的尋優(yōu)效果相同，但是WOA的收斂性顯著高于DE，在10次循環(huán)下準(zhǔn)確率就能達(dá)到98.79%，高于DE的98.18%，這表明相比于其他優(yōu)化算法，WOA具有更快的收斂速度和更強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，本文提出的帶約束的WOA具備更高的工程實(shí)踐價(jià)值。

3.5 GERW模型的拓展

本文提出的GERW模型不僅在鋰電池的故障診斷當(dāng)面表現(xiàn)優(yōu)秀，在SOH估計(jì)上也具有一定效果。為了擬合SOH曲線，引入期望效用將ER聚合結(jié)果轉(zhuǎn)換成概率分布的形式，如式（35）所示。

引入適應(yīng)度函數(shù)均方誤差（MSE）來(lái)計(jì)算實(shí)際SOH和預(yù)測(cè)值之間的關(guān)系，如式（36）所示。

GERW優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)、約束條件和3.3節(jié)中的式（34）相同。將GERW模型和MLP、SVM模型比較，MLP和SVM的樣本設(shè)置和3.4節(jié)中相同，適應(yīng)度曲線如圖17所示，MSE結(jié)果對(duì)比如表7所示。

根據(jù)表7，GERW模型的MSE值為3.07E-04，小于SVM但大于MLP，這表明本文模型在SOH估計(jì)上也具有一定效果，但其效果仍低于某些機(jī)器學(xué)習(xí)模型，這是因?yàn)樵谟?xùn)練優(yōu)化過(guò)程中，要保證參數(shù)具有明確物理意義有很多限制，本文模型中參數(shù)的可行范圍很小，而在機(jī)器學(xué)習(xí)中，參數(shù)是無(wú)約束優(yōu)化的，盲目追求精度而導(dǎo)致參數(shù)意義和模型可解釋性的喪失是不合理的，合理的故障診斷和SOH估計(jì)模型應(yīng)在準(zhǔn)確性和模型可解釋性之間取得平衡。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了解決鋰離子電池故障診斷的指標(biāo)信息不確定問(wèn)題，本文提出了一種帶優(yōu)化的連續(xù)概率分布診斷模型。主要貢獻(xiàn)如下：a）提出利用ER規(guī)則構(gòu)建故障診斷模型，采用高斯分布描述參考點(diǎn)解決信息缺失和概率不確定性問(wèn)題；b）提出一種帶約束的WOA，通過(guò)優(yōu)化高斯分布的等級(jí)參數(shù)來(lái)保證參數(shù)在合理約束下達(dá)到最優(yōu)的故障診斷結(jié)果；c）將本文模型應(yīng)用到電池的SOH估計(jì)中，驗(yàn)證本文模型在數(shù)據(jù)擬合方面的潛力。與其他故障診斷建模方法對(duì)比，本文GERW故障診斷模型精度更高。然而，未來(lái)鋰電池設(shè)備將朝著復(fù)雜化和集成化的方向發(fā)展，這將對(duì)故障診斷提出更高的要求。由于非高斯過(guò)程在工程實(shí)踐中很常見，所以應(yīng)該更全面、更普遍地描述參考點(diǎn)的表達(dá)形式，如何將高斯分布擴(kuò)展到其他概率分布形式值得研究，同時(shí)在專家知識(shí)有限的情況下，如何合理地設(shè)置高斯分布的等級(jí)參數(shù)需要進(jìn)一步討論。

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