利用數學方法解決物理中的極值問題

葉中輝

(安徽省阜陽市第五中學 236072)

1 利用二次函數求極值問題

1.1 利用一元二次函數判別式求極值

對于二次函數y=ax2+bx+c，用根的判別式法，利用b2-4ac≥0，(式中含y).若y≥A，則ymin=A.若y≤A，則ymax=A.

例1汽車A以v1=20m/s速度勻速行駛，在司機的正前方100m處有另一列汽車B正以v2=10m/s速度勻速行駛，A車立即做勻減速直線運動，加速度為a.為避免兩車相撞，a應滿足的條件是什么？

解若兩車恰好相撞，其位移關系應為：

∵不相撞,∴Δ<0

1.2 利用配方法求極值

對于二次函數y=ax2+bx+c，函數解析式經配方可變為y=(x-A)2+C,當x=A時，常數為極小值；

例2電路如圖1所示，電阻R為可變電阻，電動勢為E，內阻為r的電源，求R為何值時，電源的輸出功率有最大值？最大值是多少？

圖1

解P出=I2R

2 利用基本不等式求極值問題

例3 如圖2所示，在水平地面上固定一個半圓形光滑軌道，軌道直徑與地面相垂直.一物塊以速度v從軌道底端滑入，從軌道最高點飛出，物塊落地點與軌道下端的水平距離與軌道半徑有關，當此距離最大時，對應的軌道半徑為多少(重力加速度為g)( ).

圖2

解物塊做平拋運動的水平距離x為：

圖3

3 利用三角函數求極值問題

例5如圖4所示，在斜上拋運動中，斜上拋物體初速度為v，與水平方向夾角為α，在初速度一定的情況下，為α多大時水平射程最大.

圖4

3.2 當三角函數的形式為y=asinφ+bcosφ時利用等效變化的方式，可以將上轉化為：

4 利用導數求極值問題

利用導數求物理極值可以拓寬學生的解題思路，讓學生體會物理與數學的密切關系.應用導數方法求極值的步驟如下：

4.1 根據物理問題所遵循的規律得出物理函數表達式；

4.2 求函數的導數;

4.3 令導數等于零，求解這個方程，得到自變量的解；

4.4 判斷出該解對應的是極大值點還是極小值點；

4.5 把該解代入原方程求出對應的極值.

例6 汽車A以v1=20m/s速度勻速行駛，在司機的正前方100m處有另一列汽車B正以v2=10m/s速度勻速行駛，A車立即做勻減速直線運動，加速度為a.為避免兩車相撞，a應滿足的條件是什么？

解若兩車恰好相撞，其位移關系應為：

得：a=0.5m/s2

∴要使兩車不相撞，a>0.5m/s2

5 利用圖像求極值問題

各種極值問題，還可以利用函數圖像、矢量圖、幾何圖和光路圖等進行分析和解答.圖像法和其他方法比較，不僅具有形象、直觀、簡捷和概括力強的優點，而且對培養形象思維能力具有更重要的意義.在利用函數圖像求極值時，首先，應根據各物理量的函數關系，在直角坐標系上畫出相應的函數圖像，然后根據交點的坐標、斜率、截距和與坐標軸包圍的面積等的物理意義，進行分析、推理和計算.

例7如圖5，斜面傾角為α，動摩擦因數為μ，質量為M的小車沿斜面勻速向上運動，求拉力F與斜面夾角θ是多少時，拉力有最小值？

圖5

解小車在四個力作用下處于平衡狀態，將支持力N和摩擦力f，用其合力R代替，并設R與N的夾角為φ，把四個力轉化為三個力的平衡問題.

當θ角變化時：Mg為恒力，R方向不變，與豎直方向成(α+φ)；F的大小和方向都變化.

根據三個力構成的矢量三角形可以看出：當拉力F與R成90°時，拉力最小，且θ=φ(同角的余弦相等).

拉力的最小值為Fmin=Mgsin(α+tan-1μ).

高中物理中的求極值問題可以準確地考察學生對物理知識理解的程度，培養學生數學運算能力.物理學中的求極值問題屬于知識性很強，涉及面非常廣的問題，在力學、熱學、電磁學、光學中都有涉及，筆者只是選擇了幾個代表性的問題進行分析.近年來，高考加強了數學知識在物理中的運用，對學生數學方法的掌握和運算能力提出了更高的要求，要求學生能根據具體問題列出關系式并會進行相關推導和求解，也重視定性和半定量的分析和推理.教師在平時的教學中應根據不同的物理問題，一點一滴地把一些數學方法滲透進去，使學生對物理規律的理解更加深刻，使數學和物理這兩門學科互相滲透、互相促進.