一道高考試題的拓展與應用

許 文

(湖北省華中科技大學附屬中學 430074)

復合場是指電場、磁場、重力場中的兩種或三種場的疊加.關于帶電粒子或帶電質點在復合場中的運動，中學階段一般討論的是勻速直線運動、勻速圓周運動或類拋體運動等特殊情況.對于帶電粒子在復合場中做一般的曲線運動，往往由于知識缺陷或思維障礙很少討論曲線的性質.本文對2022年全國甲卷第18題關于帶電粒子在復合場中運動軌跡的問題進行研究，拓展并深化帶電粒子在復合場中做一般的曲線運動問題.

1 試題與問題

題目(2022全國甲卷第18題)空間存在著勻強磁場和勻強電場，磁場的方向垂直于紙面(xOy平面)向里，電場的方向沿y軸正方向.一帶正電的粒子在電場和磁場的作用下，從坐標原點O由靜止開始運動.下列四幅圖中，可能正確描述該粒子運動軌跡的是( ).

圖1

答案解析在xOy平面內電場的方向沿y軸正方向，在坐標原點O靜止的帶正電粒子在電場力作用下會向y軸正方向運動.磁場方向垂直于紙面向里，根據左手定則知，向y軸正方向運動的帶正電的粒子會受到沿x軸負方向的洛倫茲力，故帶電粒子向x軸負方向偏轉，選項A、C錯誤；運動的過程中在電場力對帶電粒子做功，粒子速度大小發生變化，粒子受的洛倫茲力方向始終與速度方向垂直，洛倫茲力不做功.當粒子從開始運動到再次運動到x軸時，電場力做功為零，粒子再次回到x軸時的速度為零，然后又重復向左偏轉，選項B正確、D錯誤.

有關帶電粒子在復合場中做一般曲線運動的問題，在一些新高考地區的高考中出現的頻率較高，如往年的江蘇卷、山東卷、重慶卷等曾多次出現，今年的廣東卷第8題也出現此類問題.

2 軌跡研究

在以上全國卷甲第18題中，設勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于xOy平面向里；勻強電場的場強大小為E，方向沿y軸正方向；帶正電粒子的質量為m，電荷量為q(q>0).

定性分析1 如圖2所示，設粒子速度為v，沿x軸負方向的速度為vx時，洛倫茲力沿y軸向下的分量大小滿足Bqvx=Eq，此時粒子繼續向左上方運動.由于洛倫茲力不做功，由動能定理可知粒子運動到最高點時電場力做功最大，此時粒子的速度最大.可知粒子在最高點受到豎直向下的洛倫茲力大于電場力，粒子又會從最高點向左下方運動，由動能定理知粒子運動到與釋放點等高處即x軸上時其速度為零，然后粒子又重復開始運動；可知粒子運動軌跡的情況大致如題給出的選項B所示.

圖2

圖3

定量分析如圖4所示，粒子從坐標原點O處開始運動，設t時刻粒子的速度為v，其水平分速與豎直分速分別為vx、vy，由牛頓第二定律有：

圖4

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

將(5)式微分后代入(2)式得：

(6)

(7)

(8)

(9)

對(8)式、(9)式分別積分得：

(10)

(11)

以上第(10)、(11)式即為粒子運動軌跡曲線的參數方程，由數學知識得，這種曲線為擺線.

3 問題拓展

在以上粒子運動軌跡研究的基礎上，求粒子運動過程中的最大速度vm大小及向上運動(離x軸)的最大距離h.

方法3 如圖2所示，將粒子在某一時刻的速度v分解為水平速度vx和豎直速度vy，其水平分速vx產生的洛倫茲力沿y軸向下，豎直分速vy產生的洛倫茲力水平向左.將粒子從釋放運動到最高點的過程分成很多小微小單元，由動量定理可知，此過程中粒子在水平方向上的動量改變為：-mvm=-ΣBqvyΔt=-BqΣvyΔt=-Bqh；

4 變式應用

若質量為m、電荷量為q的帶電的小球從磁感應強度大小為B的足夠大的勻強磁場中靜止釋放(如圖5所示)，求小球下降的最高度h與小球運動的最大速率vm.

圖5

應用如圖6，兩極板間存在磁感應強度為B的勻強磁場，靜止在負極板附近的帶負電微粒質量為m1、電量為-q，在MN間突然加上勻強電場E時開始運動，水平擊中速度為零的中性粒子m2后，粘合在一起恰好沿一段圓弧運動到N極板上，求

圖6

(1)m1擊中m2時的高度h1及m1擊中m2前瞬時速度大小v1；

(2)m2的質量及m1和m2粘合體做圓弧運動的半徑R.

如果復合場是勻強電場、磁場、重力場三種場的疊加，可以將重力場與電場合成一個“等效場”，求出“等效重力加速度”，我們仍然可以用動能定理與動量定理、運動的合成與分解、一元二次方程根的判別式等方法，分析求解帶電粒子在復合場中做一般曲線運動的相關問題，也可將以上結論遷移應用.