導數隱零點問題中虛設零點的方法

李發明

(山東省泰安第一中學 271000)

導數在高考解答題中始終扮演著壓軸題的角色，主要考查的題型有導數與不等式的證明、恒成立與能成立問題、零點問題、洛必達法則、隱零點問題以及極值點偏移問題.本文將對隱零點問題中較難的虛設零點法的幾個類型進行歸納總結，以期對學子及同行有所幫助.

1 可以消掉隱零點得到具體值的問題

例1 已知函數f(x)=xex-x-lnx，求f(x)的最小值.

解析定義域為x∈(0，+∞)，

所以f′(x) 在(0，+∞)上單調遞增.

又因為f′(1)=2(e-1)>0，

①

即x0=-lnx0.

②

所以f′(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.

所以f(x)min=f(x0)=x0ex0-x0-lnx0.

將①②兩式代入,得

練習1 已知函數f(x)=xe2x-2x-lnx，求f(x)的最小值.

③

兩邊取自然對數得2x0=-lnx0.

④

所以g(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以f′(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.所以f(x)min=f(x0)=x0e2x0-2x0-lnx0.

將③④兩式代入,得

2 無法消掉隱零點的求范圍問題

例2 已知函數f(x)=x+2xlnx，若對于任意x>1，f(x)>k(x-1)恒成立，求整數k的最大值.

即2x0-2lnx0-3=0.

此時g′(x)在(1，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(1，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.

所以kmax=4.

練習2 設函數f(x)=ex-x-2，當x>0時，(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立，求整數k的最大值.

令h(x)=ex-x-2，易知h(x)在(0，+∞)上單調遞增.

又因為h(1)=e-3<0，h(2)=e2-4>0，

所以存在x0∈(1，2)使得h(x0)=0，即ex0=x0+2.

所以h(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以g′(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.

所以kmax=2.

3 無法消掉隱零點且需要放縮的求范圍問題

例3已知函數f(x)=ex-ln(x+m)，當m≤2時，證明:f(x)>0.

解析當m≤2時，ln(x+2)≥ln(x+m)，所以-ln(x+2)≤-ln(x+m).

所以只需證明當m=2時，f(x)=ex-ln(x+2)>0,x∈(-2,+∞)即可.

⑦

兩邊取自然對數,得x0=-ln(x0+2).

⑧

所以f′(x)在(-2，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.所以f(x)在(-2，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.

所以f(x)min=f(x0)=ex0-ln(x0+2).

將⑦⑧兩式代入,得

所以當m≤2時，f(x)>0.

點評對于含有參數m的不等式問題，通過分析當m≤2時函數f(x)的變化情況，找到f(x)取最小值的情況，將證明ex-ln(x+m)>0放縮為證明ex-ln(x+2)>0.此放縮有兩個好處，一是將變化的參數m固定成了定值2；二是方便求導、方便計算.

練習3 已知函數f(x)=ex-t-lnx，當t≤2時，證明：f(x)>0.

解析當t≤2時，ex-t≥ex-2，所以只需證明當t=2時f(x)>0即可.

當t=2時，f(x)=ex-2-lnx，x∈(0，+∞)，

⑨

兩邊取自然對數得x0-2=-lnx0.

⑩

所以f′(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.所以f(x)min=f(x0)=ex0-2-lnx0.

將⑨⑩兩式代入,得

所以當t≤2時，f(x)>0.

4 需要對隱零點滿足的方程進行二次化簡的問題

例4設函數f(x)=xex-lnx-kx+x-1，若f(x)≥0恒成立，求實數k的取值范圍.

(*)

令F(x)=xlnx，所以F′(x)=lnx+1.

易知f′(x)>0在x∈(1，e)上恒成立.

即x0=-lnx0.

所以h(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以g′(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.

所以k≤2.

練習4設函數f(x)=xe2x-lnx-kx，若f(x)≥1恒成立，求實數k的取值范圍.

令h(x)=2x2e2x+lnx，x∈(0，+∞)，

所以h(x)在(0，+∞)上單調遞增.

兩邊取自然對數,得

令F(x)=x+lnx，易知F(x)在(0，+∞)上單調遞增.

即2x0=-lnx0.

所以h(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以g′(x)在(0，x0)上為負，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增.

所以k≤2.

隱零點問題是高考導數壓軸題最常考的類型之一，虛設零點法則是其中難度較大、出現較頻繁的題型，它能綜合考查學生對導數掌握的熟練程度，學生應在理解透“虛設零點”的基礎上多加練習，以期熟能生巧.