復合二次型函數零點問題解析

李 寒

(貴州省貴陽市第一中學 550081)

下面歸納解析形如y=a[f(x)]2-bf(x)+c(或a[f(x)]2-bf(x)+c=0)的復合二次型函數零點個數問題的求解策略.

1 利用因式分解求解

將f(x)視為整體變量，將問題轉化為關于f(x)的二次型方程后，可通過因式分解，利f(x)圖象與水平直線相交關系求解.

當1

當x>e時，f′(x)>0，

所以f(x)在(1，e]上單調遞減，在(e，+∞)上單調遞增.

故當x=e時，f(x)取得最小值，且最小值為f(e)=1.

當x≤1時，f(x)=x3-3x+a，

f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，

當x<-1時，f′(x)>0，

當-1

所以f(x)在(-∞，-1]上單調遞增，在(-1，1]上單調遞減.

故當x=-1時，f(x)有極大值，且極大值為f(-1)=2+a；當x=1時，f(1)=-2+a.

圖1

由題意，知[f(x)]2-(t+2)f(x)+2t=0.

即[f(x)-2][f(x)-t]=0有7個不同的實根.

當f(x)=2有三個根時，f(x)=t有四個實根，此時2+a=2或-2+a>2，解得a=0或a>4.

當f(x)=2有四個根時，f(x)=t有三個實根，此時-2+a≤2<2+a，解得0

綜上可得a≥0.

故實數a的取值范圍是[0，+∞).

點評本題首先研究函數f(x)的單調性、極值等性質，作出f(x)圖象，將函數零點問題轉化為關于f(x)的一元二次方程，因式分解后結合圖象求解.

由y′=0，解得x=e.

當x∈(0,e)時，y′>0，函數單調遞增，當x∈(e,+∞)時，y′<0，函數單調遞減．

方程2[f(x)]2+(1-2m)f(x)-m=0化為

[f(x)-m][2f(x)+1]=0，

圖2

故選C．

2 利用根的分布

將f(x)視為整體進行換元，即令f(x)=m，由題意得到m的范圍，然后將問題轉化為關于f(x)=m的二次型方程根的分布解答.

解析令y=0，所以函數y=[f(x)]2-(a+2)f(x)+3恰有6個不同的零點等價于方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6個不同的實數根.

f(x)=m，則方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0轉化為m2-(a+2)m+3=0.

作出函數f(x)的圖象，如圖3.

圖3

由圖3可知，要使關于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6個不同的實數根，則方程m2-(a+2)m+3=0在(1，2]內有兩個不同的實數根.

點評本題首先作出函數f(x)的圖象，然后換元，利用圖象將方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6個不同的實數根問題，轉化為一元二次方程在給定區間內有兩個不同解的問題，最后利用一元二次方程根的分布知識，列出關于參數a的不等式組求解.

3 利用求根公式求解

將f(x)視為整體進行換元，即令f(x)=m，將問題轉化為關于f(x)=m的一元二次方程，利用求根公式表示m，最后通過分析、討論求解.

A.3 B.1或3 C.4或6 D.3或4或6

解析由f(x)=(x2-3)ex，得

f′(x)=(x2+2x-3)ex.

令f′(x)=0，解得x=-3或x=1.

當x<-3時，f′(x)>0,

當-3

當x>1時，f′(x)>0，

所以函數f(x)在(-∞，-3]和[1，+∞)上單調遞增，在(-3，1)上單調遞減.

作出函數f(x)的圖象，如圖4.

圖4

令f(x)=m，則由圖4知方程f(x)=m的根的情況如下：

(4)當m<-2e時，方程沒有實根.

綜上，對于任意m∈R,方程均有3個實根.

故選A.

點評本題首先分析函數單調性、極值等性質，作出函數圖象，換元后利用一元二次方程兩根之間的關系，結合函數圖象，在討論的基礎上確定方程的根的個數，從而得解.

4 綜合利用函數性質

對于具有抽象函數背景的復合二次型函數零點問題，需綜合運用函數的對稱性、周期性等性質，求出函數解析式或研究圖象特征求解.

例5已知偶函數f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，且當x∈[0，3]時，f(x)=-x2+2x+1，若函數y=[f(x)]2-tf(x)-3在[-150，150]上有300個零點，則實數t的取值范圍是( ).

解析因為偶函數f(x)滿足

f(3+x)=f(3-x)，

所以f(3+x)=f[-(x-3)]=f(x-3).

所以f(x+6)=f[(x+3)+3]=f[(x+3)-3]=f(x).

所以函數f(x)是最小正周期為6的周期函數.

因為當x∈[0，3]時，f(x)=-x2+2x+1，

所以當x∈[-3，0]時，-x∈[0，3]，f(x)=f(-x)=-x2-2x+1.

作出函數f(x)在一個周期[-3，3]內的圖象，如圖5.

圖5

因為函數y=[f(x)]2-tf(x)-3在[-150，150]上有300個零點，即關于x的方程[f(x)]2-tf(x)-3=0在[-150，150]上有300個解.

所以關于x的方程[f(x)]2-tf(x)-3=0在[-3，3]上有6個解.

令f(x)=m，則結合圖象可知m必有兩個值，一個大于1且小于2，另一個大于-2且小于1，即方程m2-tm-3=0在(-2，1)和(1，2)內各有一個實根.

令g(m)=m2-tm-3，則

故選B.

點評本題首先由題意判斷函數f(x)的周期性，然后作出函數f(x)的圖象，將問題轉化后，換元利用一元二次方程根的分布求解，體現了函數及其性質的綜合應用.