高考數列復習應樹立六種意識

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級中學 737200)

1 重視基本量解題意識

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求數列{bn}的前n項和.

解得a1=2.

所以數列{an}是首項為2，公差為3的等差數列.

所以通項公式為an=3n-1.

(2)由(1)知anbn+1+bn+1=nbn.

記{bn}的前n項和為Sn,則

點評在高考中，數列小題常考,通過基本量的關系求解,計算難度不大,但容易出錯,個別題技巧性較強些.

2 重視公式的應用意識

例2 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2=2,S5=15，求數列{an}的通項公式.

解析設等差數列{an}的公差為d.

解得a1=d=1.

所以an=n(n∈N*).

點評數列的基本量運算，特別是an與Sn的關系(易漏掉n=1時的情況)是高考的熱點．

3 合理選擇運算途徑意識

解析當q=1時，顯然不合題意；

點評高考數列考查等比數列,注意正確選擇等比數列前n項和公式,而且要有整體消元的意識,從而可以快速計算.

4 強化合情推理的訓練意識

例4 若a,b是函數f(x)=x2-px+q(p>0,q>0) 的兩個不同的零點，且a,b,-2 進行適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p+q的值等于____．

解析由韋達定理得a+b=p,a·b=q.

則a>0,b>0.

當適當排序后成等差數列時，-2必不是等差中項.

綜上所述，a+b=p=5.

所以p+q=9．

點評學生在解題過程中,恰當運用合情推理,會產生求證意識,從而提高解題能力.

5 強化求和模型的訓練意識

5.1 裂項求和問題

點評注意裂項求和常適用于通項公式為分式的數列求和，特別是前面剩兩項后面剩兩項時，要分清剩哪兩項.

5.2 錯位相減法問題

例6 已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n(n+1)(n∈N*).

(1)求數列{an}的通項公式；

解析(1)當n=1時，a1=S1=2，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n，所以an=2n.

即bn+1=2(3n+1+1).

所以bn=2(3n+1)(n∈N*).

Tn=c1+c2+…+cn

=(1·3+2·32+3·33+…+n·3n)+(1+2+3+…+n)，

令Pn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n，

則3·Pn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.

作差,得-2Pn=3+32+33+…+3n-n·3n+1.

點評各項對齊后，注意錯位相減后的運算準確性.

5.3 集項求和問題

例7 求數列{(-1)n·n2}的前n項和Sn．

解析(1)當n為偶數時，an-1+an=(-1)n-1·(n-1)2+(-1)n·n2=2n-1，

所以Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)

=3+7+11+…+(2n-1)

又S1=a1=-1也適合上式，

點評在應用時應注意先求局部和，再求總和，往往適用于項的正、負符號不定的數列求和．

6 關注數列的簡單應用意識

例8 如圖1所示的三角形數：

圖1

將三角形數1，3，6，10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}．可以推測：

(1)b2012是數列{an}中的第____項；

(2)b2k-1=____．(用k表示)

所以b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15.

由上述規律可知：

b2k-1=a5k-1

故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030.

即b2012是數列{an}中的第5030項．

點評在具體實際問題中要有識別數列是哪一種數列的能力，關鍵是將實際問題如何轉化．