同構(gòu)視角下高考函數(shù)類試題求解策略
——以2022年高考試題為例

許雯雯

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225009)

函數(shù)類試題作為高考中的高頻考點(diǎn)，題型靈活多變 ,解題方法也往往不唯一，近年來更是與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合常常坐鎮(zhèn)高考數(shù)學(xué)的壓軸地位.這類試題考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等基本核心素養(yǎng)，試題有較好的區(qū)分度.無論試題如何變，背后通常都有不變的元素以及解決問題的基本方法.本文從2022 年的部分函數(shù)類試題出發(fā),探究與分析試題背景與命題意圖,基于同構(gòu)的視角探究解決該類問題的基本做法.

所謂同構(gòu)原理,就是通過觀察原式的代數(shù)特征，利用代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)構(gòu)造出統(tǒng)一的形式(同構(gòu)的本質(zhì)是結(jié)構(gòu)相同)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系，從而使形式得到很大程度的化簡(jiǎn).合理運(yùn)用同構(gòu)思想解題可以大大優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，簡(jiǎn)化推理步驟.同構(gòu)往往涉及到指對(duì)數(shù)互化、整體換元與不等式放縮等過程，融合在比較大小、三角函數(shù)、不等式恒成立等問題中.

1 比較大小問題

比較大小是高中數(shù)學(xué)中常見的題型,近年來考查難度也逐漸上升.這類問題通常以不等式的基本性質(zhì)為主要依據(jù),涉及不等式、函數(shù)等多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法,具有涉及面廣、立意新、角度新、解法靈活多樣等特點(diǎn),解決此類問題，需要對(duì)已知的關(guān)系式進(jìn)行觀察變形得到同構(gòu)關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性來比較大小，這類問題實(shí)質(zhì)上考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，是高考考查的重點(diǎn).

例1 (2022年全國甲卷文科第12題)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

思路1 不等式放縮.首先將9m=10寫成對(duì)數(shù)形式，即m=log910，與1作比較，再將a與b寫成含有9m的形式，利用m>1進(jìn)行放縮，從而得到答案.

思路2 同構(gòu)的思想.通過觀察已有的三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其化成同一形式，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，再求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

解析此處重點(diǎn)闡述同構(gòu)思想下的求解過程.

因?yàn)?m=10，所以m=log910>log99=1.

又因?yàn)閍=10m-10-1，b=8m-8-1，0=9m-9-1，所以可設(shè)f(x)=xm-x-1(x>1).

則f′(x)=mxm-1-1>xm-1-1>0.

所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以f(10)>f(9)>f(8).即a>0>b.

故選A.

A.a

思路2同構(gòu)法，仍然是兩兩比較的思路，通過對(duì)a,c和b,c作差，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)耐瑯?gòu)函數(shù)利用單調(diào)性比較出大小，而對(duì)a,b，通過同時(shí)擴(kuò)大到原來的9倍，再觀察出特征直接構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，利用單調(diào)性比出大小.

思路3泰勒公式法.對(duì)ex與ln(1+x)通過泰勒公式進(jìn)行有限項(xiàng)的展開，計(jì)算出a,c的近似值，再與b進(jìn)行比較，即可比較出三者大小.

解析此處闡述同構(gòu)的方法.

首先比較a,c，作差有a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1).

構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex+ln(1-x)，

知x∈(0,1)，f(0)=0.

令h(x)=(x2-1)ex+1，

求導(dǎo)有h′(x)=(x2+2x-1)ex.

于是h(x)

所以在x∈(0,0.1]時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，于是有f(0.1)>f(0)=0，即a-c>0，a>c.

其次比較a,b，可比較9a和9b的大小，

9a=(1-0.1)e0.1，9b=1=(1-0)e0，

因此構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1-x)ex，比較f(0.1)和f(0)即可.求導(dǎo)有f′(x)=-xex.

因?yàn)閤∈(0,0.1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(0)>f(0.1)，于是9b>9a，即b>a.

因此可以設(shè)f(x)=x-ln(1+x)，有f(0)=0.

即b-c>0，故b>c.

綜上，b>a>c，故選C.

評(píng)析從同構(gòu)法的思路來看，將a,b,c進(jìn)行兩兩比較時(shí)，只需稍加觀察和變形，構(gòu)造出同構(gòu)式再進(jìn)行作差，利用函數(shù)單調(diào)性可得到大小關(guān)系.

2 三角函數(shù)問題

三角函數(shù)是高考的必考題型之一，屬于中檔題.此類問題的情境創(chuàng)設(shè)通常簡(jiǎn)單新穎,設(shè)置方式多種多樣，難度適中.由于三角公式眾多,因此往往切入點(diǎn)不唯一,破解方法多種,對(duì)各層次學(xué)生能力的考查都有一定的體現(xiàn),可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理能力,解決此類問題，除了從誘導(dǎo)公式入手，還可以通過觀察，巧妙地將原式轉(zhuǎn)化成同構(gòu)式，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解.

思路1對(duì)原等式進(jìn)行變形，將等式右邊用二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后用兩角和差公式得到cos(A+B)=sinB，最后根據(jù)C的范圍確定sinB，由此求出B.

思路2利用同構(gòu)思想，將等式兩邊構(gòu)造成同一形式，利用同構(gòu)函數(shù)及其單調(diào)性，得出A,B的關(guān)系，進(jìn)而求解.

解析此處闡述同構(gòu)法，原式可寫成

令x1=sinA，x2=cos2B，有f(x1)=f(x2).

因?yàn)閒(x)是單調(diào)遞減的，所以x1=x2，

評(píng)析本題的巧妙之處在于，題目給的等式是長得很像的，因此可以考慮構(gòu)造同構(gòu)方程，根據(jù)sinA與cosA，sin2B與cos2B的關(guān)系，可以用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行替換，因而不難構(gòu)造出同構(gòu)式，從而構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到自變量之間的關(guān)系，從而再利用誘導(dǎo)公式以及三角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3 不等式的恒成立問題

函數(shù)大題是高考必考題之一，并且往往與導(dǎo)數(shù)結(jié)合作為壓軸題出現(xiàn)，屬于難題，當(dāng)中就有一類不等式恒成立問題，若采取常規(guī)方法處理，則會(huì)呈現(xiàn)運(yùn)算量大，變形復(fù)雜等特點(diǎn)，此時(shí)若能通過合理變形，采用同構(gòu)策略，則可以迅速化繁為簡(jiǎn)，揭示問題本質(zhì).

思路1直接對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值求解.

思路2通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，換元，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，求解.

解析此處重點(diǎn)闡述同構(gòu)的方法.

即ex-lnx+x-lnx≥a.

可知當(dāng)x∈(0,1)時(shí)t′<0，t單調(diào)遞減，x∈(1,+∞)時(shí)t′>0，t單調(diào)遞增，x=1時(shí)t′=0，因此x=1時(shí)有tmin=1.

又因?yàn)閑t+t≥a，令q(t)=et+t(t≥1),

求導(dǎo)有q′(t)=et+1>0.

所以q(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

于是有q(t)min=q(1)=e+1.所以a≤e+1.

點(diǎn)撥解決不等式恒成立問題主要有三個(gè)基本思路,一是通過研究函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在給定區(qū)間上的取值范圍；二是將不等式拆分成兩部分, 分別求其最大值與最小值進(jìn)行比較；三是利用同構(gòu)思想合理使用切線放縮進(jìn)行證明.

通過上述例題，不難發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)視角下函數(shù)類試題的處理策略，可概括為三點(diǎn)：(1)通過觀察與變形構(gòu)造同構(gòu)式；(2)利用函數(shù)的性質(zhì)解題；(3)根據(jù)題意，進(jìn)行解答.雖然看起來過程比較清晰簡(jiǎn)單，但是真正要使用同構(gòu)進(jìn)行解題，需要學(xué)生熟練、靈活地掌握代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，并能夠?qū)︻}目所給的式子進(jìn)行觀察，根據(jù)個(gè)人的做題情況進(jìn)行歸類與整理，形成同構(gòu)的獨(dú)到視角，那么同構(gòu)的方法將會(huì)是高考數(shù)學(xué)解題的一大利器.