2020年復旦大學強基計劃第18題的多視角解答與探源

李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學 551100)

1 真題呈現

題目在△ABC中，AB=9，BC=6，CA=7，則BC邊上中線長度為____.

此題乍看十分普通，細細品味后卻發現內涵豐富，給人啟迪.深刻而不深奧的一道試題既考查了學生數學建模能力，又考查了直觀想象、數學運算等能力.

2 解法探究

如圖1，取BC邊的中點為D，連接AD，即求AD的長.

圖1

視角1 借助公共角B(或角C).

解析不妨借助公共角B.

在△ABC中，由余弦定理有

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB.

所以49=81+36-2×9×6×cosB.

在△ADB中，由余弦定理有

AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB

視角2借助∠ADB+∠ADC=180°.

解析在△ADB中，由余弦定理有

AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠ADB.

即AD2-6AD·cos∠ADB-72=0.

①

在△ADC中，由余弦定理有

AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC.

所以AD2-6AD·cos∠ADC-40=0.

因為∠ADB+∠ADC=180°，

故cos∠ADC=cos(180°-∠ADB)=-cos∠ADB.

所以AD2+6AD·cos∠ADB-40=0.

②

由①+②，得2AD2=112.

視角3 借助三角形的射影定理.

解析在△ADB中，由余弦定理，得

在△ADC中，由余弦定理，得

在△ABC中，由射影定理,得

a=ccosB+bcosC.

所以6=9cosB+7cosC.

視角4 借助S△ADB=S△ADC.

解析設AD=x,

因為D為BC的中點，所以S△ADB=S△ADC.

由海倫公式,得

視角5 構造三角形的中位線，借助余弦定理.

解析如圖2，過點D作DE∥AB交AC于點E.

在△ABC中，由余弦定理有

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC.

所以36=81+49-2×9×7·cos∠BAC.

圖2

由DE∥AB，所以∠BAC+∠AED=180°.

由DE∥AB，且D為BC的中點，AB=9，AC=7，

所以AD2=AE2+DE2-2AE·DE·cos∠AED

視角6 構造直角三角形，借助勾股定理.

解析因為AB2

如圖3，過點A作AE⊥BC，交線段BC于點E.

圖3

設CE=x，則由勾股定理可得

AC2-EC2=AB2-BE2.

即72-x2=92-(6-x)2.

又由勾股定理可得

AD2-DE2=AC2-CE2.

解析在△ABC中，由余弦定理，得

因為AD是BC邊上的中線，

視角8 借助平行四邊形的性質：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于平行四邊形的兩鄰邊的平方和的2倍.

解析如圖4，延長AD于點E，使AD=DE，連接BE，CE，易知四邊形ABEC是平行四邊形.

圖4

由平行四邊形的性質，得

BC2+AE2=2(AB2+AC2).

所以62+AE2=2(92+72).

視角9 建立適當的平面直角坐標系，借助兩點間的距離公式.

解析如圖5，建立平面直角坐標系.

圖5

則B(-3，0)，C(3，0)，D(0，0).

設A(x，y),

則AB2=(x+3)2+y2=81，

③

AC2=(x-3)2+y2=49.

④

由③+④，得x2+y2=56.

視角10 借助三角形的中線長公式.

解析由三角形的中線長公式,得

3 尋根探究

本題來源于人教A版教材必修第二冊第53頁第15題.

△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，利用余弦定理證明

從表達形式可以看出，這道強基計劃試題是教材中的試題進行數據改編而得的.近幾年的自主招生，強基計劃，各種競賽試題的命制越來越新穎多變、形式多樣，但萬變不離其宗，它們都可以在教材中找到原型.因此，需要我們在平時的學習過程中留意對課本例題、習題、練習題的訓練，要熟練地進行求解，掌握問題求解的通性通法，同時進行一題多解和多變練習，抓住實質，做到“胸中有本”，以不變應萬變，一題一世界，一題可破萬題山.

4 同源變式

變式1 (2017年北京大學自主招生第6題)若三角形三條中線長度分別為9，12，15，則該三角形面積為( ).

A.64 B.72 C.90 D.前3個答案都不對

解析如圖6，設△ABC的三邊分別為AB=c，BC=a，CA=b，三條中線分別為AD=9，BE=12，CF=15.

圖6

由三角形的中線長公式,得

解析記M為AC的中點，由中線長公式，得

4BM2+AC2=2(AB2+BC2).

由余弦定理,得

解析設點B在面ACM上的射影為點O，則

由余弦定理，可得

因而∠OMC=150°.

對二面角B-MC-A的大小分類討論.

①若二面角B-MC-A的大小為銳角，

則∠AMO=∠OMC-∠AMC=90°.

②若二面角B-MC-A的大小為鈍角，

則∠AMO=360°-∠OMC-∠AMC=150°.

由余弦定理，可得

AO2=MA2+MO2-2MA·MO·cos150°

故選B，C.

變式4 (2021年復旦大學自主招生第3題)AD是△ABC的角平分線，AB=3，AC=8，BC=7，求AD的長.

解析1由三角形內角平分線定理得

所以3DC=8BD.

解析2 由角平分線長公式,得

5 解題啟示

教材是專家們花費大量心血進行千錘百煉、字斟句酌編寫而成的，教材具有示范性和權威性，縱觀近幾年的自主招生、強基計劃試題，可以發現許多試題都能找到課本習題、練習、例題的影子，試題中不變的是知識和思想方法，變化的無非是呈現的方式、問題的結構方式.這就要求我們平時在教學中，要對教材中經典的題目、具有代表性的題目特別關注，關注其解法，關注其變式，使學生知一題而懂一類.在提煉這些問題的基本方法、常規方法的同時，還要掌握不同題型的“秒殺法”，不論試題構思如何新穎，學生都能自如應對.