處理抽象函數問題的常用策略

王 芳

(江蘇省常熟市梅李高級中學 215500)

抽象函數是一類特殊的函數，此類函數由于沒有給出具體的函數解析式，從而解題思維與常見函數的處理方法不同，故需要我們特別關注.基于此，本文對處理抽象函數問題的常用策略加以歸類解析，旨在幫助同學們掌握求解此類問題的一些內在規律、特點，從而進一步提高處理抽象函數問題的解題能力.

1 借助“賦值”，探求函數的解析式與奇偶性

抽象函數問題，如果在題設條件中涉及關于兩個變量的恒等式，那么具體求解時，我們不僅要注意“賦值”思想的靈活運用，而且還要注意“賦值”的各種具體方式——可以是具體的實數，也可以是一些特殊的代數式.

例1設函數f:R→R，滿足f(0)=1，且對任意x，y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，求函數f(x)的解析式.

解析注意到本題中的x，y具有任意性，于是應考慮對變量x，y如何靈活地賦值，以達到巧妙求解的目的.

因為f(0)=1，所以取x=0，則由題設得f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=f(y)-f(y)+2=2.

從而，取y=0，則由題設得

f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2.

所以2=f(x)×1-1-x+2，

所以f(x)=x+1.

評注本題求解的切入點是：緊緊抓住f(0)=1，對變量x，y進行靈活賦值分析.

例2若函數f(x)滿足：f(x)+f(y)=f(x+y)對任意x，y∈R都成立，試判斷函數f(x)的奇偶性.

解析要判斷函數f(x)的奇偶性，關鍵在于考查f(-x)與±f(x)之間滿足什么關系.

取x=y=0，則有f(0)+f(0)=f(0).

所以f(0)=0.

從而取y=-x，則有

f(x)+f(-x)=f(0)=0.

即f(-x)=-f(x).

故函數f(x)為奇函數.

2借助“變形”，證明函數的單調性

證明抽象函數的單調性時，一般應根據增函數(或減函數)的定義加以論證，同時要注意在適當“變形”的基礎上創造有利條件，以便靈活運用題設條件.

例3已知函數f(x)滿足：f(x+y)=f(x)+f(y)-1(x，y∈R)，且當x>0時，有f(x)>1，求證：函數f(x)在R上是增函數.

證明任取x1,x2∈R,且設x1

因為x2-x1>0

所以由題設得f(x2-x1)>1.

于是，結合已知條件可得

f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1).

即f(x2)>f(x1).

綜上，根據增函數的定義即知，函數f(x)在R上是增函數.

評注將“x2”變形為“(x2-x1)+x1”是本題順利求證的關鍵所在.

例4已知定義在R+上的函數f(x)滿足：f(xy)=f(x)+f(y)(x,y∈(0,+∞))，且當x>1時，f(x)<0，求證：函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

于是，結合已知條件可得

即f(x2)

綜上，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

3 借助“作圖”，速解不等式

如果題目給出抽象函數的奇偶性、單調性，那么求解相關不等式時，我們可借助適當“作圖”技巧，有利于化抽象為具體，從而根據數形結合思想達到順利求解不等式的目的.

例5已知f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)在(0,+∞)上單調遞增，f(3)=0，則不等式x·f(x)<0的解集是____.

解析先作一個適合題意的函數f(x)的圖象，再按x>0,x<0分兩種情況加以討論即可.

注意到f(-3)=-f(3)=0，于是可作一個適合題意的函數f(x)的圖象，如圖1所示.

圖1

當x>0時，因為由x·f(x)<0,得f(x)<0.

所以結合圖象知此時0

當x<0時，因為由x·f(x)<0,得f(x)>0.

所以結合圖象知此時-3

綜上可知，不等式x·f(x)<0的解集是(-3,0)∪(0,3).

評注遇到有關抽象函數問題，一定要有數形結合的思想意識，其關鍵是畫圖、用圖.如何準確地認識、利用函數的圖象，也不容忽視，因為這是易錯點.

解析先作一個適合題意的函數f(x)的圖象，再由圖作具體分析即可.

圖2

4 借助“建模”，巧解選擇題

處理抽象函數中的有關選擇題時，我們可結合題意探尋一個具體函數加以巧妙分析，這實際上就是“建模思想”(建立函數模型)在解題中的靈活運用，有利于培養學生的數學建模能力.

例7若定義在R上的函數f(x)滿足：對任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，則下列說法一定正確的是( ).

A.f(x)為奇函數 B.f(x)為偶函數

C.f(x)+1為奇函數 D.f(x)+1為偶函數

解析設函數f(x)=x+c，則

因為f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，所以x1+x2+c=x1+x2+2c+1.化簡,得c=-1.

所以可取一個適合題意的具體函數f(x)=x-1加以分析判斷.

當函數f(x)=x-1時，顯然不具有奇偶性，此時由f(x)+1=x即知f(x)+1為奇函數.故應選C.

評注參考解析可知，更一般地我們可取函數f(x)=kx-1加以分析判斷.

例8已知定義在實數集R上的函數y=f(x)恒不為零，同時滿足f(x+y)=f(x)·f(y)，且當x>0時，f(x)>1，那么當x<0時，一定有 ( ).

A.f(x)<-1 B.-1

C.f(x)>1 D.0

解析因為注意到指數函數滿足f(x+y)=f(x)·f(y)，所以考慮題設“當x>0時，f(x)>1”，可取一個適合題意的具體函數f(x)=2x加以分析判斷.

根據函數f(x)=2x的圖象知：當x<0時，一定有0

評注更一般地，我們可取指數函數f(x)=ax(a>1)進行分析、判斷.請關注常見函數模型的選取：①若對任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，則可取正比例函數f(x)=kx；②若對任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，則可取指數函數f(x)=ax；③若對任意x,y>0，有f(xy)=f(x)+f(y)，則可取對數函數f(x)=logax；④若對任意x,y>0，有f(xy)=f(x)f(y)，則可取冪函數f(x)=xn.

總之，結合以上舉例解析，可幫助我們理清處理抽象函數問題的常用策略，明確其解題的常用切入點、技巧等.一言以蔽之，求解抽象函數問題的常用策略，可高度概括為：“賦值”“變形”“作圖”“建模”(八字策略).如此，盡管函數“抽象”，但是解法“具體”，從而便于輕松獲解！