化歸思想在高中數學函數學習中的運用

付清榮

(福建省龍巖市長汀縣河田中學 366301)

函數教學所運用的化歸思想，主要是指將學生未知的函數知識內容轉化為學生熟悉的知識，并通過正、反面結合的化歸思想融合使用，借助數形轉換、正難則反、題根轉化等多種策略來降低函數學習的難度，使學生深入透徹地掌握函數知識內容，擺脫淺表性學習狀況.

1 高中數學函數教學運用化歸思想的意義分析

1.1 滲透融合，加強函數知識聯系

在化歸思想影響下，高中生會將他們已掌握的知識進行整合性運用，構建完整的函數知識體系.同時，高中數學教師也會對函數知識內容進行串聯式教學，側重性地強化學生對各個函數知識板塊的整合能力，使高中生形成函數知識整合使用的意識，以確保高中生在日常學習中能夠進行函數知識內容的“化歸”，進而達到發揮“化歸思想”對于強化函數知識內容聯系的目的.

1.2 拓展延伸，鍛煉學生思維能力

化歸思想不僅對高中生的函數知識板塊聯系作出了“化歸”要求，還明確要求高中生將解題方法、思維模式等進行混合使用，這就需要高中生思維上更加貼切函數學習的發展要求，具備一定的函數信息處理能力，能夠靈活調度使用各種解題方法，而這些能力的發展無形中也會帶動高中生函數思維能力的發展，使高中生的函數視野不只是局限于課本教材的函數知識，能夠涉及更為廣闊的函數知識世界.

1.3 化難為易，降低學生學習壓力

相較于高中傳統的函數學習模式，在“化歸思想”的加持輔助之下，高中生實現了數形結合、化未知為已知、復雜問題轉化為簡單問題等函數解題策略的高效運用，完成了函數學習的舉一反三，一定程度上降低了函數學習對于學生思維能力的要求，使得函數知識更為容易地被學生接受，而高中生自然而然就不會再懼怕函數學習，相反地，學生會以更加積極主動的姿態參與到函數學習中，教師也通過“化歸思想”的運用減輕了高中生函數學習的身心壓力.

2 高中數學函數教學運用化歸思想的策略途徑

2.1 剖析未知函數問題，化未知為已知

高中數學教師可通過未知函數問題轉化為已知函數問題的策略方法來運用“化歸思想”.具體就需要高中數學教師了解高中生已掌握的函數問題，并以此為基礎剖析其與未知問題之間所存在的關聯，引導高中生對問題進行剖析，明確函數問題所考查的知識要點，然后再回到高中生自身較為熟悉的函數問題中，尋找解題的思路，逐步將未知的問題轉化為熟悉的問題，教師達到了滲透“化歸思想”的目的.

因為z≥0，所以10x-2≥0.

借助換元法將未知的數學問題轉換成已知的問題，落實了化歸思想的函數教學使用.

2.2 靈活運用圖形模型，化函數為圖象

教師在解答復雜的函數數學關系時，不妨將這些抽象復雜的函數關系轉化為直觀易懂的圖象，借助圖形來厘清函數各個量之間的關系，降低對于高中生的空間思維能力的要求，并在此過程中培養高中生畫草圖處理函數問題的習慣，逐步形成化函數為圖象的化歸意識.

例如：以“已知函數f(x)=x3+(a-1)x2+3x+b的圖象與x軸有三個不同交點，且交點的橫坐標分別可作為拋物線、雙曲線以及橢圓的離心率，求實數a的取值范圍”為例，從正面處理這道問題具有一定的難度，這時就可以進行“化函數為圖象”的化歸思想，具體解題步驟如下：

因為函數有三個不同交點，所以函數具有三個不等實根.

又因為1是方程的其中一根,所以將x=1代入原式可得b=-a-3的關系式.

將b=-a-3代入原方程可得

(x-1)[x2+a(x+1)+3]=0.

設g(x)=x2+a(x+1)+3=0,

結合原函數可得g(x)的根分別落在(0,1)以及(1，+∞).

所以可得圖1.結合圖象可得a的取值范圍為(-3，-2).

圖1

借助化函數為圖象的解題切入模式，幫助高中生降低了函數問題思考的難度，發揮了“化歸思想”對于高中生函數學習的增效作用.

2.3 深入研讀函數難題，化正面為反面

很多函數問題正面處理十分困難，但是往往只需要學生轉換思考的角度，嘗試從復雜問題的對立面思考，從不同的角度進行函數問題的突破，函數問題的思考難度也會大大降低.因此，高中數學教師在函數教學過程中，應當注重引導學生研讀函數難題，確保學生對于題干的基本要素建立一定的了解，倘若這時正面思考函數問題難度過大，教師則需要引導學生啟用逆向思維，從問題的對立面尋找答案，借助論證對立面是否成立的模式反向推導正向問題成立的可能性.

例如：高中數學教師在對“已知函數f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區間[-1,1]上至少存在一個實數c，使f(c)>0，求實數p的取值范圍”，若高中生從正面進行問題的思考，難度較大，所以教師往往會從反方面考慮，通過補集思想來求實數p的范圍，就可得到下面的不等式：

再如以“求使得log2(-x)

設g(x)=log2(-x)-(x+1)(x<0)，

因為g(x)在(-∞，0)單調遞減，

又因為g(-1)=0，

所以可得g(x)

解得x>-1.

又因為x<0,

綜上所述可得x的取值范圍為(-1,0).

2.4 掌握函數問題根，化復雜為簡單

復雜化為簡單是“化歸思想”的核心內涵之一，也是高中數學函數教學滲透“化歸思想”的不二之選.對此，高中數學教師應當重視函數問題的題根的發掘，對于同類型或者題根相同的函數題目進行分門別類，要求高中生掌握不同題根的辨別方法，并傳授一些行之有效的題根轉化法，使高中生在面對一些較為困難復雜的函數問題時，能夠準確地發掘該函數的題根，根據題根所衍生的函數問題來選擇對應的解題方法，通過這樣的題根轉化模式來培養高中生舉一反三的數學思維能力，使其具備“化復雜為簡單”的“化歸”能力.

例如：以題目“已知函數f(x)的定義域為R，對于任意實數m，n都有f(m+n)=f(m)·f(n)數量關系，并且當x>0時，都有00驗證得出f(0)=1成立，求出實數a的取值范圍為(0,1)，解題步驟如下：

代入x=0可得

f(0)=f(0+0)=f(0)·f(0)=f2(0).

化簡得f(0)-f2(0)=f(0)[1-f(0)]=0.

所以f(0)=1或f(0)=0.

設f(0)=0，

得f(n-n)=f(n)·f(-n)=0.

所以f(n)或f(-n)至少有一個為0.

設f(n)=0,有f(x)=0.

因為x>0時，0

所以f(x)=0不成立.

所以f(0)=1.

綜上所述，化歸思想能夠簡化高中函數學習的流程，便于學生掌握函數核心知識要點，實現個人思維能力的成長，具有極強的綜合提升效能.對此，高中數學教學應當進一步深化“化歸思想”的函數教學滲透，通過化函數為圖形、化正面為反面、題根轉化等多種策略來落實“化歸思想”的運用，發揮“化歸思想”函數增效的功能，使每一個高中生的數學函數知識素養、思維能力、解題技巧等都能夠實現全方位成長.