例析與高斯函數有關問題的常考題型與備考建議

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

1 問題的提出

《高考評價體系》指出：高考要從“知識立意”轉向“能力立意”，考查學生的“關鍵能力”和“核心素養”.這就要求學生在學習中，學會靈活運用所學知識分析、解決問題，達到從“解題”向“解決問題”的轉變.筆者在一輪復習的教學中，發現高斯函數頻頻出現在一些數學題中，學生面對此類問題常因方法不當，或運算過程繁雜，導致雖做對但耗時太多，或做錯丟分，成績不理想，而若能熟練掌握高斯函數的定義與性質，將其運用到解題中，定會事半功倍，提高解題正確率與效率.如何幫助學生在高考復習備考中，遇到與高斯函數有關的問題時，能夠準確、快速、高效地解答呢？筆者通過梳理，現將該類問題整理成文，與讀者交流，以期拋磚引玉.

2 高斯函數的介紹

2.1 高斯函數的定義

設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則稱y=[x]為高斯函數，也叫取整函數.顯然，其定義域為R，值域為Z.高斯函數的定義域是連續的，但值域是離散的.

我們把一個數的小數部分記作{x}，則有x=[x]+{x}，顯然0≤{x}<1.一般地，我們稱y={x}為小數函數.

2.2 高斯函數的性質

(1)若x≤y，則[x]≤[y]；

(2)[n+x]=n+[x]，其中n∈Z；

(3)x-1<[x]≤x<[x]+1；

(4)[x]+[y]≤[x+y]；

(5)若x,y≥0，則[xy]≥[x][y]；

3 例析高斯函數與其他知識的交匯問題

3.1 利用高斯函數解函數問題

3.1.1 求函數解析式

例1 某學校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系用高斯函數y=[x]可以表示為( ).

評注該題主要考查學生的邏輯推理能力和綜合運用數學知識的能力，另外該題可以用特殊值驗證法.

3.1.2 求函數值

解析求導得f′(x)=x2(3lnx+1).

又因為f(e2)=2e6，所以x>e2.

當20，

當t>e時h′(t)<0，

所以函數h(t)在(2,e)上單調遞增，在(e,+∞)上單調遞減.

評注該題的難度較大，主要考查利用導數研究函數的單調性與值域，換元法求復合函數值域等，體現了邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養.

3.1.3 求函數的值域(或最值)

評注該題屬于新定義題，解答的關鍵在于對定義的理解及變量的分段討論，這也體現了高斯函數是一種分段函數的屬性，考查了學生邏輯推理、數學運算的核心素養.

例4 定義在R上的函數f(x)=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f(x),0≤x<1}，則A中元素的最大值和最小值之和為____.

故最大值和最小值之和為11.

評注集合A為函數y=f(x)(0≤x<1)的值域，由此問題轉化為求函數的最大值與最小值的和，求該函數最值的關鍵在于，根據高斯函數的定義恰當地分段討論，該題很好地考查了分類討論思想.

3.1.4 判斷函數的性質

例5 已知函數f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]，關于f(x)有下列四個結論：

①f(x)的一個周期為2π；

②f(x)是非奇非偶函數；

③f(x)在(0,π)上單調遞減；

其中所有結論正確的編號是( ).

A.①②④ B.②④ C.①③ D.①②

解析由f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+cos[sinx]=f(x)，得f(x)的一個周期為2π，則編號①正確；

由f(-x)=sin[cos(-x)]+cos[sin(-x)]=sin[cosx]+cos[-sinx]，知f(-x)+f(x)=0與f(-x)=f(x)兩式均不恒成立，則編號②正確；

評注該題是一道高斯函數與三角函數結合的判斷函數性質的問題，考查了學生的數學運算、邏輯推理等數學核心素養.

3.1.5 函數的零點問題

例6 已知函數f(x)=2x{x}-x-1，則函數的的所有零點之和為( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

3.2 高斯函數與方程交匯問題

解法2由3x<[3x+1]≤3x+1，得

[3x+1]=-1，-2，-3，-4.

綜上，方程全部實根和為-2.

評注解答該題的關鍵在于對高斯函數定義和性質的理解，是一道較簡單的方程題，考查了學生的邏輯推理、數學運算核心素養.

3.3 高斯函數與不等式交匯問題

例8 已知x>0，不等式[x]{x}

解析由x=[x]+{x}，不等式[x]{x}

所以不等式等價于[x]-1>0.

即[x]>1，即x≥2.

所以不等式解集為[2,+∞).

評注解答該題的關鍵在于對不等式的合理變形，及高斯函數性質x<[x]+1的運用，考查了邏輯推理、數學運算的數學核心素養.

3.4 高斯函數與數列交匯問題

3.4.1 數列通項問題

解析當x∈[0,1)時，f(x)=[x[x]]=0；當x∈[k,k+1)(k∈N*且k≤n-1)時，x[x]=kx∈[k2,k2+k)，則f(x)=k2,k2+1,…,k2+k-1，共有k個取值.

易知當n=13或14時取得最小值為13.

評注解答該題的關鍵在于抓住高斯函數的定義，將區間進行分段討論.

3.4.2 數列求和問題

解析當n≥2時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n+2(n-1)+…+4+3=n2+n+1.

又a1=3滿足an=n2+n+1，

所以an=n2+n+1.

3.5 高斯函數與平面幾何交匯問題

例11 已知點集P={(x,y)|[x]2+[y]2=1}，則點集P表示的平面區域的面積是____.

易知相應的平面區域為四個邊長為1的正方形，故面積和為4.

評注根據高斯函數的定義，逐一表示出平面區域對應的不等式組，便可發現平面區域為4個正方形.

3.6 高斯函數與二項式定理交匯問題

則a+b= 2(2k+1)=4k+2.

所以c2022=[a]=[4k+2-b]=4k+1+[1-b]= 4k+1.

故c2022除以4的余數為1.

4 有關高考復習備考的兩點建議

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：在數學高考命題中，考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、性質、方法的理解和應用，強調基礎性，注重數學本質和通性通法.在高考備考教學中，教師應加強基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的訓練，以達到提高學生數學關鍵能力和數學核心素養的目的.基于此，筆者提出以下高考備考建議.

4.1 夯實基本知識，以不變應萬變

通過文中對與高斯函數有關問題的整理發現，該類問題主要考查高斯函數的概念與基本性質，考查的形式主要以選擇、填空為主，難度也以中等、容易題為主.因此，我們在復習備考的過程中，要通過對該類試題的研究，歸納總結出高考考查的典型題型及其解題方法，構建完整的知識脈絡和方法體系，熟練掌握與高斯函數有關的典型問題的通性通法，形成解題模型.只有扎實掌握了這些通性通法，才能在高考中游刃有余地處理該類問題.

4.2 滲透思想方法，提高核心素養

數學思想是對數學知識的本質認識，是數學的精髓，是數學基礎知識和數學能力之間的一座“橋梁”.通過上文的梳理，我們發現與高斯函數有關的問題主要考查分類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想方法，如文中的例4考查了分類討論的思想，例6將函數的零點個數轉化為兩個函數圖象的交點個數，考查了轉化與化歸、數形結合的數學思想.筆者認為復習備考的教學中注重數學思想的滲透，可以幫助學生優化認知結構，學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界.

數學學科核心素養的內涵包括數學核心知識、核心能力、核心品質，主要由數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六個方面組成，這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.數學核心素養不是具體的知識和技能，也不是一般意義上的數學能力，它基于數學知識技能，但高于具體的數學知識技能.因此，筆者認為在高考復習備考中，我們廣大一線教師不僅要重視解題方法的指導，更要重視對學生核心素養的提高，“授之以魚不如授之以漁”，學生的數學素養提高了，解題能力和解題效率自然提高，無論高考題型如何變化，也定能在高考中“以不變應萬變”，順利取得高考的勝利.