巧用不同方法破解雙曲線漸近線相關問題

俞 綱

(云南省昆明市第三中學 650000)

漸進線是雙曲線的重要性質，在歷年高考的選擇題、填空題中多次出現，而且基礎題和難題都有涉及，如何針對性地選擇適當方法來巧妙解決相關問題，盡量避免復雜的代數計算值得我們研究.

1 用二次方程解決雙曲線漸近線的代數計算

1.1 雙曲線方程與漸近線方程的相互轉化

小結上述三題都屬于基礎中等題，通過方程的代數特征直接設雙曲線漸近線的方程進行研究，避免了對兩種位置的雙曲線分別研究的麻煩.當然，不是所有條件都適合代數方法直接設方程，歸納言之，以下三個代數結論可直接運用：雙曲線Ax2-By2=1(A·B>0)的漸近線方程可直接由Ax2-By2=0因式分解得到；以y=kx為一條漸近線的雙曲線方程必定可以寫為(y+kx)·(y-kx)=λ(λ≠0)，即y2-k2x2=λ(λ≠0)的形式；與雙曲線Ax2-By2=1(A·B>0)有相同漸近線的雙曲線方程必定可以寫為Ax2-By2=λ的形式.

1.2 直線與雙曲線的兩漸近線相交的問題

一條直線與雙曲線兩漸近線交于兩點的問題，一般需要把該直線分別與兩條漸進線方程聯立，通過解兩個二元一次方程組，得到兩個交點坐標后再進行相應的表示與計算，如果把兩條漸進線看作一個整體，借助二次方程來表示它，則可以借助直線與二次曲線位置關系的研究方法，運用“設而不求”的思想進行整體計算，避免直接表示交點坐標，達到事半功倍的效果.

分析此題可以把直線方程寫出，再與兩漸近線分別聯立得到A,B兩點的坐標，運用中點坐標公式得到等量關系，但計算相對繁瑣，運用二次方程理論則能簡化運算.

即x1+x2-2m=(y1+y2)(-kAB).

即10(y1+y2)=12m.

(9b2-a2)y2-6b2my+b2m2=0.

代入10(y1+y2)=12m，得a2=4b2.

小結由于雙曲線及漸近線都含有未知字母,直線與兩條漸近線聯立兩次分別表示出兩交點坐標再計算相對繁瑣，若能借助韋達定理巧用“設而不求”的思想進行整體轉化,則能簡化運算.

2 用幾何性質解決雙曲線漸近線的幾何問題

圖1

借助這兩個直角三角形，可以更直觀地理解漸近線斜率的幾何意義，并且可以得到一些常用結論，如：焦點到漸近線的距離為b；以O為圓心，實軸長2a為直徑的圓與漸近線相交，交點與焦點的連線恰好與漸近線垂直；以O為圓心，焦距長2c為直徑的圓與漸近線相交，交點與頂點的連線恰好與實軸垂直；兩漸近線的夾角被坐標軸平分等性質，運用這些幾何性質，可以靈活解決一些相關的問題.

圖2

圖3

3 根據題目特點選擇合適的方法進行求解

分析此題為例10變式，我們分別用三種方法求解，對比運算復雜程度的差異.

(b2-a2)y2-2bc2y+b2c2=0.

從而得到a2=9b2.

圖4

漸近線作為雙曲線的重要性質，其相關問題蘊含了豐富的數形結合、等價轉化的思想，對數學運算也有較高的要求，這就需要我們一方面要鍛煉運算能力，總結運算技巧；另一方面要多對比一個問題的代數思路與幾何思路的差異，關注不同方法運算復雜程度的區別，選擇合適的方法來針對性解決相關問題.