對一道拋物線證明題的探究

高繼浩

(四川省名山中學 625100)

1 試題呈現

題目(2021年8月九師聯盟高三開學考試)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,過點F的直線l與C相交于A,B兩點,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點.當AB∥x軸時,|AB|=2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)證明：|PF|2=|AF|·|FB|.

2 解法探究

易得試題第(1)問拋物線C的方程為x2=2y,下面探究第(2)問.

證法1 (設點直接運算)

設A(x1,y1),B(x2,y2),

同理可得切線PB的方程為

由拋物線定義知

故|PF|2=|AF|·|FB|.

證法2 (借助韋達定理)

設A(x1,y1),B(x2,y2),

與拋物線方程聯立消去y得

x2-2kx-1=0.

故x1+x2=2k,x1x2=-1.

從而|PF|2=k2+1.

由弦長公式知

=1+k2.

故|PF|2=|AF|·|FB|.

證法3 (兩點確定直線)

即y=x1x-y1.

設P(k,t),則t=x1k-y1.

即y1=kx1-t.

同理可得y2=kx2-t.

故直線l的方程為y=kx-t.

證法4 (借助特殊圖形)

設A(x1,y1),B(x2,y2),

故切線PA,PB的斜率分別為x1,x2.

因為直線l的一個方向向量為a=(1,k),

由以上可知PA⊥PB,PF⊥AB.

在Rt△PAB中,由射影定理得

|PF|2=|AF|·|FB|.

3 幾何背景

圓錐曲線的弦與過弦端點的兩條切線所圍的三角形叫阿基米德三角形.當拋物線的阿基米德三角形的弦所在邊過焦點時,弦所對的角為直角,且弦所對的頂點在弦上的射影為焦點.證法4體現了試題的這一背景,故試題蘊含著如下一般性結果：

命題1 設拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,過點F的直線l與拋物線相交于A,B兩點,PA,PB是拋物線的兩條切線,A,B是切點,則|PF|2=|AF|·|FB|.

4 推廣引申

由對稱性知命題1中結果與拋物線焦點位置無關.從前面的證法1可以看出：試題中的結論與直線AB是否過焦點無關,于是得到：

命題2 設拋物線的焦點為F,A,B是拋物線上兩點,PA,PB是拋物線的兩條切線,A,B是切點,則|PF|2=|AF|·|FB|.

證明設拋物線的方程為y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的方程分別為y1y=p(x+x1),y2y=p(x+x2).

由拋物線定義知

故|PF|2=|AF|·|FB|.

在橢圓中有：

證明點P(s,t)對應的切點弦AB方程為

與橢圓方程聯立消去y整理,得

(b2s2+a2t2)x2-2a2b2sx+a4(b2-t2)=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),

由韋達定理,得

設F(c,0)(c>0),橢圓的離心率為e,則

|AF|·|FB|=(a-ex1)(a-ex2)

=a2-c(x1+x2)+e2x1x2

而|PF|2=(s-c)2+t2,

當橢圓的焦點在y軸上時有：

在雙曲線中有：

命題4、命題5和命題6的證明與命題3類似,略.