對一道解析幾何題的多角度探究

鐘國城

(廣東省梅縣東山中學 514017)

1 試題呈現

(1)求C的方程;

(2)如圖1,已知點F(1,0),直線l:x=4與x軸交于點D,直線AM與l交于點N,是否存在常數λ,使得∠MFD=λ∠NFD?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.

2 解法探究

分析1將角轉化為向量夾角,通過數量積表示出來,實現角度的數量化,進而實現坐標化,從而達到解決問題的目的.

設N(4,n)(n≠0),

圖1

故直線AM與BM的方程分別為

即∠MFN=∠NFB=∠NFD.

故∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此存在常數λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

點評通過充分挖掘題設條件,聯立兩直線方程求解點M的坐標是一個亮點,既避免了繁雜的運算,又讓求解過程顯得更為自然.

分析2考慮與角關聯的直線及其傾斜角,將角度關系轉化為關聯直線傾斜角之間的關系,進而通過使用斜率來求解問題.但需討論傾斜角為90°的情況.

由于對稱性,只需考慮點M在x軸上方的情況.

故∠NFD=45°.

所以∠MFD=2∠NFD.

因此λ=2.

所以∠MFD=2∠NFD.因此λ=2.

綜上,存在常數λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析3將∠MFN表示為∠MFD-∠NFD,從角關聯的直線及其傾斜角入手,利用斜率與兩角差的正切公式,找到∠MFN與∠NFD的關系,進而得到∠MFD與∠NFD的關系,從而求解問題.

由于對稱性,只需考慮點M在x軸上方的情況.

故∠NFD=45°.

所以∠MFD=2∠NFD,因此λ=2.

故∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此λ=2.

綜上,存在常數λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析4 通過特殊情況對題目進行分析,可以猜測λ=2,即∠MFN=∠NFD,從而只需說明直線NF為∠MFD的角平分線,因此考慮使用角平分線逆定理來求解問題.

直線BM與NF的方程分別為

圖2

設直線BM與NF的交點為P，如圖2.

由角平分線逆定理,得∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析5根據分析4,也可采用角平分線性質逆定理來解決問題.

故直線MF的方程為6nx+(n2-9)y-6n=0.

如圖3，點N到直線FM的距離為

圖3

因為點N到直線FD(即x軸)的距離為d2=|n|,所以d1=d2.

由角平分線性質逆定理,得∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析6如圖4，過點M,D分別作NF的垂線,構造兩個直角三角形.通過證明這兩個直角三角形相似,得到∠MFN=∠NFD,從而求解問題.

直線NF的方程為nx-3y-n=0.

所以點M與D到直線FE的距離分別為

圖4

如圖4，過點M與D分別作MQ⊥NF于點Q,DS⊥NF于點S,則|MQ|=d,|DS|=d′.

所以Rt△MQF∽Rt△DSF.

故∠MFQ=∠DFS.

即∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析7從對稱的角度入手,如圖5，若點D關于直線NF對稱的點在直線MF上,則∠MFN=∠NFD,最終解決問題.

直線NF的方程為nx-3y-n=0.

設點D關于直線NF對稱的點為D′(x0,y0),

圖5

即F,D′,M三點共線.

故∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析8由于題設條件涉及到右焦點與右準線,利用橢圓的第二定義,結合平行、相似等平面幾何知識,找到相關的幾何性質與關系,從而求解問題.

圖6

解法8如圖6,過點M作MG⊥l于點G,交NF于點E.

由于直線l:x=4為橢圓的右準線,根據橢圓的第二定義,得

由MG∥AD,得

所以|ME|=|MF|.

故∠MFE=∠MEF=∠EFD.

故∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數λ=2,

使得∠MFD=2∠NFD.

3 試題推廣

通過對第(2)問的求解,筆者發現可將其作進一步延伸,經過整理得到如下幾個結論.

由橢圓類比雙曲線、拋物線,也有一致結論.

參照試題第(2)問的求解,讀者不難驗證命題1-5的正確性,此處從略.

4 解題反思

4.1重視一題多解,提升學生思維

在平時解題教學中,不僅要幫助學生解決問題,更要教會學生從多個視角進行分析,注重知識點之間的相互聯系,做到融會貫通,這對于培養學生的數學思維能力能起到潛移默化的作用.如本試題的解決,聯系了向量夾角、直線傾斜角與斜率、兩角差的正切公式、角平分線、對稱與三點共線,以及橢圓的第二定義等相關知識,既讓學生掌握了基礎知識,又有效鍛煉了學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創新性,提升思維能力.

4.2 挖掘問題本質,以求觸類旁通

我們不僅要注重一題多解,更要對典型問題進行深度探究,挖掘問題的本質,并進一步做出一般化的推廣.如通過對本試題的研究,找到了一般化的結論,既發揮了題目的最大價值,更能讓學生“做一題,會一類”,讓學生跳出題海戰術,減輕學習負擔,提高學習效率,從而達到舉一反三、觸類旁通的解題水平和能力,進一步掌握數學思想,提升數學核心素養.