三版數學課標“統計與概率”領域中的實例：變革與啟示

張定強， 徐 坤

(西北師范大學 教師教育學院， 甘肅 蘭州 730070)

一、研究背景及意義

2022年4月，教育部正式頒布《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“2022版課標”)，在數學課程性質和課程理念的宏觀指導下，對課標的核心內容“課標目標”“課程內容”“學業質量”進行了修訂完善，并對落實課程標準關鍵活動的參與者提出了實施建議[1]，課標明確了以核心素養為導向的數學課程目標，重新劃分學段，對課標中的實例也做出了相應的調整和完善，增強了指導性。“實例”與課程內容、學業質量相緊扣，這些實例的完善不僅使“為何教”“教什么”“教到什么程度”更加明確，而且明晰了“怎么教”的具體策略，進而使課程育人落到實處。通過“實例”的示范引領進一步發展學生“四基”，提高“四能”，形成正確的情感、態度和價值觀。由此可見，實例無論在課程標準中還是在實際教育教學中都扮演著十分重要的角色。基于此，本文就2022版課標與《全日制義務教育數學課程標準(實驗版)》(以下簡稱“2001版課標”)及《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱“2011版課標”)進行比較研究，以期用實例來解讀各版標準在此處變化之中所蘊含的育人理念。

二、三版課標“統計與概率”領域中實例的變革

實例以不同的樣態展現在三版課程標準中，無論是呈現方式還是具體內容上都發生了不小的變動。

呈現方式上，2001版課標實例緊扣課程內容，并不單列成章，在不同的學段、主題中分別進行排序，標注為“例x”[2]；而在2011版課標中，呈現在“附錄2：課程內容與實施建議中的實例”中，將課程標準所涉及的實例統一排序并標注為“例x”[3]；2022版課標中，將這一部分提前至“附錄1：課程內容中的實例”，排序及標注方式與2011版課標相同[4]。

具體內容上，2001版課標中只有部分實例附有說明，而“統計與概率”領域中的實例則全無說明；但在2011版課標和2022版課標中，每個實例題干后均附有詳細說明，特別是2022版課標中的實例說明更加清晰和精確，示范功能發揮得尤為充分。通過說明，讀者可以充分了解“實例”出自的背景及情境、蘊藏的思想及方法、解決的思路及策略，拓展的維度及建議，幫助讀者加深理解并合理應用。

(一)實例在量上的變革

在對“統計與概率”領域實例的比較研究中，首先對數量進行統計，發現三版課標中“統計與概率”部分實例的數量及分布如表1所示。

表1 三版課標“統計與概率”領域中實例的數量分布(單位：個)

整體來看，三版課標“統計與概率”領域中實例總數相差不大，但在“統計”和“概率”兩部分中各自的實例在數量上出現了較大的變化。2001版課標分別設置了9個實例，較為均衡；但在2011版課標中，概率部分的實例下降至3個，2022版課標中僅剩1個。這樣的變化一方面是由于概率部分的知識點數量減少，實例個數也隨之減少；另一方面是因為概率部分對實例的內容進行了優化，在質量不下降的同時減少數量。統計與概率各自領域實例數量的比重雖然進行了調整，但這兩個學科緊密聯系，相互嵌套的課程本質是不變的。因此，不能因為實例數量的調整就區別看待兩學科在教學中的重要性。在理解“統計與概率”部分實例的時候，要注意統計與概率的相互滲透，并在教學過程中有意識地將這兩部分的知識內容融合，讓學生通過收集、整理、分析數據來多角度、多方式地學習相關知識。這不僅能對學生的數學思維和實際應用能力起到促進作用，還能立體化地培養學生的數據意識和數據觀念。

(二)實例在質上的變革

相比于數量，實例更加顯著的變化體現在其內容編排上。實例和所對應的課程內容有著緊密的關系，總結發現有以下幾種變化類型：實例的主干不變但對應知識點的描述有微小變化；知識點主體不變但對應實例有一定的變化；新增知識點相應地新增了實例。

1.實例主干不變但知識點描述有微小變化

歷經20余年，有一些實例憑借其典型性、基礎性在數次課標修訂中留存至今。具體如表2所示。

表2 三版課標中實例主干不變及對應知識點描述

三個版本的實例均集中于調查電視節目收視率這一實際問題，有利于激起學生的好奇心和求知欲，題眼都是設計調查方法。題干中設置了三個問題，循序漸進地點出了抽樣的必要性、總體與樣本的關系、簡單隨機抽樣等知識點。說明實例在問題情境和數學知識本質的考查上均無改變。

但實例所對應的知識點描述則發生了細微的變化。相較于2001版課標，后兩版課程標準中相應知識點的描述更加簡潔、明確。刪除了“通過豐富的實例”，將“指出總體……得到不同的結果”簡化為“通過實例了解簡單隨機抽樣”。此外，行為動詞也發生了變化，由“感受”變為“體會”，由“了解”變為“認識”。“體會”是比“感受”更高一級的過程性行為動詞，說明在后兩版課程標準中對學生學習過程的主動性和參與性提出了更高的要求。“了解”和“認識”在課標中是同等水平要求的結果性行為動詞，但就其詞意而言，“認識”一詞在認知層次上略高于“了解”。這兩處行為動詞的變化雖然細微，但也說明課程內容的難度和對學生的理解能力要求更高了，體現了課程標準的時代性和靈活性。總體來看，無論是實例題干還是知識點描述，2011版及2022版課標都變得更加簡潔明確。

2.知識點主體不變但實例的表述有一定的變化

這一類型的實例較多，下文根據實例本身和實例后附說明的變化分別進行案例式分析。

(1)實例“本身”的變化

對于這一類型的實例，選擇2001版課標中第三學段的例4、例5，2011版課標中的例72、例73以及2022版課標中的例88進行研究。由于其分別對應的知識點內容落腳點都是了解、計算隨機事件的概率，故將其歸類為知識點主體不變。但這一知識點在三版課標中對應的實例表述各有不同，詳細內容如表3所示。

表3 同一知識點在三版課標中對應的實例題干的描述

研究發現：表征數量上，2001版課標及2011版課標均選用兩個實例來展示說明相應的知識點，但2022版課標選用了一個實例；問題情境上，三版課標分別選用了摸球，轉盤，擲骰子等概率學中的經典事件作為背景，此類事件可以動手實踐，幫助學生更透徹地理解題意并進行解答；內容編排上，以上實例看似各不相同，實則在各自的說明中相互呼應。2001版課標中的摸球和轉盤問題，在2011版課標例72的說明中再次出現：“……這個例子可以舉一反三，如轉動轉盤，當轉盤停止時指針指向某一特定部分的概率；一個袋子里有幾種顏色、數量不同的球，隨機摸出某種顏色球的概率，等等。”相同地，2022版課標中的例88也是對2011版課標中例73的延續與提升。同樣是拋擲骰子計算點數之和的概率問題，例88中額外加入了代數這一知識點。用字母代表數字使題目變得更加抽象，說明新版課標在原有教學目標上對于學生邏輯思維能力有著更高要求，也更加利于初高中銜接。可以看出，知識點相同的情況下實例所體現的邏輯性、示范性是在不斷進步的。

(2)實例“說明”的變化

實例后附的說明是解讀實例的關鍵點之一，主要由題目解讀、題意分析、題目解答、教學注意事項等部分組成。在實例題干不變的情況下，說明內容的變化體現了課程標準對同一知識內容有了新的理解和展開方向。由于2001版課標中“統計與概率”部分的實例均無說明，故在2011版課標與2022版課標中分別選取例17與例37進行對比分析。這兩個實例的說明中都給出了相關教學設計的示例，具體內容如表4。

表4 例17與例37的實例說明

首先，前三條活動設計都是按照制定分類標準、分組進行調查、呈現調查結果的順序來設計的，差異主要體現在學習過程和學習獨立性的要求上。從引導學生討論到鼓勵學生自己制定分類標準，從書面呈現調查結果到用語言進行敘述調查過程，這些變化都體現了課程標準對學生體驗完整數學學習過程的重視程度在不斷地提高。其次，2022版課標還提出了第四條活動，即引導學生間的交流與配合，培養協同意識和交往能力，這是數學教育德育功能的體現。學生學習不僅是攝取知識的過程，還是培養社會情感能力，完成個體社會化的過程。

3.新增知識點與新增實例

相較于前兩版課程標準，2022版課標中課程內容的廣度和深度均發生了不同程度的提高，具體體現為知識點數量增加，行為動詞等級提高[5]。例如在初中階段，“抽樣與數據分析”部分在三版課標中分別設置了10、9、11個知識點，其中2022版課標還新增了“會計算四分位數，了解四分位數與箱線圖的關系，感悟百分位數的意義”這一知識點，實例中也相應地增設了例86。

就實例86而言，要求根據兩個銀行理財經營團隊分別負責的12項理財產品的收益率來評價兩個團隊的經營水平。在說明中，首先提出可以用以往所學的平均數和方差這兩個統計量來進行評價，在此基礎上，進一步分析這兩個評價指標的客觀局限性，順勢引入百分位數的概念。經歷了概念解析、計算示范、繪制表格，根據數據繪制箱線圖的過程得到了兩組數據的直觀表示。而后根據箱線圖結合題意進行分析并得出結論。總體來看，在作為一個新知識點對應的實例出現時，例86起到了很好的示范引領作用。首先，題目設計采用了實際生活背景，有利于學生意識到數學來源于現實生活。其次，從平均數、方差等熟悉的統計量過渡到百分位數這一新知識點，在課程內容上遵循了循序漸進的教學原則。最后，對于兩個團隊孰優孰劣的評價并不絕對，而是針對不同類型的投資者對癥下藥，提出了不同的建議。這樣一道開放性的實例能夠幫助教師在實際教學中開闊視野，不拘泥于答案的唯一性，引導學生進行再創造，形成自己的數學現實，進一步發展數學核心素養。

三、三版課標“統計與概率”領域中實例的啟示

通過對三版義務教育數學課程標準中“統計與概率”實例從量與質上的分析，不難發現實例的數量總體變化不大，但統計與概率兩部分的實例數量有較大差別，在理解和應用實例的過程中應當融合看待而非割裂。“實例”的設置與建構隨著課程標準內容要求的變化而變化，順應了課程標準總體的修訂方針，與時俱進地做出了相應的更新或刪減。使“實例”更好地發揮它在課程標準中例析作用和啟示作用，特別是“實例”的育人價值更加凸顯。具體而言“實例”主要有如下三方面的啟示。

(一)在教材建設中要注重“實例”的嵌入性

課程標準中的實例要充分發揮其功用，就要恰當適時地嵌入教材建設中，因為教材是課標落地的關鍵環節，教材建設也是數學教學高質量的重要保證。為此，要在深入研究課程性質、理念、目標、內容、學業質量、實施建議的基礎上運用系統思維的觀念建設數學教材，并將課程方案中“教材編寫建議”要求的“教材編寫須落實課程標準的基本要求，基于核心素養精選素材，確保內容的思想性、科學性、適宜性與時代性”[6]，很好地落實在“統計與概率”學習領域的教材建設中，將課標實例中所蘊藏的意境內化到教材的例題、練習題、習題、總復習題中，使之與課標中的實例能相互映襯，共同完善教材中問題系統的建構。

(二)在課堂教學中要注重“實例”的示范性

課堂教學是課程標準走向理解與實踐的重要渠道，數學教學從準備、實施到評價反思都要以課標為根本遵循。事實上，數學課堂教學中一個重要的環節就是問題的設置，通過問題鏈教學就能使課堂教學環環相扣，不斷深入。因此，選用適合、恰當的問題就是關鍵，課標中的實例具有很強的示范性，完全可以結合教材內容仿其設置問題。為此數學教師要深入理解實例的設計理念，并將其轉化為課堂教學資源加以運用。通常實例是針對所授知識內容而設置的，是基于對所授內容進行的具有教學意蘊的案例式解析，是課標研制專家精心遴選的。教師要深鉆細研，知曉其自身所蘊藏的知識、思想、方法、態度等，然后結合學情和教材，加工成易于學生理解的例題活動。這種轉化過程對每位數學教師是異常艱辛的過程，除了認真鉆研課標、教材及相關資源，在真正理解實例及學情的基礎上才能將之轉化成學生學習的例題，更重要的是要結合實例的說明設計成學生的學習活動，讓學生經歷“數學交流過程”和“數學操作過程”，以達到對“數學思維方法”的領悟，加深對數學學習的好奇、興趣和強烈的向往。

(三)在考試評價中要注重“實例”的引領性

考試評價是至關重要的育人環節，是學生在完成階段性學習任務后的學業成就表現。無論是單元檢測還是學期檢測，都要以課標作為考評的依據，以考查學生“四基”“四能”與核心素養水平，課標中的“實例”就是考試評價的一個范例。事實上，在2022年課標中就以實例的形式提供了兩個考試樣題，其中實例93就是“統計與概率”領域的樣題。該樣題的題干給出三名應聘者在學歷、經驗、能力和態度上的測試成績，要求根據不同標準選出被錄用者。這是一道社會情境的數學問題，要求學生根據表格中提供的數據信息解決問題。第一問要求按照規定比例計算得分，考查了學生對比例等知識點的理解水平；第二問要求以學歷為重點設計評分標準，需要學生正確理解表格和題目內容，擁有一定的數據處理能力；最后一問則要求學生處于“招聘者”的身份自由設計評分標準并說明原因，將學生置于招聘者的情境，蘊藏著要正確地規劃人生。綜觀樣題，充分體現了試題命制的要求，其評分標準也具有科學性和可操作性，不僅測試了數學核心素養，而且體現了基礎性、應用性、綜合性和創新性。同樣，課標中的實例也是日常考試評價的樣例，經過教師們的加工與深化就能用于檢測評價。在兼顧學生認知程度和試題區分度的基礎上，依據學習內容、核心素養、問題情境三大視角將實例運用于考試評價，以充分發揮實例在考試評價維度的引領性。

課標中實例的研究與挖掘是一個不斷深入的過程，需要全面開發并加以利用，以使實例與課程標準同頻共振，產生更大的能量，進而系統地應用于數學教育實踐，從而更緊密地與數學的教材、教學、評價、反思相融合，共同促使數學育人目標的實現。▲