離散數學全過程反饋混合式教學研究

馬 慧，曲海鵬，洪 鋒，盛艷秀

（中國海洋大學 信息科學與工程學部，山東 青島 266100）

0 引言

面對科技革命與產業變革的快速發展，《中國教育現代化2035》提出構建學習型社會，滿足因材施教與知行合一的需求。智能化環境和信息技術成為教學支撐，教育信息化對教學形式起到重塑的作用，對建構式學習思維培養起到推動作用［1-2］。目前已有教育信息化相關研究，對我國教育發展歷程和將來發展形式進行探討，研究影響學生問題解決能力培養和主動學習的因素［3-4］；發現線上線下結合的教學方式能同時發揮信息技術與面對面教學的優勢，有助于提升學生的實際學習水平，成為重要的教學發展方向［5-6］；分析翻轉課堂以及在線學習對學生主動學習意愿的影響和提升策略等。研究表明，教師采用線上線下相結合的教學方式以及討論與實踐等教學方法能夠有效提升工科生的學習水平和主動性。

1 混合教學中全過程數據反饋現狀分析

對于線上線下相結合的混合式教學方式而言，及時、有效的教學反饋是保障教學目標順利實施的關鍵［7］。通過師生反饋互動構建“過程式+沉浸式”的雙重路徑，有助于實現線上與線下教學的實質等效。姚佳佳等［8］研究同伴對話反饋對大學生課堂深度學習的影響；李怡然等［9］根據對學生學習狀態的評估反饋，提出基于云控制的閉環OBE 模式。然而，如何實現及時、有效的線上線下全過程反饋是實際教學亟需提升的短板，目前尚缺少對具體反饋機制的深入研究和過程描述。

新工科建設和雙一流建設要求在教學中實現學生高階學習與實踐能力培養，強化學生批判性學習和認知結構融入，提升知識遷移、分析和解決問題的能力。因此，需要對新工科建設進行深入分析，以推進學生的深層次、高層次學習［10］。離散數學作為計算機科學與技術、人工智能、大數據、網絡安全等眾多新工科專業的核心基礎課或必修課，側重培養學生嚴謹、規范的表述方式，提升分析、解決問題的能力及抽象思維。馬慧等［11］分析了離散數學的實例化概念教學法；王曉華等［12］研究了離散數學實踐教學體系；蘇慶等［13］進行了新工科形式下的離散數學課程改革探索；徐德智等［14］基于CASE 和探索式教學手段，實現學生對離散數學的主動學習。此外，在教學中融入科研訓練［15］、研究翻轉課堂實踐［16］、側重離散數學的計算思維培養［17］，都是當前涌現的離散數學教學改革方式。

為了推進學生深入學習，需要注重學生的主動學習，促進學生高階思維的發展。在混合教學中，通過線上線下相結合的方式，充分發揮教師與學生的積極性和主動性。目前已有研究分析了混合教學環境中學習投入影響機制和教學系統化設計模式構建［18-19］。為保障教學質量，李海東等［20］構建了線上線下質量評價流程模型和指標體系；孫傳猛等［21］基于目標導向的教育理念（OBE），將工程教育認證標準貫穿始終，助力學生主動學習。線上線下混合式教學需要發揮學生的主動性，但目前教學設計與實施過程缺少對于離散數學以及抽象課程學習的針對性。如何結合課程的抽象特點和學生學習的具體困難，設計全過程的高效反饋強化機制，目前還沒有深入的研究成果與系統論述。

本文基于教學數據和全過程反饋實現混合式學習策略設計，橫跨課程內外與校內外，圍繞離散數學學習與教學反饋難點、教學全過程數據構成與反饋、基于問題解決的深入討論3 個方面展開論述，并通過實施效果和課程數據分析進行驗證。

2 離散數學學習與教學反饋難點

以學生為中心的教學過程需要實現學生價值觀、知識、能力等核心素養的提升，通過離散數學的學習，學生在課程結束時可以掌握數理邏輯、集合論、代數結構、圖論等知識體系，建立該課程與后續課程的聯系，提升計算思維。

離散數學課程具有概念定理多、證明要求高、抽象性強的特點。面對抽象的離散數學，學生會遇到各類困難與困惑。通過抽樣調查和學習過程情況分析，可將學生面臨的學習困難總結如下：①看著會做，一做就錯；②懼怕復雜符號和抽象理論；③難以掌握證明技巧；④抽象理論無法聯系實際問題。

當前教學反饋的難點包括學生和教師兩個方面。在離散數學學習過程中，學生與教師的聯系不夠緊密，閉環控制效果不夠顯著；教師多基于主觀判斷進行教學決策，教學數據對教學的促進作用不夠精確。

對學生而言，由于理論的抽象性和強關聯性，很難說清哪些概念和環節理解不夠深入或存在偏差，課前預習、課堂學習、課后復習、課外拓展的效果不清晰，難以有針對性地進行提升。學生缺少對課程整體情況的把握，多限于教師布置的課后作業，難以深入參與課程。對任課教師而言，很多課程教學多側重于一次或一章節作業的批改與講評，對學生學習狀態的整體發展缺少分析，教學決策缺少數據支持。因此，如何構建全面的教學數據采集分析方法，通過全過程數據反饋促進師生閉環，是當前離散數學教學的難點。

3 教學全過程數據構成與反饋

根據教育學理論，學生深度參與教學過程可以有效調動學習的主動性。教學內容、頻次、強度的連接能夠影響學習感受，創造有信任感和精神安全感的學習氛圍，提高學生對教學過程的參與度和掌控感等，以此提升學習效果。離散數學課程全過程反饋形式如圖1 所示，全過程數據采集、分析和反饋流程如圖2 所示。采用線上線下結合、教材內外結合、校內外結合的方式，可促使學生深度學習，有效提升學生學習的主動性。

此時期是小麥病蟲害防治的關鍵期，主要病害以小麥銹病和小麥紋枯病為主，蟲害有螻蛄、金針蟲等。該時期病蟲害較多，需加強對麥田的監測，防治措施以物理和化學防治相結合，如及時拔除雜草、針對性的噴灑農藥等。

如表1 所示，離散數學教學過程中設置了涵蓋形成性評價和總結性評價的綜合評價方式，全過程與全方位地反饋學生學習狀態，有效促進學生線上線下主動學習。

如表2 所示，對離散數學全過程練習和活動進行分析，通過設置參與形式，引導學生參與習題庫建設、課程討論、小組報告等主動學習活動。通過綜合練習、學生出題、師生討論、生生討論等混合式教學方法，倡導學生動手—動腦—動口相結合，實現主動學習。

Fig.1 Teaching feedback of discrete mathematics based on the whole process data圖1 基于學習全過程數據的離散數學教學反饋

Fig.2 Components of teaching feedback based on the whole learning process圖2 基于學習全過程的教學反饋構成

4 基于問題解決的深入討論

不斷挖掘課程脈絡與知識點，通過問題解決的方式進行課程設計。學生思考需要解決哪些問題，怎么解決這些問題？以問題驅動教學，學生自發思考課程的知識體系結構，不斷激發學習興趣。鼓勵學生成為主動的建設者，而不僅僅是被動的學習者。

對于科研和工程而言，解決問題的開端是問題建模，對于一個具體實際問題給出合適的模型是有難度的，復雜問題更是對理論與實際的結合提出更高要求。在離散數學的教學中讓學生轉換角色，增強學生提出問題的主動性，進而可以提升學生解決問題的能力。

Table 1 Form，content，and assessments of whole-process feedback表1 學習全過程反饋形式、內容與考核方法

Table 2 Comparison of different exercises and teaching activities表2 不同練習與活動特點對比

練習、講解、討論的混合式學習過程，有利于學生及時掌握重難點問題，激發學生獨立思考的能力，積極的課堂討論是水到渠成的結果。本課程設置如下3 類討論問題：①課前預設。分析課程重難點，針對易錯點設置討論問題；②課堂反饋。通過練習及時了解學生的學習情況，對疑難問題及時討論；③課后拓展。提供與課程相關的課后拓展材料，并結合課程學習內容，通過在線學習平臺進行討論，學生自己分析如何將理論與實踐相結合。

創造充滿信任感和精神安全的學習環境，能夠促使學生主動表達觀點。既表揚回答精彩的學生，也鼓勵回答錯誤的學生。錯誤的答案通常反映出學生的共同問題，教師作出及時反饋與分析，從而促進學生的共同進步。

實例1 哥尼斯堡七橋問題的模型化方式討論。

作為圖論和拓撲學的起源，歐拉對哥尼斯堡七橋問題給出了圖模型，如圖3 所示，并給出最終解決方案。在引言部分，如果直接給出該問題的圖模型，那么學生只是被動接收，對模型感受并不深。因此，提出討論問題：能用什么數學工具來描述七橋問題？學生進行思考和討論后，會發現用傳統數學函數來描述七橋問題是很難實現的，如果借用已經學過的二元關系中的關系圖，可以直觀地表述此問題。與學生共同分析之后，給出歐拉的圖模型作為對照，使學生對結點和邊的概念有更深刻的理解，也理解了具體問題的數學建模需要通過分析問題的實際特點得到。

Fig.3 K?nigsberg seven bridge problem圖 3 格尼斯堡七橋問題

實例2 n元關系的延展思考。

（1）課前預設問題：之前的課程學習和生活中有哪些n元關系？什么是n 元關系？通過什么方式表達n 元關系？關系數據庫與n元關系有什么關聯？

（2）課堂反饋問題：n 元關系運算與集合運算有什么區別？n 元關系運算和關系數據庫操作有什么區別與聯系？n元關系與函數存在哪些異同？

（3）課后拓展問題：當前國產數據庫中，華為Gauss DB與螞蟻金服的Ocean DB 是典型代表，查詢相關產業需求與發展趨勢，以及大數據中是否用到關系概念？

5 實施效果及數據分析

5.1 學生評教結果

中國海洋大學每學期均組織全體學生對課程進行評教，根據近3 年學校教學質量管理平臺的評價結果，離散數學課程團隊的平均分為96.92 分，高于學校的平均分（93.99 分）和同類型課程平均分（93.52 分）。教學質量評價的主要調查問題及支持比例如表3 所示，評教結果顯示了基于全過程反饋的混合式課程教學的有效性。通過基于問題解決的啟發式互動教學，師生實現有效反饋，學生能夠積極面對離散數學的高挑戰性，并極大地激發了學習興趣。

5.2 基于專業認證的課程目標達成度分析

設置4 個課程目標，基于工程認證的需求，對課程進行持續改進。①課程目標1。掌握離散數學的基礎概念和應用，培養學生獨立思考的能力與創新精神，激發學生科技報國的愛國熱情；②課程目標2。掌握數理邏輯、集合論與代數結構、圖論等理論知識和證明方法及其在實際問題中的應用，構建相對完整的離散數學理論框架；③課程目標3。掌握對實際問題進行數學建模的理論化描述方法，培養學生在理論研究和工程應用中嚴謹的數學邏輯推理與分析解決問題的能力；④課程目標4。培養學生的團隊合作能力和表達能力，通過自行查找資料并分析，提升科技文檔的整理能力與語言表達能力。

Table 3 Mainly investigated problems of teaching quality evaluation and support proportion表3 教學質量評價主要調查問題及支持比例

如表4 所示，根據工程認證進行指標點對應，考察學生的學習過程和課程考核結果，獲得4 個課程目標的達成度分析。其中，A5，1、A5，2、A5，3為期末考試成績，分別對應課程目標1、課程目標2 和課程目標3 的得分，A5，1+A5，2+A5，3=60。2021 年離散數學的課程目標達成度如圖4所示。

Table 4 Complementation degree of course goals based on the learning process and test results表4 基于學習過程與考核結果的課程目標達成度

Fig.4 Analysis of course objective achievement degree圖 4 課程目標達成度分析

設置各課程目標達成度為0.7，所有課程目標均達到評價要求。其中，課程目標1 達成度為0.83，課程目標2 達成度為0.77，課程目標3 達成度為0.80，課程目標4 達成度為0.94。學生在科技報國責任感、創新精神和小組合作方面的目標達成度較高，從而進一步帶動了在課程實驗、競賽、認證考試等其他方面的學習與表現。

5.3 小組報告和課程實驗帶動CSP認證及課外競賽成績

在抽象理論學習中設置靈活的課程實驗，為學生參加CCF-CSP 認證、算法編程類競賽、數學競賽等打下良好的算法與程序基礎。近年來中國海洋大學計算機專業學生參加CCF-CSP 認證的成績逐年提高，以150 分為認證通過線，每年超過200分的考生人數占比從17%提升到58%。

通過基于全過程數據反饋的課程改革，有效提升了學生的算法分析和實現能力以及信息安全的數理基礎與遷移拓展能力。近5 年來，學生成績優異，在國內外競賽中多次獲得“高教社杯”全國大學生數學建模競賽一等獎、全國大學生信息安全競賽一等獎、ACM-ICPC 國際大學生程序設計競賽亞洲區域賽金牌等。

6 結語

本文基于線上線下教學和全過程考核反饋，提升學生的課程參與程度，實現對離散數學的主動學習。針對學生學習過程中存在的學習動力問題和目標疑問、學習細節難點等，從全過程化管理與反饋強化入手，整合校內校外、課內課外、本課程和后續發展的關系，提升學生的學習效果。教學實踐證明了該教學方法的有效性，可契合專業認證目標，符合目標導向的教學理念。后續研究將進一步深化對課程數據的自適應管理。