“雙創(chuàng)”背景下“高等數(shù)學”課程中旋轉(zhuǎn)體體積可視化教學設(shè)計

宣晶雪 張權(quán)

齊齊哈爾大學理學院 黑龍江齊齊哈爾 161006

隨著科技的發(fā)展和社會的進步，“雙創(chuàng)”教育已成為教育改革的必然趨勢[1]。為滿足社會需求，我國愈加注重創(chuàng)新戰(zhàn)略型人才的培養(yǎng)。全國各高等院校積極響應，高校教師紛紛推進“雙創(chuàng)”理念融入課堂的工作。“雙創(chuàng)”教育即為創(chuàng)新和創(chuàng)業(yè)教育[2]。旨在高等教育教學環(huán)節(jié)的主渠道中，以基礎(chǔ)理論知識為載體，恰當合理地在日常教學中融入“創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)”理念，加強培養(yǎng)青年學子科技創(chuàng)新實踐的能力，推動其積極加入社會各項實踐活動，獲取創(chuàng)業(yè)知識與經(jīng)驗。促使青年學子基礎(chǔ)理論知識與創(chuàng)新實踐能力協(xié)同并肩，促進其蓬勃發(fā)展。

“高等數(shù)學”作為各高校理工科類別的一門既基礎(chǔ)又重要的理論課程，具有理論知識冗雜繁多、概念抽象難以理解、邏輯思維需求較高的特點[3]。除此之外，“高等數(shù)學”學科更善于傳授理論基礎(chǔ)，對創(chuàng)新能力的培養(yǎng)與創(chuàng)業(yè)知識的傳播并不透徹。所以，這就需要高校教師們對現(xiàn)有的教學模式進行改革，將“雙創(chuàng)”教育理念合理恰當?shù)厝谌虢虒W工作中，深度培養(yǎng)并鍛煉青年學子的創(chuàng)新能力，鼓勵其積極創(chuàng)業(yè)。

將“雙創(chuàng)”教育理念合理恰當?shù)厝谌搿案叩葦?shù)學”日常教學中，青年學子們無疑是最大獲益者。一方面保證了教育資源多樣性、教育方式多元化、教育模式生動化、教學內(nèi)容印象化，在學科知識體系的基礎(chǔ)上，理論聯(lián)系實際，結(jié)合創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理念進行拓展，促使青年學子在大腦皮層留下深刻的印記，有效激發(fā)學習興趣。另一方面，“雙創(chuàng)”教育理念在傳播給青年學子創(chuàng)新意識、創(chuàng)業(yè)知識的同時，也在一定程度上推動其邏輯思維能力的發(fā)展。在科研知識創(chuàng)新探索過程中，青年學子逐步形成縝密的邏輯思維，保持良好的自主探究能力和獨立思考問題的習慣，培養(yǎng)其多方位、多元化、多維度看待事情。“高等數(shù)學”作為理工科類別必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)學科，旨在培養(yǎng)思維方式多元化、思想品德高尚化、創(chuàng)新能力科研化的戰(zhàn)略型人才。所以在教學過程中，教師要將學生放在教育的主體地位上[4]，充分探索學生的主動性。根據(jù)課程內(nèi)容合理布置思考問題，引導學生用創(chuàng)新的理念解決問題，注重強化學生的創(chuàng)新意識，鍛煉其創(chuàng)新能力。教學方式也要多樣化，可根據(jù)課程需要通過多媒體展示知識內(nèi)容[5]，尤其是視頻圖例等，能夠直觀清晰展示課程內(nèi)容。開設(shè)多樣的實踐活動，培養(yǎng)青年學子動手動腦能力，師生共同探究，教學相長。考核方式多元化發(fā)展，可在平臺多設(shè)置探究活動，并記錄成績作為考核的一部分，在教學考核中無形促進其創(chuàng)新意識的養(yǎng)成與能力的提升。

1 課程目標

1.1 知識目標

(1)理解與掌握薄片法與柱殼法的方法和思想。

(2)熟練掌握繞x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)體的體積公式。

1.2 能力目標

(1)通過可視化培養(yǎng)學生空間架構(gòu)想象能力；通過薄片法、柱殼法探究培養(yǎng)學生邏輯推理的能力；通過概念知識講授培養(yǎng)學生領(lǐng)悟理解能力。

(2)通過小組討論培養(yǎng)學生自主學習、團結(jié)合作、善于觀察總結(jié)、樂于探索的能力。

1.3 情感目標

(1)通過引入神舟飛船視頻，培養(yǎng)學生樂于奉獻、科技強軍、航天報國的愛國主義情懷。

(2)通過問題探究培養(yǎng)學生勤于動腦，善于思考，從多維角度看待問題的態(tài)度。

2 教學過程設(shè)計

2.1 問題探究

多媒體展示旋轉(zhuǎn)體圖片，神舟飛船視頻以及雷達衛(wèi)星圖片并設(shè)置思考問題：(1)它們都是怎樣的幾何體？(2)何為旋轉(zhuǎn)體？

引導學生分小組自主探究并查閱相關(guān)資料，了解旋轉(zhuǎn)體的定義，并以小組為單位進行匯報。

探究結(jié)果匯報：

旋轉(zhuǎn)體定義：旋轉(zhuǎn)體是由一個平面圖形或是一條平面內(nèi)的曲線，圍繞著平面內(nèi)任何一條直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體，平面內(nèi)這條直線就稱之為旋轉(zhuǎn)軸[6]。

以動畫形式直觀演示矩形、直角三角形、直角梯形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體，如圖1所示。并計算其旋轉(zhuǎn)體體積。

圖1 旋轉(zhuǎn)體展示圖

(1)矩形圍繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體稱之為圓柱體，圓柱的體積為：V圓柱=底面積×高。

進行總結(jié)，并設(shè)置問題：圓柱、圓錐和圓臺都是中學學過的規(guī)則的體，所以它們的體積容易計算。那么，如果是曲邊梯形圍繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的不規(guī)則的體，其體積應該如何計算？

2.2 重難點探究與分析

給出具體問題案例，設(shè)置問題探究，引導學生分小組討論。

2.2.1薄片法

設(shè)曲線y=f(x)是一條連續(xù)的曲線，且f(x)≥0，現(xiàn)有一個曲邊梯形，由曲線y=f(x)，x=a，x=b以及y=0所圍成，現(xiàn)令這個曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周[4]，其所形成的不規(guī)則旋轉(zhuǎn)體的體積應如何計算？

圖2為可視化曲邊梯形圖片，提示學生采用微元法的方式來計算，并引導學生回顧微元法思想和計算方法，其具體思想是化“不規(guī)則”為“規(guī)則”。

圖2 薄片法旋轉(zhuǎn)體圖

探究結(jié)果檢驗：

①分割：在區(qū)間[a，b]上任意插入n-1個分點，記a=x0，x1，x2…xn-1，xn=b，則區(qū)間[a，b]被分成n個大小相等的小區(qū)間，并記做[x0，x1]，[x1，x2]…[xn-1，xn]，并令xi-xi-1=dx(0≤i≤n)。

②近似替代：取任意一個小區(qū)間[x，x+dx]，其中dx是非常微小的量，對于窄曲邊梯形ABCE而言，可近似用窄矩形ABCD替代。窄矩形ABCD繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體為圓柱體。圓柱體中的高即為[x，x+dx]的區(qū)間長度dx，圓柱體的底面半徑為x點處對應的函數(shù)值f(x)。那么，圓柱體的體積等于底面積×高，即為πf(x)2dx，即小區(qū)間[x，x+dx]所對應的體積微元dv為dv=πf(x)2dx。

例1：計算由曲線y2=x且x∈[0，1]與y=0所圍成的曲邊梯形分別繞x軸y軸各旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。

圖3為可視化曲邊梯形形狀，直觀演示其分別繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體。并引導學生回顧根據(jù)薄片法得到的繞x軸和繞y軸旋轉(zhuǎn)體的體積公式。

根據(jù)牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

根據(jù)牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

2.2.2柱殼法

設(shè)置問題，引導學生分小組探究：仍是上述曲邊梯形，由曲線y=f(x)(f(x)≥0)，x=a，x=b以及y=0所圍成，現(xiàn)令其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的不規(guī)則旋轉(zhuǎn)體的體積應如何計算？

圖4為柱殼法對應旋轉(zhuǎn)體演示過程圖。以小組匯報的形式，鼓勵學生創(chuàng)新探究，檢驗探究結(jié)果，并計入考核成績。通過可視化的方式，引導學生共同分析匯報內(nèi)容如下：

(a)

圖5 柱殼法旋轉(zhuǎn)體圖

例1中曲線y2=x且x∈[0，1]與y=0所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積可采用柱殼法方法計算。

根據(jù)牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

2.3 總結(jié)歸納

通過引導青年學子以共同回憶的方式來梳理旋求轉(zhuǎn)體體積的知識脈絡(luò)，進行歸納總結(jié)，使青年學子清晰直觀地掌握課程核心內(nèi)容。

3 課后檢驗

通過探究式的自主學習過程，以及對旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握，完成布置的課后任務，并在規(guī)定時間內(nèi)提交，完成布置的知識測評。

4 課程思考拓展

(1)尋找生活中旋轉(zhuǎn)體的案例，例如圓形水杯、橢圓形的橄欖球等，并嘗試是否能計算出其體積？

(2)布置思考任務：若某立體不是旋轉(zhuǎn)體，但該立體垂直于某一定軸的各個截面面積AX已知[6]，則該立方體的體積應如何來計算？

“高等數(shù)學”這門學科不單單傳授給學生科學文化知識，更要鍛煉學生邏輯思維能力，培養(yǎng)學生良好的創(chuàng)新意識和高尚的道德情操。本文基于“雙創(chuàng)”背景下，以“高等數(shù)學”課程中求旋轉(zhuǎn)體體積為例進行教學設(shè)計。摒棄傳統(tǒng)教學模式，對講授方法與講授內(nèi)容進行革新。借助于多媒體渠道，通過“探究式+可視化”的教學方式，分別介紹了薄片法、柱殼法以及其分別對應的繞x軸，y軸的旋轉(zhuǎn)體體積公式。數(shù)形結(jié)合的可視化讓學生直觀感受到旋轉(zhuǎn)體空間立體構(gòu)架，更易接受并理解深刻。分小組探究討論充分發(fā)揮了青年學子自主式學習，提升其學習熱情與積極性。積極探索課程教育學新領(lǐng)域，這種教育革新更適應社會需求，保證了“雙創(chuàng)”教育理念下創(chuàng)新型戰(zhàn)略人才的培養(yǎng)與快速發(fā)展，在一定程度上推動了“高等數(shù)學”課堂教學質(zhì)量的提升。