隱函數(shù)求導數(shù)的五種方法

張亞龍 高改蕓 劉爽

北京科技大學天津學院 天津 301830

隱函數(shù)求導數(shù)是多元函數(shù)微分法應用的重要內容之一，也是高等數(shù)學中的一個難點。利用多元復合函數(shù)求偏導，對于初學者容易出錯。利用隱函數(shù)求導數(shù)可以求解空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線和多元函數(shù)的極值、最值等。將一元函數(shù)求導數(shù)和多元復合函數(shù)求偏導數(shù)的方法，應用到求隱函數(shù)導數(shù)中。高等數(shù)學的教材中只給出了公式法求多元隱函數(shù)導數(shù)，本文總結出五種方法求隱函數(shù)導數(shù)，這樣面對隱函數(shù)求導問題時，我們可以選擇較多方法求解，便于對隱函數(shù)求導數(shù)的應用。

一、隱函數(shù)存在定理

二、一個方程確定的一元隱函數(shù)和二元隱函數(shù)求導

(一)顯化法

說明：利用顯化法求隱函數(shù)的導數(shù)，要求給定的方程可以顯化，即自變量與因變量可分離，但對于絕大部分情況是難以顯化或無法顯化的，如由方程ez-xyz=0確定的隱函數(shù)，此時顯化法失效。

(二)直接法

將直接法推廣到二元隱函數(shù)中，設方程F(x，y，z)=0，確定的隱函數(shù)z=f(x，y)，對方程兩邊直接關于自變量x或y求導，此時z是x，y的函數(shù)，求偏導數(shù)時，需要把z看作x，y的函數(shù)。

(三)公式法

說明：公式法首先需要令函數(shù)F(x，y)或F(x，y，z)，不需要考慮函數(shù)之間的復合情況，只需熟記公式，只要將F看成x，y或x，y，z的函數(shù)，對其求偏導數(shù)。而直接法需要弄清楚各變量的復合情況，進行復合函數(shù)求偏導，難度相對于求簡單的偏導數(shù)有所提升，但直接法的解題思路非常重要，可用于求解隱函數(shù)組導數(shù)。

(四)微分法

設方程F(x，y)=0，確定函數(shù)y=f(x)，利用微分形式不變性，對方程兩邊同時求微分，此時需要將F看成關于x，y的一個二元函數(shù)。

設方程F(x，y，z)=0，確定隱函數(shù)z=f(x，y)，利用全微分形式不變性和全微分的疊加原理，對方程兩邊同時求全微分，此時需要將F看成關于x，y，z的一個三元函數(shù)。

說明：不難看出，全微分法求偏導數(shù)時，需要熟練應用微分運算法則與全微分形式不變性。實際中，大部分讀者不善于用全微分形式不變性求解，通過求解上題，用微分法求解過程簡單，與顯化法、直接法相比較，建議使用微分法求解。

(五)對數(shù)求導法

對于某些隱函數(shù)求導的問題，直接用上述四種方法求解時，過程相對復雜，此時需要在方程的兩邊同時取對數(shù)，然后利用復合函數(shù)求偏導法則求出隱函數(shù)導數(shù)，這種方法稱為對數(shù)求導法。一般適用于當方程中含有冪指函數(shù)的項的情形。

說明：例8和例9都是先對方程兩邊同時取對數(shù)，然后利用直接法求解。實際中，也可以取對數(shù)之后，然后在兩邊取微分，利用微分法求解。方程兩邊同時取對數(shù)的目的是為了求導簡單，本質上我們還是需要利用直接法或微分法求解。

三、方程組確定的一元隱函數(shù)和二元隱函數(shù)求導

設方程F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0，確定的一元隱函數(shù)為y=y(x)，z=z(x)，下面分別利用直接法、公式法和微分法求解此類隱函數(shù)導數(shù)。

解1 直接法

方程組兩邊同時對x求偏導，得：

即：

則：

所以：

解2 公式法

令F(x，y，z)=x+y+z，G(x，y，z)=x2+y2+z2，分別對F，G求關于x，y，z的偏導數(shù)，得Fx、Fy、Fz與Gx、Gy、Gz，進而得出：

代入公式，得：

解3 微分法

說明：通過例11的三種解法，我們不難發(fā)現(xiàn)，對于由方程組確定的一元隱函數(shù)，利用微分法求解，優(yōu)點突出，可以有效地避開函數(shù)各個變量之間的復合關系，將每個變量都看成自變量，求微分即可。公式法需要記憶公式，但是由方程組確定的隱函數(shù)公式相當復雜，無論對教師還是學生優(yōu)先使用微分法，次之使用直接法與公式法。

設方程F(x，y，u，v)=0，G(x，y，u，v)=0，確定的二元隱函數(shù)為u=u(x，y)，v=v(x，y)，同樣利用直接法、公式法和全微分法求解此類隱函數(shù)導數(shù)。

解1 直接法

方程組兩邊同時對x求偏導，得：

即：

則：

所以：

解2 公式法

解3 全微分法

對兩個方程兩邊同時求全微分，得：

整理得：

說明：通過例12的解題過程，不難發(fā)現(xiàn)全微分法優(yōu)勢更加突出，對于解方程的過程也相對簡單。公式法需要記憶公式，直接法需要解兩次方程組，而且在求偏導數(shù)時容易出錯，因此全微分法最簡單。

通過對一個方程確定的隱函數(shù)求導和方程組確定的隱函數(shù)組求導對比，利用直接法、公式法、微分法三者的計算量和復雜程度區(qū)別不是很明顯。但是對于方程組確定的隱函數(shù)來說，微分法優(yōu)勢突出，過程比直接法與公式法簡單，計算量小，不管函數(shù)和自變量如何變化，各變量之間的復合情況，始終將函數(shù)和自變量同等地位處理，從而提高正確率。

結語

本文給出求隱函數(shù)導數(shù)的五種方法，不僅可以解決一元隱函數(shù)求導問題，同時也適合于多元隱函數(shù)求導，對于在求解的過程中，每個方法都有優(yōu)缺點。顯化法、直接法、微分法、對數(shù)求導法都不需要記公式，但顯化法要求給定的方程可以顯化，對于很多方程是不可以或者不容易顯化的，所以對于隱函數(shù)求偏導，一般情況下不使用顯化后再求偏導數(shù)的方法。直接法需要知道函數(shù)中各個變量的復合情況，明確各變量之間的關系，利用復合函數(shù)求偏導計算隱函數(shù)的導數(shù)，容易出現(xiàn)錯誤，但是直接法的適用性很強，因此也會被廣泛應用，并且公式法可以由直接法推得。公式法需要構造函數(shù)F(x，y)或F(x，y，z)，對函數(shù)F(x，y)或F(x，y，z)求偏導數(shù)即可，此時需要將F看作x，y或x，y，z的函數(shù)。計算過程簡單，但需要熟記公式。微分法不需要關心變量之間的關系，利用微分疊加原理和全微分不變性，對方程兩邊求全微分。微分法求隱函數(shù)導數(shù)是一種簡單、易懂的方法，且不容易出錯。對數(shù)求導法需要方程中含有冪指函數(shù)的形式，局限性比較大，但計算過程相對簡單。

對于由方程組確定的隱函數(shù)，全微分法優(yōu)點更突出，既不需要記憶復雜公式，也不需要考慮函數(shù)變量之間的復合關系，以不變應萬變，通俗易懂，直接利用微分形式不變性求解隱函數(shù)導數(shù)。因此，無論是方程還是方程組確定的隱函數(shù)，利用微分法最簡單。實際中，大部分學生沒有利用微分法求解隱函數(shù)導數(shù)，所以教師應在高等數(shù)學課堂上對全微分法進行重點講解與應用，使學生能夠熟練應用微分法求解隱函數(shù)導數(shù)，讓求隱函數(shù)導數(shù)不再是高等數(shù)學中的一個難點問題。