面向純相位型全息顯示的自適應混合約束迭代算法*

高乾程 何澤浩 劉珂瑄 韓超? 曹良才?

1) (安徽工程大學,高端裝備先進感知與智能控制教育部重點實驗室,蕪湖 241000)

2) (清華大學精密儀器系,精密測試技術及儀器國家重點實驗室,北京 100084)

純相位型計算全息圖舍棄全息面上的振幅信息,降低了全息顯示的圖像質量.迭代法通過多次正、逆向的波前傳播計算,優化了純相位型計算全息圖的相位輪廓,提升了全息再現的圖像質量.然而,傳統迭代法可能存在迭代發散、收斂速度偏慢以及再現質量受限等問題.本文提出了一種基于角譜傳播模型的自適應混合約束迭代算法,通過在迭代中加入自適應的反饋機制和頻帶約束策略,增加了迭代優化的自由度,提升了迭代的收斂性和全息再現的圖像質量.仿真和實驗結果表明,提出的算法能夠在較短的計算時間內獲得更高重建質量的純相位型計算全息圖,對于高質量的全息顯示具有重要應用價值.

1 引言

真實世界中的景物通常是具有深度信息的三維物體[1].然而,傳統顯示技術僅能呈現二維平面圖像,深度信息的缺失限制了顯示畫面的真實性[2].探索三維呈現方式、提升畫面展示的真實性,是顯示技術的重要發展方向[3].全息三維顯示提供了人眼可以感知的所有種類的深度線索[4],是三維內容的理想呈現方式,近年來受到廣泛關注[5].最早出現的光學全息顯示技術使用相干條紋實現三維場景的記錄和再現[6],對記錄介質、光學器件和實驗系統的要求較為嚴格[7],且多數情況下只能實現靜態場景的三維顯示[8].伴隨著計算機技術發展而產生的計算全息顯示技術使用數值計算實現了相干條紋的獲取[9],使用空間光調制器(spatial light modulator,SLM)實現了條紋的加載和重建[10],極大地降低了全息顯示的實現難度[11].同時,可刷新SLM 的快速發展[12],為動態三維全息顯示的實現奠定器件基礎[13].

當前,動態SLM 通常難以實現振幅和相位的同時調制.為了匹配動態SLM 的調制特性,物波函數的復振幅需要被編碼為振幅型或相位型的計算全息圖(computer-generated hologram,CGH)[14].純相位型CGH 能量利用率高、共軛像易于消除,是動態三維信息的理想承載方式之一[15].不過,純相位型CGH 舍棄了全息面上的振幅信息,降低了全息三維顯示的圖像質量.提升純相位型CGH 顯示質量的常用方法包括誤差擴散法[16]、雙相位編碼法[17]、迭代編碼法[18]及深度學習法[19]等.迭代編碼法通過多次正、逆向的波前傳播計算,可以優化全息面上的相位輪廓,進而提升純相位型CGH的重建質量.Gerchberg-Saxton(GS)算法是一種典型的迭代優化算法[20],但常面臨收斂速度受限的問題.加權GS 方法通過在像平面引入比例反饋因子的方式提升了迭代計算的收斂速度[21],但部分結果仍存在迭代發散、收斂速度偏慢以及重建質量受限等問題,需要進一步優化提升.

本文提出了一種基于角譜傳播的自適應混合約束迭代(adaptive mixed constraint Gerchberg-Saxton,AMCGS)算法.該算法基于自適應的反饋機制和頻帶約束策略,在迭代過程中為像平面和全息平面的不同區域設置自適應的反饋因子,提升了迭代優化過程的收斂速度和穩定性,在較短的計算時間內獲得了更高重建質量的純相位型CGH,可以應用在高質量的全息顯示場景中.

2 理論方法

2.1 角譜傳播模型

純相位型CGH 的迭代優化方法需要基于特定的波前傳播模型進行設計,如傅里葉變換模型、菲涅耳衍射模型和角譜傳播模型等.其中,傅里葉變換模型模擬夫瑯禾費衍射,可用于遠場衍射分布的計算,但對于三維場景的適用性較弱,需要進行針對性優化;菲涅耳衍射模型的物面采樣間距與傳輸距離相關,增加了計算難度.角譜傳播模型可以精確模擬平面波集的光學傳播過程,物面采樣間距與傳輸距離無關.因此,本文提出的AMCGS 算法基于角譜傳播模型設計.平面波集由全息面傳播到像平面的過程定義為正向角譜傳播過程,其數學形式可描述為

式中,?表示傅里葉變換,??1表示逆傅里葉變換;u(x,y)表示全息面的復振幅分布,U(x,y) 表示像平面的復振幅分布;H(fx,fy) 表示與傳播距離z相關的傳遞函數,其具體形式為

其中,λ表示照明波長,fx和fy分別表示沿x軸與y軸方向的空間頻率.同理,平面波集由像平面傳播到全息面的過程定義為逆向角譜傳播過程.

為了獲得全息面上的復振幅分布,提取復振幅U(x,y)的相位,并使用逆向角譜傳播模型:

式中,arg 表示提取相位,A(x,y) 表示像平面上受到約束的振幅,H?z(fx,fy) 表示與傳播距離z相關的逆向傳遞函數,u′(x,y) 表示經逆向傳播獲取的全息面復振幅.通過多次受約束的正、逆向角譜傳播,全息面上的相位輪廓可以得到優化,進而得到重建質量更高的純相位型CGH.

2.2 AMCGS 算法模型

傳統GS 算法的迭代約束對所有采樣點賦予相同的權值.這一反饋策略限制迭代優化的自由度,降低了迭代過程的收斂速度和穩定性.在像平面上設置信號區和噪聲區,并為不同區域設置不同的反饋權值,可以增加迭代優化的自由度[22],進而加快迭代優化的收斂速度[23].AMCGS 算法對于信號區與噪聲區的設置如圖1 所示.在迭代過程中,目標圖像需要擴展到原先尺寸的2 倍.由原圖像構成的中心區域為信號區,由采樣點擴展獲得的邊緣區域為噪聲區.

圖1 AMCGS 算法中的信號區與噪聲區Fig.1.Signal area and noise area on the reconstruction plane in the AMCGS algorithm.

對于原始采樣點數為N×N的目標圖像,AMCGS算法的流程如圖2 所示.為了按照圖1 所示方法在像平面構建出信號區和噪聲區,像平面的圖像采樣點數首先設置為2N×2N[24].考慮到角譜傳播模型的全息面和像平面采樣點數相同,因此在第一次迭代中,采樣點數為2N×2N的均勻振幅和隨機相位構成了全息面的初始復振幅分布.使用正向角譜傳播模型即(1)式,可獲得初始復振幅分布在像平面上對應的重建復振幅分布.在執行逆向角譜傳播前,按照如下策略對像平面的重建振幅進行約束:

圖2 AMCGS 算法原理圖Fig.2.Schematic of AMCGS algorithm.

式中,S為信號區,N為噪聲區,AT為目標圖像的振幅分布,AR為像平面的重建振幅分布,Acons為經過自適應混合約束后的振幅,ω為自適應振幅約束系數.ω會隨著迭代過程變化,自適應地優化迭代步長以調整迭代進程.

提取復振幅(1)式的相位,與約束振幅(4)式共同構成像平面的約束復振幅.使用逆向角譜傳播模型(3)式,可獲得約束復振幅分布在全息面上的復振幅分布.提取全息面復振幅(3)式的相位,即可獲得采樣點數為2N×2N的純相位型CGH.由圖2 可以看出,噪聲區的引入增加了純相位型CGH的采樣點數.對于原始采樣點數為N×N的目標圖像,未經處理的CGH 采樣點數為2N×2N.然而,在全息再現過程中,上述純相位型CGH 邊緣像素對應的重建區域主要為噪聲區.這些邊緣像素不僅對目標物體全息再現的貢獻較小,還限制了系統的空間帶寬積利用率和光能利用率.為了避免空間帶寬積的浪費,第二次迭代前需要對純相位型CGH邊緣像素進行優化.AMCGS 算法首先基于頻帶約束策略對采樣點數為2N×2N的CGH 進行了裁切,僅保留了其中心區域的N×N個像素;其次將采樣點數為N×N的CGH 再次拓展為2N×2N,以保證其在像平面的重建結果仍舊可以構建出信號區和噪聲區.為了避免光能的浪費,在上述采樣點拓展過程中,純相位型CGH 的邊緣像素取值均為0.第二次及以后的迭代過程均使用采樣點數為2N×2N的均勻振幅和補零拓展后的純相位型CGH 構成全息面的復振幅.重復自適應迭代過程(1)式—(5)式,直至達到預設的循環次數,即可獲得目標圖像經過優化的純相位型CGH.

2.3 有效傳播距離

除了可以提升迭代優化的自由度,AMCGS 算法還可以拓展角譜傳播模型的有效距離.簡便起見,以一維角譜傳播模型為例,討論角譜傳播模型的有效距離.此時,角譜傳遞函數即(2)式可簡化為

提取一維角譜傳遞函數的相位,可以得到

相位函數?(fx) 的局域空間頻率為

為了避免角譜傳播模型中的混疊誤差,一維采樣過程中,頻率采樣間隔需要滿足奈奎斯特采樣定理:

式中,Δfx為頻率采樣間隔,L1D為一維全息平面的總寬度.考慮到(8)式的單調性,為了使(9)式始終成立,僅需保證(9)式在fx取最大值時成立即可.此時,重建距離z需要滿足:

式中,N1D為一維采樣點數,Δx1D為一維采樣間隔,zmax為一維角譜傳播模型的有效傳播距離.AMCGS 算法在構建信號區和噪聲區的過程中將目標圖像采樣點數擴展到原始尺寸的2 倍,因此其有效距離也將擴展為傳統角譜傳播模型的2 倍.

3 數值仿真與分析

本文用峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio,PSNR)和相關系數(correlation coefficient,CC)評價全息再現的圖像質量.其中,PSNR (單位:dB)的數學形式為

式中,Imax表示圖像的最大灰階值,R和K分別表示目標圖像與重建圖像的振幅分布.PSNR 取值越高,重建圖像的質量相對越好.CC 的數學形式為

式中,X和X分別表示目標圖像的振幅分布和振幅均值,Y和Y分別表示重建圖像的振幅分布和振幅均值.CC 取值越大,兩幅圖像的相關性越強.

本文采用圖3(a)—(d)所示的狒狒(baboon),船(ship),芭芭拉(barbara),女人(women)四幅圖像作為目標圖像.上述目標圖像的原始采樣點數均為512×512,補零填充后采樣點數擴展至1024×1024.圖3(e)—(h)展示了沒有加入頻帶約束策略時,不同迭代次數下全息再現結果的PSNR 值.當迭代次數小于20 時,目標圖像全息再現結果的PSNR 值隨著迭代次數的增加快速提升;當迭代次數大于40 時,目標圖像全息再現結果的PSNR 值漸漸趨于穩定.仿真結果表明,本文設計的反饋策略具有穩定的收斂性,且全息再現質量相比非迭代算法提升顯著.

圖3 目標圖像(a)—(d)及其AMCGS 反饋策略仿真重建結果(e)—(h) (a),(e) 狒狒;(b),(f) 船;(c),(g) 芭芭拉;(d),(h) 女人Fig.3.Target images (a)–(d) and corresponding simulation results by the proposed AMCGS feedback (e)–(h): (a),(e) Baboon;(b),(f) ship;(c),(g) barbara;(d),(h) women.

為了提升空間帶寬積和光能的利用率,將頻帶約束引入上述反饋策略,得到完整的AMCGS算法.同時,將加入頻帶約束的傳統GS 算法命名為RSGS 算法,作為對照組進行仿真實驗.針對圖3(a)—(d)的4 個目標圖像,AMCGS 算法和RSGS算法重建結果的CC 值隨迭代次數變化的曲線,在圖4(a)—(d)中給出.可以看出,隨著迭代次數的增加,AMCGS 算法再現結果的CC 值比RSGS 算法更大,其再現圖像與原始圖像的相關性更高.在迭代100 次時,AMCGS 算法全息再現結果的CC值平均約為0.9857;在迭代300 次時,AMCGS 算法全息再現結果的CC 值平均約為0.9934,此時AMCGS 算法已趨近于收斂.AMCGS 算法100 次迭代得到的全息再現圖像已經可以滿足人眼視覺質量要求.PSNR 作為評價全息再現質量的又一定量指標,本文基于計算成本與全息再現質量間的平衡,繪制了AMCGS 算法和RSGS 算法迭代100 次PSNR 值的變化曲線,如圖5(a)—(d)所示.在迭代100 次時,AMCGS 算法全息再現結果的PSNR平均值約為31 dB,相比RSGS 算法平均提升了約5 dB,得到的全息再現結果已可以應用于高質量全息顯示.上述結果均證實本文提出的AMCGS算法能獲得更好的全息再現質量.大量增加迭代次數以測試AMCGS 算法再現結果的PSNR 值隨迭代次數變化的關系,迭代2×104次時再現圖像的PSNR 值為41.47 dB,迭代105次時再現圖像的PSNR 值為42.7 dB,僅提升1.2 dB 左右.2×104次迭代后PSNR 值隨迭代次數變化曲線趨于收斂,大幅度增加迭代次數對再現圖像PSNR 值的提升較為有限.

圖4 AMCGS 算法與RSGS 算法仿真重建結果CC 值隨迭代次數的變化曲線 (a) 狒狒;(b) 船;(c) 芭芭拉;(d) 女人Fig.4.CCs under different iteration numbers of the reconstructions by the AMCGS algorithm and RSGS algorithm: (a) Baboon;(b) ship;(c) barbara;(d) women.

圖5 AMCGS 算法與RSGS 算法仿真重建結果PSNR 值隨迭代次數的變化曲線 (a) 狒狒;(b) 船;(c) 芭芭拉;(d) 女人Fig.5.PSNRs under different iteration numbers of the reconstructions by the AMCGS algorithm and RSGS algorithm: (a) Baboon;(b) ship;(c) barbara;(d) women.

將傳統隨機相位法和AMCGS 算法分別應用于4 個目標圖像,傳統隨機相位法對應的全息再現結果,如圖6(a)—(d)所示,迭代100 次,AMCGS算法對應的全息再現結果如圖6(e)—(h)所示.對于不同的目標圖像,AMCGS 算法均可以取得良好的全息再現質量,相應的全息再現圖像對比度高,圖像的細節清晰可見,更符合人眼視覺質量要求.使用CC 作為評價指標,AMCGS 算法的全息再現結果較傳統隨機相位法平均提升了約0.45;使用PSNR 作為評價指標,AMCGS 算法的全息再現結果較傳統隨機相位法平均提升了約20 dB.

圖6 全息再現仿真結果對比 (a)—(d) 傳統隨機相位法;(e)—(h) AMCGS 算法Fig.6.Comparison of holographic reconstructions simulation results: (a)–(d) Traditional random-phase method;(e)–(h) AMCGS algorithm.

本文仿真實驗所采用的計算平臺為Matlab-2021b,Windows 10 操作系統和Core I5-11400H(2.70 GHz).100 次迭代后,AMCGS 算法可以達到符合人眼視覺質量的全息再現結果.基于計算成本與全息再現質量間的平衡,針對4 個目標圖像,采樣點數設置為512×512.傳統GS 算法,RSGS算法以及AMCGS 算法完成迭代所需時間見表1.從表1 可以看出,AMCGS 算法相較于無需增加采樣數的傳統GS 算法,其迭代時間較長,然而傳統GS 算法難以用于高質量全息顯示場景;AMCGS算法相較于同樣增加采樣數的RSGS 算法,二者迭代時間相差無幾,結合圖5 可知,100 次迭代后AMCGS 算法全息再現結果的PSNR 值相比于RSGS 算法平均提升了約5 dB,且AMCGS 算法具有更大的優化空間.

表1 傳統GS 算法,RSGS 算法 以及AMCGS算法迭代100 次所需時間Table 1.Time required for 100 iterations of GS algorithm,RSGS algorithm and AMCGS algorithm.

4 光學實驗

為了進一步探索AMCGS 算法在光學實驗中的重建質量,本文構建了如圖7 所示的光學系統.波長為532 nm 的相干光束通過衰減片、空間濾波器、準直透鏡和起偏器后成為對SLM 調制敏感的平面照明波.純相位型CGH 加載在SLM 上,用以調制平面照明波.實驗中使用的SLM 型號為HoloEye Gaea-2Vis,其像素間距為3.74 μm,采樣點數為3840×2160.經過純相位型CGH 調制的重建光波經過4f系統濾波后,由Cannon 500D 相機采集.

圖7 光學實驗系統結構Fig.7.Schematic of optical experimental setup.

光學重建結果如圖8 所示.對于不同的目標物體,AMCGS 算法的光學重建結果的對比度較好、散斑噪聲較弱且亮度分布均勻,與數值仿真中取得的結果相似.實驗重建結果證明了AMCGS 算法的實際有效性.

圖8 光學實驗結果對比 (a)—(d) 傳統隨機相位法;(e)—(h) AMCGS 算法Fig.8.Comparison of optics experimental results: (a)–(d) Conventional random phase method;(e)–(h) AMCGS algorithm.

5 結論

本文提出了一種基于角譜傳播模型的AMCGS算法.該算法將像平面分割為信號區和噪聲區,通過在不同區域加入不同的自適應反饋機制,提升了迭代優化的穩定性和收斂速度;在全息面使用頻帶約束策略,提升了空間帶寬積和光能的利用率,提高了全息再現的圖像質量.實驗表明,針對不同的目標物體,AMCGS 算法全息再現結果的PSNR值相比RSGS 算法平均提升了約5 dB,CC 值相比RSGS 算法平均提升了約0.025,且重建圖像具有更高的對比度、更低的散斑噪聲和更均勻的亮度分布.AMCGS 算法對于高質量的全息顯示具有重要的應用價值.