溫控形狀記憶合金的驅動響應模型

魯友均 宋 迪，2 苗常青

1.電子科技大學機械與電氣工程學院，成都，611731 2.電子科技大學廣東電子信息工程研究院，東莞，523808 3.哈爾濱工業大學特種環境復合材料技術國家級重點實驗室，哈爾濱，150001

0 引言

形狀記憶合金(shape memory alloy，SMA)主要具有兩種特殊的力學性能：形狀記憶效應和超彈性[1]。目前應用最為廣泛的形狀記憶合金為近原子比的NiTi形狀記憶合金，利用其形狀記憶特性可設計出特殊的驅動器。

近年來，形狀記憶合金的研究熱點主要是：①各種循環加載工況(拉伸、扭轉、非比例多軸等)下的材料力學性能，以及根據實驗結果建立材料的本構模型；②材料的工業應用。SMA工業應用的快速發展得益于本構關系的不斷完善[2]，因此，學者從微觀、宏觀層面提出了描述SMA熱機械力學行為的本構模型，其中，微觀方法描述材料微觀結構的演變[3]，宏觀方法則基于現象學，考慮實驗結果從而得到相應的本構關系。為更準確地刻畫奧氏體相與馬氏體相之間的作用機制，以及相變過程中的熱機械力學行為，將熱力學勢、內部狀態變量和相變硬化函數(指數函數[4]、余弦函數[5]、多項式和光滑函數[6])等逐漸引入本構關系。隨后，文獻[7-9]對SMA行為模型進行了概述，YU等[10-11]考慮馬氏體相變、馬氏體重取向、相變誘發塑性、重取向誘發塑性以及它們的交互作用，建立了宏觀唯象本構模型和基于物理機理的晶體塑性本構模型。XU等[12]建立的宏觀多機制本構模型可描述NiTi形狀記憶合金在不同峰值應變下的單程形狀記憶效應，且模擬結果較好地描述了單程形狀記憶效應的劣化。

SMA本構關系的以上研究提高了對SMA材料性能描述的準確性，推動了SMA驅動器的應用發展。LAGOUDAS[6]通過引入三維本構模型成功設計出航空發動機外涵噴口降噪智能結構和醫用SMA血管支架，SAPUTO等[13]對SMA驅動器的設計進行了詳細總結，并對驅動過程進行了數值模擬。WEIRICH等[14]驗證了SMA驅動器在航空航天領域應用的可能。SMA驅動器的類別、輔助機構形式、驅動熱源類型對驅動性能都有直接影響。航空航天領域中，SMA驅動器可用于可變形機翼驅動裝置、太陽能電池板展開裝置驅動器、衛星折展天線、鎖緊釋放裝置等。上述應用依賴形狀記憶合金材料的性能發揮，因此，找到一種較為便捷且準確的驅動響應分析方法是近一步推動SMA驅動器應用的關鍵。

本文首先基于熱傳導方程與驅動幾何關系，建立溫控SMA驅動器的驅動響應模型[15]，通過馬氏體體積分數修正模型中的電阻、彈性模量、剪切模量等參數，以提高驅動響應模型的準確性。其次，引入截面平均應變，確立了不同截面形狀對驅動響應速度的影響規律。理論分析了溫控SMA絲狀驅動器在驅動過程中的圓心角和彎矩響應。搭建了實驗平臺，測試了直徑為1.2 mm、長度為10π mm、初始圓心角為30°的SMA絲在6A電流下的驅動響應情況，并將其與本文建立的溫控SMA驅動響應模型計算結果進行對比分析。

1 溫控SMA驅動器的建模分析

SMA驅動器是利用SMA的形狀記憶效應在形狀恢復中產生驅動力，達到驅動效果的結構或單元[16]。形狀記憶效應是指材料在外界環境(一般是溫度)發生變化時，內部發生的熱彈性馬氏體相變引起的宏觀響應，具體表現為SMA材料恢復到原始狀態的形狀。形狀記憶效應機制如圖1所示。

圖1 形狀記憶合金的形狀記憶效應機制Fig.1 Shape memory mechanism of SMA

SMA根據其驅動和回復的性能，主要分成單程SMA、雙程SMA、全程SMA，相應的驅動方式和過程如圖2所示[17]。

圖2 SMA驅動器宏觀驅動過程[17]Fig.2 SMA drive macro drive process

單程SMA的性能比較穩定，工程應用廣泛。若要單程SMA驅動器實現往返動作，則需將單程SMA驅動器與偏置機構或差動機構配合，利用偏置機構或差動機構的回復力完成驅動之后的回復動作。如圖3a所示，初始狀態時，將有殘余應變的SMA絲一端與偏置彈簧(此時沒有拉伸或壓縮)連接；SMA絲加熱后收縮，驅動點向上運動，產生的驅動力使偏置彈簧處于拉伸狀態；冷卻后，單程SMA絲不會自動回到原始位置，驅動力消失，而收縮的偏置彈簧可使SMA絲回復到加熱前的長度，并使驅動點回到原來位置。通過類似的原理可將偏置彈簧設計成SMA彈簧，如圖3b所示，驅動器采用差動結構，加熱2個SMA彈簧使其收縮，實現不同方向的驅動并使彈簧恢復到原始位置。如先對彈簧a加熱使其收縮，提供向上的驅動力；彈簧a停止加熱后，再對彈簧b加熱使其收縮，以使驅動點回到原來位置，并提供向下的驅動力。

(a)偏置式 (b)差動式圖3 單程SMA驅動器典型應用Fig.3 Typical application of one-way SMA actuator

SMA驅動器建模分析前，需要對實際場景進行簡化。具體的簡化說明如下：

(1)驅動器的加熱方式為電流加熱。

(2)假定溫度的變化與驅動同時進行，即驅動單元溫度達到開始溫度Ts時逆相變開始發生，驅動動作開始；溫度達到結束溫度Tf時逆相變結束。

(3)驅動單元形狀的變化是連續的，不會產生突變。

(4)動作溫度不高且輻射面積小，因此熱輻射導致的溫度損耗可以忽略。

(5)驅動器電流流入端的加熱時間長于流出端的加熱時間，導致流入端的溫度高于流出端的溫度即產生溫度梯度。溫度梯度導致晶粒尺寸存在梯度效應，進而對材料的力學性能產生一定的影響[18]，如材料兩端溫度的不同導致彈性模量不一致。溫度梯度的影響區域雖然比較小，但分析微尺寸SMA驅動器的驅動響應時不能忽略該影響因素。

(6)驅動過程中，驅動器結構處于平衡狀態。

有效接入電路部分的SMA絲為驅動單元，對應的熱力學方程如下：

Qradiation+Qconvention+Qtransfer=Qinput

(1)

Qinput=I2Rt

(2)

Qconvention=hcA(Tw-T0)

(3)

Qtransfer=cmΔT

(4)

(5)

式中，σa、εa分別為表面發射率和輻射常數；c、m分別為SMA的比熱容和質量；hc、A、Tw、T0分別為對流傳熱系數、表面積、SMA彈簧的溫度和環境(此處為空氣)的溫度。

實際驅動時，熱輻射的占比很小且工作溫度較低，因此，本小節將熱輻射忽略。再將過程公式等號兩端都對時間t進行微分，得到加熱過程的方程：

(6)

式中，ρ為材料密度；V為材料體積。

整理式(6)，求解一元微分方程，得材料溫度T隨參數變化的響應公式：

(7)

式中，C1為求解一元微分方程后的常數，由初始條件決定。

為便于直觀觀察響應，選擇圓心角為響應變量，將SMA驅動器的自由恢復過程簡化。如圖4所示，驅動單元在低溫時受到外力發生變形即C-A-B狀態；對彎曲段AB加熱，材料發生馬氏體逆相變，宏觀上表現為材料恢復到受力變形前的形狀即C-A-B′狀態。驅動過程是材料彎曲段AB受熱發生馬氏體逆相變，恢復成直線AB′，假定在驅動過程中AB變化是連續的，且驅動過程中的角度關系為

圖4 SMA絲驅動過程示意圖Fig.4 Schematic diagram of SMA wire actuating process

β=θ

(8)

驅動過程中，假定中性軸的長度不發生變化即AB弧長不變，根據弧長公式，可以得到

L=R0θ0=Riθi

(9)

式中，R0、θ0分別初始狀態的曲率半徑與圓心角；Ri、θi分別為驅動過程中任意位置的曲率半徑和圓心角。

根據幾何關系可得曲率的表達式[19]：

(10)

L1=L(1+ε1)L2=L(1+ε2)

式中，r為截面內接圓的半徑；ε1、εp1分別為受拉側初始狀態的平均應變和平均塑性應變；ε2、εp2分別為受壓側初始狀態的平均應變和平均塑性應變。

圓心角θi與應變之間的關系為

(11)

SMA升溫后形狀恢復的根本原因是溫度誘發SMA熱彈性馬氏體逆相變(宏觀上表現為形狀恢復)。筆者認為存在驅動響應的開始溫度Ts和結束溫度Tf，則在材料整體的升溫過程中，圓心角響應為

(12)

(13)

(14)

材料的最大應變發生在截面的最外側和最內側，通過截面應變原理得到截面產生的最大應變

(15)

本文中的SMA驅動器截面形狀是關于中性層對稱的正多邊形，因此可將應變的分布簡化成對稱分布，且應變大小與該點到中性層的距離成正比[20]。將截面受拉側的應變定義為正，受壓側截面的應變定義為負，故截面任意材料點的應變為

εi=y/R0

(16)

由此可以得到截面上任意位置處的應變，從而計算得到截面上的平均應變

(17)

式中，H1表示截面受拉區域；SH1為受拉側的面積。

同理可得受壓側產生的平均應變

(18)

式中，H2表示截面受壓區域；SH2為受壓側的面積。

在式(12)～式(14)的計算中使用截面平均應變代替截面最大應變更能體現截面形狀對應變分布和驅動響應的影響。

將式(13)、式(14)、式(17)、式(18)代入式(12)即可得到驅動過程的圓心角。根據驅動器曲率與彎矩的關系[21]，可得

(19)

進而得到彎矩

(20)

式中，Ei為驅動過程中材料的彈性模量；ISMA為SMA驅動器截面中性軸的慣性矩。

驅動過程中，彈性模量隨著馬氏體逆相變的發生而變化，而馬氏體的逆相變發生程度又與溫度有關，于是彈性模量可寫成

(21)

式中，EA、EM分別為奧氏體狀態下和馬氏體狀態下的彈性模量。

以上為一個彎曲單元響應的推導，實際驅動過程中，驅動器由多個驅動單元疊加而成，變形較為復雜，因此，若要分析復雜驅動器的響應，可以先將其分為多個彎曲單元，先分別分析驅動響應，再將各單元響應進行運動學疊加。

2 截面形狀影響研究及算例分析

研究中的截面形狀關于中性層對稱，但實際應用中的截面形狀多種多樣，本文通過增加內接多邊形的邊數來構造不同截面形狀的SMA驅動器，常見的截面形狀如圖5所示。

圖5 常見規則截面形狀Fig.5 Common regular cross-sectional shapes

現有的SMA絲自由恢復響應研究中，考慮截面形狀對響應情況影響的研究較少。本節首先通過前文提出的方法對不同截面形狀的平均應變進行分析計算。計算過程中，為簡化計算的流程，將不同截面形狀的驅動器質量m、電阻Ri、熱流面積A統一表達為

(22)

(23)

(24)

式中，n、L分別為截面正多邊形的邊數和SMA絲驅動器的長度。

為便于后期實驗觀測，SMA驅動器的初始尺寸設置相同，即驅動單元截面外接圓直徑為1.2 mm，長度為10π mm，初始圓心角為30°。截面上產生最大應變的位置為截面上離中性層最遠的點。計算可得不同截面形狀的平均應變，如表1所示。

表1 不同截面形狀平均應變情況Tab.1 Average strain of different cross-sectional shapes

將電流6A代入溫度響應模型可得溫度變化值，將溫度變化值和不同截面形狀的平均應變代入圓心角響應模型可得SMA驅動器圓心角的變化，如圖6所示。

圖6 不同截面圓心角響應情況Fig.6 Response of central angle of different sections

由表1和圖6可知，隨著邊數的增加，平均應變增加速率逐漸降低，平均應變趨于穩定，并且驅動器響應過程的差別也逐漸減小，因此，當邊數大于8時，截面的形狀對驅動過程的響應影響不明顯。由圖6可以看出，截面邊數增加時，響應將會變慢，因此，在其他條件滿足的情況下，減少材料截面邊數有利于提高響應速度。

響應速度的直接決定因素是驅動器自身溫度變化的速率，溫度變化速率取決于材料電阻，而驅動器的電阻取決于截面積、電阻率、驅動單元長度。本節中，驅動單元長度是固定不變的，SMA的電阻率隨馬氏體含量的降低而減小，因此，可以看到隨著驅動時間的延長，角度變化逐漸變慢。截面形狀是正多邊形且具有相同的外接圓，因此，隨著邊數的增加，其面積將會收斂，進而導致響應速度收斂。因此，要提高響應速度，可以在滿足功能要求的情況下減小截面邊數，進而增大電阻，達到提高響應速度的目的。值得注意的是，本文的研究工作只涉及一個驅動單元，若驅動器由多個單元組成，則將各個驅動單元的響應進行運動學疊加，從而得到整個驅動器的響應。

工程上最常見的截面形狀是圓形和方形。基于本文的建模分析方法，將材料參數代入響應方程，對這兩種截面形狀的SMA驅動器升溫自由恢復過程的驅動響應進行數值模擬。初始狀態下，SMA驅動器受外載荷作用而變形，彎曲部分截面上的應變可簡化成線性分布[18]，如圖7所示。

(a)方形截面在初始外載荷下變形 (b)方形截面應變分布

(c)圓形截面在初始外載荷下變形 (d)圓形截面應變分布圖7 初始外載荷下截面的變形和應變分布Fig.7 Deformation and strain distribution of cross-sections with initial external load

將截面形狀特征代入應變表達式，得到方形截面的平均應變

(25)

和圓形截面的平均應變

(26)

式中，下標f表示方形截面；下標y表示圓形截面。

值得注意的是，本算例分析中截面外接圓直徑為1.2 mm，長度為10π mm，初始圓心角為30°，驅動電流為6 A，將材料參數代入式(6)，計算得到溫度變化，繪制溫度響應曲線，如圖8所示。

圖8 截面的溫度響應Fig.8 Temperature response of cross-sections

將上述隨時間變化的溫度響應值和材料參數代入式(12)～式(14)，得到溫升過程中的圓心角響應情況，如圖9所示。

圖9 截面的圓心角響應Fig.9 Central angle response of cross-sections

將式(25)、式(26)分別代入式(20)，得到截面彎矩的變化，繪制彎矩響應曲線，如圖10所示。本文中的材料參數如表2所示。

圖10 截面的彎矩響應Fig.10 Bending moment response of cross-sections

表2 材料參數Tab.2 Material parameters

3 溫控SMA絲彎曲驅動性能測試

本文所采用的材料是江陰法爾勝佩爾新材料科技有限公司提供的直徑1.2 mm的黑面態形狀記憶合金絲。為研究該材料的驅動響應需在常溫下先施加外力、產生預變形，任初始狀態和算例分析初始情況一致。

首先截取110 mm的驅動絲，隨后在中間連接導線，導線有效作用長度是10π mm。驅動絲通過外力預處理成半徑60 mm、圓心角30°的圓弧。

夾頭與驅動絲由銅線連接以減小外載荷對驅動過程的影響。驅動過程中，采用攝像機拍攝SMA絲驅動過程，部分視頻截圖見圖11。

圖11 不同時刻驅動響應Fig.11 Drive response at different times

驅動絲中間沒有安裝固定裝置，因此，驅動過程中，驅動絲與紙面的摩擦力會對展開過程驅動絲的位置和形態產生一定程度的影響，導致兩輔助垂線不具有與初始位置一樣的完全對稱分布，但該影響較小，可以忽略。10 s、12 s、14 s的輔助垂線在圖像窗口外，故通過做輔助線來獲取角度，圖中虛線平行于下方的垂線。

由圖12可以看出，理論值與實驗值的趨勢相同，但引入動態修正能明顯提高模型的準確性。實驗響應曲線存在滯后，其產生原因有：①與驅動絲相連接的銅線質量對驅動絲角度的變化有一定程度的阻礙作用；②形狀記憶合金材料的溫度滯后特性。

圖12 驅動響應的實驗結果與模型計算結果Fig.12 Test results and model calculation results of actuating response

4 結論

(1)基于傳熱學的經典能量方程與驅動幾何關系，建立了溫控形狀記憶合金驅動器的驅動響應模型。該模型通過線性化處理溫升過程中材料的馬氏體體積分數來動態修正形狀記憶合金的電阻、彈性模量等受溫度影響的參數，并將修正前后的驅動響應模型數據與實際角度驅動實驗的數據繪圖進行比較。研究發現，角度完全恢復時的時間誤差最大；最大時間誤差由未引入動態修正模型的3.8s降低至引入動態修正后的1.8 s，提高了模型的精度。

(2)分析了截面形狀對驅動響應的影響。本文采用的截面平均應變可以更加準確地描述整個截面的應變。截面邊數小于8時，通過減小邊數可以提高響應速度；邊數大于8時，截面形狀對響應速度的影響較小。

(3)本文搭建了溫控SMA絲彎曲驅動性能測試實驗平臺，基于該平臺測試了6A電流驅動下，直徑1.2 mm、長度10π mm、初始圓心角30°的溫控SMA絲圓心角響應，響應模型可較為準確地對驅動過程進行描述。

后續將繼續深入研究如下問題：①溫度梯度對微尺寸驅動器的影響；②采用基于熱力學的本構模型描述馬氏體的體積分數，獲得更加精準的結果；③截面形狀與驅動行為的關系；④驅動器有負載或者負載不可忽略時，需要引入平衡方程，獲得結構整體的響應情況。