雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的IMMPDA滑模同步控制研究

付炳臻

（遼寧機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 丹東 118009）

雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)是一種特殊的笛卡爾結(jié)構(gòu)，其機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性高，廣泛應(yīng)用于精密測(cè)量、數(shù)控加工等領(lǐng)域[1]。該平臺(tái)在平行方向上分別安裝了一臺(tái)永磁直線電機(jī)，并推動(dòng)橫軸進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，其具有行程大、驅(qū)動(dòng)力大、負(fù)載高等優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在高精度的位置同步誤差，導(dǎo)致加工精度低[2]。基于此，本文以直線電機(jī)雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象，對(duì)高精度工況下雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型與同步控制等方面展開(kāi)研究。提高雙直線電機(jī)加工精度的方法有卡爾曼濾波、迭代學(xué)習(xí)控制等，但卡爾曼濾波只針對(duì)單軸控制，并不能實(shí)現(xiàn)雙軸同時(shí)控制[3]；迭代學(xué)習(xí)控制則收斂速度慢，很難在有限的時(shí)間內(nèi)將誤差收斂為0[4]。因此，本文提出了一種雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的IMMPDA滑模控制器，該控制器不僅具有同時(shí)性，而且具有一定的收斂特性，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出的控制方法是有效可行的。

1 雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)數(shù)學(xué)建模

通過(guò)分析永磁直線電機(jī)工作原理[5-10]，得出雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的平行軸的電磁推力和機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程分別為：

式中，Kfi是電磁推力系數(shù)；iqi是q軸電流；npi是磁極對(duì)數(shù)；λPMi是永磁體磁鏈；τi是極距；下標(biāo)i=1或2，表示雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的兩個(gè)平行軸。

根據(jù)式（1）的電磁推力，PMLSM機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中，Mi為動(dòng)子總質(zhì)量；vi為動(dòng)子速度；Bi為粘滯摩擦系數(shù)；Fi為擾動(dòng)，包括電極端部效應(yīng)、參數(shù)變化、系統(tǒng)外界擾動(dòng)及非線性摩擦力等。

由式（1）和式（3）可得，理想狀態(tài)下的雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的單軸動(dòng)態(tài)方程為：

式中，yi(t)為動(dòng)子位置；Ani=-Di/Mi，Bni=Kfi/Mi，Cni=-1/Mi；ui為控制器輸出，ui=iqi，即q軸電流。在考慮各種因素干擾存在時(shí)，式（4）的動(dòng)態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

式中，ΔAi、ΔBi和ΔCi為系統(tǒng)參數(shù)Mi和Di所引起的不確定量。

Hi為系統(tǒng)不確定性的總和，表示為：

這里假設(shè)Hi有界，即|Hi|≤ρ，ρ為正常數(shù)。

2 IMMPDA算法流程

為增強(qiáng)雙軸永磁直線電機(jī)的同步性，采用如下模型實(shí)現(xiàn)交互過(guò)程。交互混合概率為：

式中，i,j=1,2。歸一化因子為：

k-1時(shí)刻交互后的初始第j個(gè)模型的最優(yōu)估計(jì)和協(xié)方差分別為：

式中，k代表當(dāng)前時(shí)刻，k-1代表上一時(shí)刻。

濾波過(guò)程為：

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)誤差自相關(guān)矩陣為：

式中，W為濾波增益；r為預(yù)測(cè)位置誤差；Q為新息矩陣。

誤差自相關(guān)矩陣為：

式中，S為新息協(xié)方差矩陣。

預(yù)測(cè)位置誤差為：根據(jù)預(yù)測(cè)的狀態(tài)量計(jì)算對(duì)應(yīng)的觀測(cè)量為：式中，H為觀測(cè)矩陣。

計(jì)算新息協(xié)方差矩陣為：

式中，R為觀測(cè)協(xié)方差矩陣。

計(jì)算增益為：

正態(tài)分布函數(shù)為：

第j個(gè)模型發(fā)生的概率為：

根據(jù)上述公式，得出k時(shí)刻的位置輸出和斜方差表達(dá)式分別為：

3 滑模控制器設(shè)計(jì)

在雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的系統(tǒng)中[11-15]，考慮到兩平行軸間的位置同步誤差，首先定義位置同步誤差及其導(dǎo)數(shù)為：

式中，ym(k)為理想的位置信號(hào)；i=1,2，代表平臺(tái)的兩個(gè)軸。

設(shè)計(jì)滑模函數(shù)為：

式中，c＞0。定義Lyapunov函數(shù)為：

則：

且：

則：

從控制率的表達(dá)式可知，當(dāng)干擾Hi較大時(shí)，為了保證魯棒性，必須保證足夠大的干擾上界。

4 仿真實(shí)驗(yàn)和分析

PMLSM的推力系數(shù)K=15.8 N/A，定子電阻參數(shù)R=2.5 Ω，動(dòng)子質(zhì)量M=8.2 kg，粘滯摩擦系數(shù)D=4 N·s/m。采用MATLAB/Simulink搭建控制算法模型以及平臺(tái)模型，并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。為了驗(yàn)證所提出的控制策略的有效性，對(duì)比只加滑模控制器的位置同步誤差效果和系統(tǒng)在加入干擾后所影響的程度。在仿真中輸入的位置響應(yīng)為ym=0.06sin(πt)m的正弦信號(hào)，由此驗(yàn)證所提出的IMMPDA滑模控制器可以有效地提高位置同步的誤差精度。

為了描述更加具體，將雙軸分別用Y1軸和Y2軸表示。在未加任何控制器的時(shí)候，Y1軸與Y2軸位置同步誤差如圖1所示。由圖1可以看出，誤差非常高，還沒(méi)有達(dá)到加工出精密器件的標(biāo)準(zhǔn)。

圖1 未加控制的雙軸同步誤差

在只加滑模控制器的情況下，在2 s時(shí)突加額定負(fù)載FL=65 N，Y1軸與Y2軸位置同步誤差如圖2所示。由圖2可以看出，誤差基本接近于0，并且在受到干擾后，同步誤差恢復(fù)時(shí)間只需要0.02 s左右。

圖2 滑模控制器下的雙軸同步誤差

加入IMMPDA滑模控制器后，在2 s時(shí)突加額定負(fù)載FL=65 N，Y1軸與Y2軸位置同步誤差如圖3所示。由圖3可以看出，在施加相同負(fù)載時(shí)，位置同步

圖3 IMMPDA滑模控制器下的雙軸同步誤差

為了保證(t)＜0，設(shè)計(jì)滑模控制率為：誤差由1.1×10-5m減小到了2.8×10-6m。

根據(jù)圖1、圖2和圖3可知，IMMPDA滑模控制可以有效提高雙軸同步誤差精度，并且在受到干擾后縮短了恢復(fù)時(shí)間。

5 總結(jié)

本文首先對(duì)雙軸精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行建模，其次對(duì)位置控制器采用IMMPDA進(jìn)行濾波，并用滑模控制器對(duì)其進(jìn)行控制，經(jīng)過(guò)仿真分析得出，該控制方法提高了同步誤差精度，并且在誤差收斂速度上得到了顯著提升，提高了系統(tǒng)的魯棒性，削弱了外界擾動(dòng)等不確定因素對(duì)系統(tǒng)的影響。