生活中的一次函數應用

古作軍

在日常生活中，我們經常會遇到很多關于一次函數的問題情境。解決這類問題時，我們首先要把實際問題抽象為數學問題，分析其中的數量關系，然后建立一次函數的數學模型，最后用一次函數的相關性質解決實際問題。

一、利潤問題

例1 新冠疫情暴發以來，口罩成為需求最為迫切的防護物資。某商場欲購進A、B兩種型號的口罩共50箱，兩種口罩每箱的進價和售價如下表所示。設購進A種型號口罩x箱（x為正整數），且所購進的兩種型號的口罩能全部賣出，獲得的總利潤為w元。

（1）設商場購進B型號口罩y箱，直接寫出y與x的函數表達式；

（2）求總利潤w關于x的函數表達式；

（3）如果購進兩種口罩的總費用不超過2100元，那么該商場如何進貨才能獲利最多？并求出最大利潤。

【解析】（1）略。（2）根據總利潤=單個利潤×數量，我們就可以表示出w與x之間的表達式：w=（61-51）x+（43-36）（50-x）=3x+350。（3）由題意，得51x+36（50-x）≤2100，解得 x≤20。我們再根據一次函數的性質，可求出當x=20時，w最大值=3×20+350=410（元），此時購進B種型號的口罩50-20=30（箱）。

二、行程問題

例2 疫情期間，某志愿者組織籌集兩車物資送往疫情嚴重地區。圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩車所走的路程y甲（千米）、y乙（千米）與時間x（小時）之間的函數關系對應的圖像。請根據圖像所提供的信息，解決下列問題：

（1）由于汽車發生故障，甲車在途中停留了____________小時；

（2）甲車排除故障后，立即提速趕往目的地。請問甲車在排除故障時，距出發點的路程是多少千米？

（3）為了保證及時聯絡，甲、乙兩車在第一次相遇時約定，此后兩車之間的路程不超過45千米。請通過計算說明，圖1所表示的走法是否符合約定。

【解析】（1）觀察圖像，我們能發現AB段即為甲車停留時間，為6-4=2（小時）。

（2）甲車在排除故障前，距離出發點的路程即為B點縱坐標。OD 的表達式是y乙=60x，由此可求得E（7，420）。因為C（[385]，480），所以BC段的函數表達式是y=100x-280，則當x=6時，y=320。

（3）結合函數圖像可知，甲、乙兩車第一次相遇后在點B或點C處相距最遠。

在點B處，y乙-y甲=60×6-320=40（千米）＜45（千米）；在點C處，y甲-y乙=480-60×[385]=24（千米）＜45（千米）。所以，走法符合約定。

三、方案選擇問題

例3 某班級45名同學自發籌集到1700元資金，用于初中畢業時各項活動的經費，計劃用資金給每名同學購買一件文化衫或一本制作精美的相冊作為紀念品。已知每件文化衫28元，每本相冊20元。設購買的文化衫件數為x（x為非負整數）。

（1）根據題意，填寫下表：

（2）設購買文化衫和相冊所需費用共w元，求w與購買的文化衫件數x的函數表達式；

（3）通過商議，同學們決定拿出不少于540元但不超過570元的資金用于請專業人士拍照，其余則用于購買文化衫和相冊。購買文化衫和相冊有哪幾種方案？為使拍照的資金更充足，應選擇哪種方案？并說明理由。

【解析】（1）根據題意進行計算，故答案為：①280，②700，③840，④300。（2）當購買文化衫x件時，購買相冊（45-x）本，則總費用可表示為w=28x+20（45-x）=8x+900。（3）根據照相資金不少于540元但不超過570元的要求，列出不等式組：

[8x+900≥1700-570，8x+900≤1700-540。]

解得28[34]≤x≤32[12]。根據實際情況，x得為整數，∴x=29、30、31、32，從而確定購買方案，再利用函數增減性確定最終方案，當x=29時，w最小=1132。

（作者單位：南京師范大學第二附屬初級中學）