積木規(guī)律

陳曦

今天是家里的收納整理日，媽媽下定決心要整理陳多多小時候的玩具。“收拾整理出來送給其他小寶寶。”媽媽一早就下達(dá)了命令，陳多多不敢抗命。

接近中午，姐姐走進(jìn)陳多多的房間，看見陳多多居然在玩小時候的積木。她心血來潮，決定考一考陳多多。她找來8個積木，2個紅色、2個藍(lán)色、2個綠色、2個黃色，向陳多多提出排列要求：

2個紅色積木之間只能放1個其他顏色的積木；

2個藍(lán)色積木之間必須放2個其他顏色的積木；

2個綠色積木之間必須放3個其他顏色的積木；

2個黃色積木之間必須放4個其他顏色的積木。

陳多多心想，那我就從第一個條件開始試一試吧。

如果2個紅色積木之間放黃色積木，那么2個黃色積木之間還能放3個其他顏色的積木，只能從藍(lán)色積木和綠色積木中選擇，這樣2個綠色積木之間就無法滿足排列要求了。

所以2個紅色積木之間不能放黃色積木。

如果2個紅色積木之間放1個藍(lán)色積木構(gòu)成1個積木組，那么有1個黃色積木只能放在積木組的左邊。這樣還剩下2個綠色積木和1個藍(lán)色積木，繼續(xù)擺放的話可以滿足第二個條件，但是滿足不了第三個條件。

所以，2個紅色積木之間只能放綠色積木，如下圖所示。

2個黃色積木之間還需要放1個藍(lán)色積木，放綠色積木就滿足不了第三個條件。

所以，剩下的積木就可以排列成下圖的樣子。這樣排列就滿足了姐姐提出的排列要求。

姐姐對陳多多豎起大拇指，說：“沒錯，你答對了。這個問題被人們稱為‘蘭福德問題，是一位叫杜德利·蘭福德的蘇格蘭數(shù)學(xué)家在觀察年幼的兒子玩彩色積木后提出的。而且他發(fā)現(xiàn)符合要求的排列是唯一的，以8個4種顏色的積木為例，有兩種排列形式。

但在數(shù)學(xué)家眼里，這兩種排列形式僅是觀看的順序不同，而沒有本質(zhì)上的差別，所以問題的答案可以認(rèn)為是唯一的。

陳多多思考了一會兒，說：“那有沒有什么規(guī)律呢？”

姐姐說：“其實‘2個紅色積木之間只能放1個其他顏色的積木這個條件，屬于‘極端情況的一種。你從這個條件入手，就是一種解題規(guī)律。當(dāng)遇到難題時，‘極端情況往往就是解題的突破口。從‘極端情況入手，有助于打開解題思路，解題就會變得相對容易一些。當(dāng)然，你還可以從‘2個黃色積木之間必須放4個其他顏色的積木這個條件入手，但解題過程會變得非常復(fù)雜。”

陳多多感嘆道：“上次是吃比薩，這次是搭積木，數(shù)學(xué)家的眼里處處都是數(shù)學(xué)問題。”

姐姐問：“如果問題增加難度，有10個積木，5種不同的顏色，延續(xù)這樣的排列要求，并增加第5個條件：2個新的積木之間必須放5個其他顏色的積木。你覺得該怎么排列呢？”

陳多多翻箱倒柜，又找到了一對黑色積木，一個人在房間里倒騰了很久，直到聽到房門外傳來媽媽的聲音：“陳多多，你收拾好了嗎？”

陳多多這才恍然驚醒：研究了一下午的積木，忘了收拾，這可怎么辦？

他聽見姐姐在門外對媽媽說：“陳多多可能又愛上玩積木了吧。”

陳多多無奈地?fù)狭藫项^：“5種顏色太難了。”

數(shù)學(xué)家蘭福德早就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)積木顏色的種類是4的倍數(shù)或是4的倍數(shù)減1時，這類問題才有解。陳多多要是知道了蘭福德的故事，一定會和他姐姐抗議一番，因為10個積木只有5種不同的顏色，在這種情況下是無解的。但不得不說，陳多多已經(jīng)學(xué)會了數(shù)學(xué)家的解題思路，那就是從“極端情況”入手分析問題。