開展探究式教學(xué) 提升整體性認知
——以“平行四邊形的判定”教學(xué)設(shè)計為例

深圳市寶安區(qū)海樂實驗學(xué)校 高 宇

廣東省深圳市教科院舉辦的數(shù)學(xué)教研活動中，筆者有幸執(zhí)教北師大版八年級下冊“平行四邊形的判定” 第一課時，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)實錄與大家分享.

1 教材分析

學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)容，三角形的研究方法和研究路徑為四邊形的學(xué)習(xí)奠定了理論基礎(chǔ)，找準了研究方向,同時滲透了類比、轉(zhuǎn)化、化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力和圖形遷移能力.

平行四邊形的判定既是對前面所學(xué)平行線、三角形和平行四邊形等相關(guān)知識的運用和深化，也為后面學(xué)習(xí)特殊平行四邊形積累了基本活動經(jīng)驗.

2 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)有了三角形、平行四邊形定義和性質(zhì)的知識儲備，經(jīng)歷了從一般到特殊、從定義到性質(zhì)到判定再到應(yīng)用的探究過程.學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形、直角三角形中積累了幾何圖形判定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，但學(xué)生思維的嚴密性和邏輯性還不夠.因此在教學(xué)過程中，教師需要做好引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生進行合作學(xué)習(xí)和自主探究，從而讓學(xué)生通過實驗、猜想、驗證發(fā)現(xiàn)平行四邊形判定定理，進一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力.

3 教學(xué)目標

(1)掌握平行四邊形的判定定理，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、空間觀念，幾何直觀；

(2)通過剪、拼的方法探索平行四邊形的判定條件，在實踐探究活動中將幾何直觀和簡單推理相結(jié)合，發(fā)展推理能力；

(3)滲透類比、化歸、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，提升表達交流能力、分析問題和解決問題的能力，體驗成功的喜悅，增強自信心.

4 教學(xué)重難點

重點：探索并證明平行四邊形判定定理.

難點：平行四邊形判定定理的應(yīng)用.

5 教學(xué)過程設(shè)計

教科書設(shè)計了用細木條拼擺平行四邊形的情境，兩個判定定理的探究情境雖然都用到了細木條，但不是同一個情境，而且每個情境都只是呈現(xiàn)了判定定理的已知條件，并沒有提供由已知條件到結(jié)論的思路來源.

實際教學(xué)中，很多教師忽略了通過探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程，而是根據(jù)定理之間呈現(xiàn)互逆性這一普遍規(guī)律，直接帶領(lǐng)學(xué)生走上了驗證平行四邊形逆命題的道路，從而將學(xué)生的思維限定在性質(zhì)定理上.

《教師教學(xué)用書》也建議創(chuàng)設(shè)更現(xiàn)實、更有趣的問題情境，讓學(xué)生進行自主探索，通過探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，得出猜想，然后再進行證明，從而讓學(xué)生體會到證明活動是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展.

5.1 情境導(dǎo)入，自主探究

探究活動1：如圖1，首先畫出一個平行四邊形，沿著對角線把它剪成兩個三角形，能否把這兩個三角形拼成不同的平行四邊形？

圖1

教學(xué)說明：學(xué)生通過剪、拼活動直觀感知，平行四邊形的研究總是利用到三角形的知識.事實上，平行四邊形可以看作是由兩個全等三角形的相等邊重合在一起構(gòu)成的，為后續(xù)證明平行四邊形的判定定理找準路徑、提供方法.

學(xué)生在動手拼圖前，學(xué)生因此會聯(lián)想回顧平行四邊形的性質(zhì)，由平行四邊形邊的性質(zhì)尋找兩個三角形相等的邊.從拼圖中自然聯(lián)想到性質(zhì)，用學(xué)過的知識作為解決問題的引擎，在探究活動中復(fù)習(xí)以前學(xué)過的概念，比直接提問效果更好.

5.2 循序漸進，發(fā)現(xiàn)問題

問題1根據(jù)研究等腰三角形和直角三角形的經(jīng)驗知道，定義是探索判定的起點，驗證判定定理最終都是要回歸到定義，這種轉(zhuǎn)化的思想在幾何圖形的探究中一以貫之.平行四邊形的判定要研究的問題是什么？

教學(xué)說明：教師啟發(fā)學(xué)生溫顧過往學(xué)習(xí)幾何圖形的研究路徑和經(jīng)驗，“明晰判定定理要探究的問題是一個四邊形具備怎樣的條件就可以推出它的兩組對邊分別平行”[1]， 驗證平行四邊形的判定條件最終都是要回歸到平行四邊形的定義.

面對圖2中兩個新四邊形，學(xué)生自然好奇四邊形的邊之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生進一步探索的欲望.

圖2

5.3 觀察分析，提出猜想

問題2從等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定之間的邏輯關(guān)系，看性質(zhì)和判定有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系，平行四邊形的判定定理是什么？你能證明嗎？

教學(xué)說明：在四邊形的學(xué)習(xí)過程中，深化幾何圖形的基本路徑“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”，利用判定與性質(zhì)的邏輯關(guān)系，通過探索性質(zhì)定理的逆命題是否成立而得出判定定理.

5.4 邏輯推理，證明猜想

平行四邊形判定定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

很多學(xué)生在推理驗證過程中連接四邊形ABCD的對角線AC或BD，這樣四邊形的問題就轉(zhuǎn)化為三角形的問題.在剪拼活動中學(xué)生已經(jīng)有了直觀感受，再利用三角形的全等回歸到平行四邊形的定義，從而判定定理得證.從探究到驗證前后一致，借助幾何直觀，發(fā)展了學(xué)生推理意識，讓學(xué)生的在數(shù)學(xué)課堂中感受行而知之，知行合一.

探究活動2：對于四邊形ABCD,給出①AB∥CD，②AD∥CB，③AB=CD，④AD=CB四個條件.其中①和② 構(gòu)成平行四邊形定義的條件組合， ③和④構(gòu)成判定定理1的條件組合.

問題3回顧兩個三角形全等判定定理的探究經(jīng)驗，思考判定一個四邊形是平行四邊形至少需要幾個條件？引導(dǎo)學(xué)生寫出其他的組合情況.

教學(xué)說明：七年級下學(xué)期探索三角形全等的條件運用了分類討論思想，從1個條件逐步增加條件的數(shù)量進行分析.學(xué)生積累的幾何學(xué)習(xí)經(jīng)驗為探究活動2奠定了基礎(chǔ).判定一個四邊形是平行四邊形至少需要兩個條件，而四個條件共有6種組合形式，除了構(gòu)成定義和判定定理1的兩種組合，剩余4種又可以分為“一組對邊平行，另一組對邊相等”“一組對邊平行且相等”這兩類.對于命題“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形”，引導(dǎo)學(xué)生首先嘗試舉例驗證進行直接猜想，容易舉出等腰梯形作為命題不成立的反例.而命題“一組對邊平行且相等的四邊形”，學(xué)生無法列舉該命題不成立的反例，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)之前積累的探究經(jīng)驗，通過證明三角形全等進行驗證，從而得到平行四邊形的判定定理2.至此，兩個判定定理經(jīng)過實驗、猜想、驗證的基本幾何路徑進入運用階段.

5.5 應(yīng)用創(chuàng)新，解決問題

例1如圖3，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點.

求證：四邊形AECF是平行四邊形.

圖3

變式1如果將例1中“點E，F(xiàn)分別在BC，AD的中點”改為“點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且BE=DF”，那么結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

變式2如果將例1中“點E，F(xiàn)分別在BC，AD的中點”改為“線段AE，F(xiàn)C分別是∠BAD，∠BCD的角平分線”，那么結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

教學(xué)說明：例1是對平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.在條件不變的情況下，根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的兩個判定定理探求一題多解.改變題目條件的情況下，通過漸進式的拓展探求一題多變.一題多解、一題多變有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度.

例2由兩個完全相等的三角尺可以拼成幾個平行四邊形？請說出理由.

設(shè)計意圖：此題是根據(jù)探究活動1改編而成，兩個完全相等的三角尺可以看作是由一個平行四邊形沿對角線剪出的兩個全等三角形，從而讓學(xué)生在實踐活動中提升學(xué)科核心素養(yǎng).

5.6 布置作業(yè).

選取教材相關(guān)習(xí)題作為本課時作業(yè)，略.

6 教學(xué)反思

本節(jié)課以探究活動的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“實驗—猜想—驗證—運用”的幾何研究方法.“研究判定，就是在探索‘兩組對邊分別平行’的等價條件的指引下，利用‘判定’與‘性質(zhì)’的邏輯關(guān)系，通過探索性質(zhì)定理的逆命題是否成立而得出判定定理.”[1]從研究幾何方法和路徑來講，四邊形和三角形有著很大的相似性，但是單憑三角形的學(xué)習(xí)很難讓學(xué)生建立起對幾何圖形的整體認知，而四邊形的學(xué)習(xí)實現(xiàn)了三角形和四邊形的有效融合，形成了幾何思維和能力的遷移.

構(gòu)建關(guān)于幾何圖形的整體性認知結(jié)構(gòu)，突破平面幾何圖形的界限，是學(xué)生形成和發(fā)展系統(tǒng)性思維的“腳手架”，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng)的必經(jīng)途徑.

因此，教師在幾何教學(xué)中應(yīng)當引領(lǐng)學(xué)生把知識縱向鏈接起來，形成幾何整體性思維的認知框架，為核心素養(yǎng)切實有效的落實提供有力踐行渠道.