“實數”單元作業的設計、反饋與優化*

浙江省杭州市余杭區閑林中學 楊淑萍 程龍軍

數學單元作業的主要功能在于鞏固知識、診斷教學、學科育人.審視當下的單元作業，往往是只呼應一些低層次機械訓練的作業目標，過度關注知識和技能的鞏固，缺少對應于高階思維和應用性的作業設計.這就需要我們在關注課程目標的同時，發揮數學作業的應有功能，適當增加創新性作業設計，助力課程目標的整體實現.為此，本文中以浙教版七年級上冊“實數”單元作業設計為例進行說明.

1 作業目標

本章共分四個小節，主要內容包括數的開方、平方根、立方根、實數及其運算.其中，平方根與立方根屬于核心概念.從操作意義上看，根號作為一個過程可以代表運算符號；從結構意義上看，它作為一個對象又可以代表運算的結果.與加減乘除運算相比，其概念抽象難懂，在處理具體問題時易混淆根號的過程性和結構性.基于此，在參考《義務教育數學課程標準》的基礎上，作業目標可以適當增加抽象概念理解的相關內容.具體作業目標如下：

(1)加深對平方根、算術平方根、立方根、無理數、實數等概念的理解，知道開平方與平方、開立方與立方互為逆運算，實數與數軸上點的一一對應關系；

(2)會準確表示和計算一個數的平方根和立方根，能進行簡單的實數四則運算，會估算一個無理數的范圍，會求實數的相反數與絕對值；

(3)通過解決實際問題發展數感和符號意識，體會數形結合和分類討論思想.

2 設計思路

為適應不同學生的學力水平，滿足個性化的需求，作業設置分為回顧、強化、提升和應用四個層次.回顧環節幫助學生梳理知識點，形成知識結構；強化環節針對開平方和開立方運算進行專項訓練，為后續學習二次根式的內容奠定基礎；提升環節則綜合多個知識點，考查學生分析和解決問題的能力；應用環節結合生活中的實際問題，使學生感受學習相關知識的必要性和應用價值，發展學生的應用意識和創造性思維.

3 初次設計及反饋

3.1 回顧

(1)下列說法錯誤的是( ).

A.無理數就是無限不循環小數

B.算術平方根等于本身的數是0和1

C.正數，0，負數都有立方根

D.因為3的平方是9，所以9的平方根是3

(2)填寫表1：(不能開方的數寫“無”，開不盡方的數保留根號.)

表1

(3)把下列各數填在相應的橫線上：

有理數：

.

無理數：

.

(4)將下列各數近似地表示在數軸上，并用“<”表示.

設計意圖：第(1)(2)兩題引導學生回顧平方根、算術平方根、立方根的概念以及性質，題中既包括了正數、負數和0，也包括了分數，目的是使學生對概念有全面的理解，同時也考查簡單的開方計算.第(3)題考查了實數的概念與分類，重點讓學生認清與π相關的數、開方開不盡的數、有規律但不循環的數這三類無理數.第(4)題考查了實數的大小比較和開立方運算，了解實數與數軸上點的一一對應關系，感受數形結合思想.

3.2 強化

設計意圖：開方運算可為后續學習二次根式奠定重要基礎.第①②小題強化考查平方根、算術平方根、立方根的計算；第③小題則考查學生對開方運算與乘方運算互逆關系的深刻理解；第④小題是較復雜的混合運算，需要運用乘法分配律以及計算器求無理數的近似值.

3.3 提升

圖1

(7)如圖1，每個小方格的邊長為1個單位長度，則陰影正方形的面積是，邊長是.

設計意圖：第(6)題難度增大，綜合了絕對值和算術平方根的概念、實數的加減運算以及分類討論等多個知識點.第(7)題結合實際問題考查了面積法和開平方運算，強化了符號語言、文字語言和圖形語言的相互轉化，引領學生借助數形結合，直觀感受無理數的大小和客觀存在，克服理解數在擴展過程中的抽象性困難.第(8)題是新定義問題，涉及的知識點是夾逼法估算無理數和負數的大小比較.

3.4 應用

(9)小實同學手中有一塊長方形紙板和一塊正方形紙板，其中長方形紙板的長為3 dm，寬為2 dm，且兩塊紙板的面積相等.

①求正方形紙板的邊長(結果保留根號)；

(10)小實手上有三張卡片，分別印有1，-125,196，請你從中抽出兩張卡片，并以卡片中的數設計一個算式，要求算式中至少包括開方運算，且滿足下列要求.

①結果為有理數：

.

②結果為無理數：

.

設計意圖：本環節的兩個問題基于開放性、探究性和趣味性的原則進行設計.第(9)題需要運用無理數處理實際問題，考查學生動手畫圖能力和對無理數的估算能力，培養數感和以形助數的意識.第(10)題兼具開放題和趣味性，借助“抽卡片”游戲考查學生對開方運算的理解.

4 思考及優化

4.1 初次作業設計的思考

本次作業經課后統計，50%的學生在25分鐘內完成，82%的學生在30分鐘內完成.從反饋分析來看，此次作業量雖然符合作業要求，但部分試題難易不均、功能重疊，編排順序也不夠合理，因此進行如下思考與改進.

首先，回顧知識，厘清結構.設計作業時，需要注重單元知識間的相互聯系，對教學內容進行結構化處理，幫助學生形成良好的認知結構.只有從單元整體上考慮作業設計、分析及評價，強調關聯性，才能真正體現“整體架構”.縱觀上述設計，缺少了一個梳理知識的結構化問題.

其次，基本概念，學深悟透.平方根和立方根的概念既是重點也是難點，從反饋的問題來看，學生對根號的認識不夠清晰，不理解根號既表示開方運算也表示運算結果，以及在何種情況下表示運算而又在何種情況下表示結果.因此，對原第(1)題進行替換以加強學生對根號的理解.

再次，分層設計，優化細節.分層設計和循序漸進是作業設計的重要原則.第(6)題的知識點綜合性強且錯誤率高，故將其與第(7)題調整順序；第(10)題與第(9)題功能重疊，且思維含量不高，予以刪除.

最后，降低難度，突出重點.強化訓練是掌握數學知識的有效方法，但需要做到少而精，一味脫離對概念的理解而單純搞題海戰術，容易催生學生對作業倦怠，影響學生的學習興趣.第(5)題中的③④小題運算難度較大，故進行替換以鞏固實數運算的順序和符號問題；第(8)題需要區分負數的整數部分和小數部分，還涉及負數的大小比較，對學生的理解和綜合能力要求較高，也超出了課標要求，予以刪除.

4.2初次作業設計的優化

4.2.1 回顧

(1)如圖2，完善以下知識結構圖：

(2)下列選項正確的是( ).

(3)填表(如前表1)：(不能開方的數寫“無”，開不盡方的數保留根號.)

(4)把下列各數填在相應的橫線上：

有理數：

.

無理數：

.

(5)將下列各數近似地表示在數軸上，并用“<”表示.

4.2.2提升

(7)如圖1，每個小方格的邊長為1個單位長度，則陰影正方形的面積是，邊長是.

4.2.3 應用

(9)小實同學手中有一塊長方形紙板和一塊正方形紙板，其中長方形紙板的長為3 dm，寬為2 dm，且兩塊紙板的面積相等.

①求正方形紙板的邊長(結果保留根號)；

5 幾點建議

(1)問題設計的指向性

為了保證教學評的一致性,問題的設計需要與作業目標一致，教師需要細致分析相關知識點再進行精準設計，確立好作業內容后，依據目標逐條分析二者的對應情況，也可以做一些數據的分析和統計，進而對作業設計的內容乃至作業目標本身進行適當的調整.問題的設計還需要與課程標準倡導的“四基”相聯系，既要指向基礎知識和基本技能，也要指向基本思想方法和基本活動經驗.此外，還要重視作業與課堂教學內容的緊密結合，既要面面俱到，又要杜絕知識點的簡單重復，力求指向學習重點，充分發揮作業鞏固知識和診斷的教學功能.

(2)問題序列的層次性

作業設計需要考慮不同學生的個性化學習需求，既要鞏固基礎，讓學生感受學習的樂趣，也要提升和應用，讓學生對知識有更深層次的思考.本單元作業設計了回顧、強化、提升和應用四個層次，難度由淺入深，尊重了學生的個體差異.回顧部分指向基礎知識和基本技能，要求所有學生都要掌握，這也是課程標準的基本要求；提升部分強調知識的綜合運用，要求中等生和學優生會做；應用部分對學生的理解和應用能力要求較高，學生可根據自身實際能力選做.

(3)問題設計的創新性

王月芬博士指出，作業類型的多樣化有助于提髙學生的作業興趣，減輕作業壓力，同時對提高學生學業成績也存在較明顯的相關性.因此，數學作業類型和作業功能需要創新，由傳統的只重視雙基訓練向重視綜合能力的培養轉變，充分發揮數學開放題、變式題、探究題以及綜合實踐題的育人功能.通過開放題培養學生思維的發散性，拓展思維空間；通過變式題引導學生遷移運用，完善知識體系；通過探究題培養學生思維的深刻性，感受數學之美；通過實踐題體會數學與生活的密切聯系和多樣的學習方式，培養學生積極思考和主動探索的精神.