喚醒結構意識 探尋生長路徑*
——以圓“垂徑定理”的結構化教學設計為例

南京市教學研究 王紅兵 南京市鼓樓區教師發展中心 諸士金

“知識結構化才能形成能力，就像散落在地面上的珍珠顯示不出它特有的價值一樣，只有將散落的珍珠用線串成珍珠鏈才能讓她大放異彩、身價倍增.”[1]因此，從數學知識的教學角度來說，教師首先要對教學內容有一個整體的把握，進而利用結構化的思想去設計教學過程，幫助學生厘清知識結構，促進其知識結構化，逐漸形成數學知識的系統觀.這一過程有利于學生自主建立深刻和清晰的學習路徑，形成科學的學習方法和理性精神.下面以“圓”中“垂徑定理”的內容為素材進行結構化教學設計和分析.

1 垂徑定理的結構化特征分析

垂徑定理是圓的重要性質，是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關系的重要依據，同時也為與圓有關的其他計算、證明、作圖等提供重要的方法和依據.垂徑定理的結構化特征主要體現在兩個方面，即外聯模塊結構化特征與內部元素結構化特征.

1.1 垂徑定理的外聯模塊結構化

圓有許多重要性質，其中最主要的性質是圓的對稱性(軸對稱性和旋轉不變性)，它是探索其他性質的基礎前提.垂徑定理正是圓的軸對稱性的具體體現(如圖1).圓的軸對稱性質是圓的一個重要模塊，這個模塊的探究方法和積累的經驗，一方面有利于圓其他類似模塊相關知識的探究，另一方面也為圖形中與軸對稱性相關知識的探究提供參考路徑.

圖1 垂徑定理外聯知識模塊結構示意圖

1.2 垂徑定理的內部元素結構化

垂徑定理的條件：①過圓心，②垂直于弦.定理的結論有：③平分弦，④平分弦所對的劣弧，⑤平分弦所對的優弧.事實上，以其中任意兩個為條件都可以得出其余結論.由于垂徑定理是圓整體的軸對稱性反映在圓局部元素特征的具體體現，因此，這里研究圓心、半徑(直徑)、弦、弧等局部元素的特征需要將這些內部元素以軸對稱為線進行結構化(如圖2).

圖2 垂徑定理內部元素結構示意圖

2 垂徑定理的結構化教學設計

2.1 學情分析

學生雖然已經學習了軸對稱等圖形變化，但運用圖形變化的觀念去發現問題、解決問題的意識還不強，因此對于垂徑定理的發現和證明，學生可能不容易想到從軸對稱的角度去思考.此外，垂徑定理的條件與結論比較復雜，條件的表述的方式比較多，部分學生不能把握條件的本質，從而導致對定理的理解不深入.

2.2 教學目標與教學重難點

(1)探索并證明垂徑定理，會用垂徑定理解決一些簡單問題.

(2)經歷實驗、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過程，體會圓的軸對稱性.

教學重點是垂徑定理的探索及初步應用；教學難點是垂徑定理的探索.

2.3 教學設計與分析

引言：圓具有怎樣的對稱性？

設計意圖：通過這個問題，既回顧了上節課研究的圓的中心對稱性，又引出了圓的軸對稱性.

(1)了解圓的軸對稱性

問題1圓的對稱軸是什么？利用課前剪好的圓形紙片，你能把圓的軸對稱性演示給同桌看嗎？

師生活動：教師要求學生課前剪好圓形紙片，激發學生從“軸對稱性”出發，借助操作直觀感受圓的軸對稱性.

設計意圖：引導學生關注圓的對稱軸，在多次、多人折疊的過程中，借助幾何直觀體會圓的軸對稱性，認識到任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.學生從直觀的“看”到具體的“做”，經歷了從具象的圓到抽象的圓的過程.

追問1：如何解釋圓的軸對稱性？

視角1：把圓沿直徑所在的直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合.

視角2：圓上任意一點關于直徑所在直線的對稱點也在圓上.

追問2：視角1我們通過操作已經觀察得到了，你能找出其中的一對對應點嗎？

追問3：視角2又如何理解呢？

生1：任取圓上一點(直徑兩端點除外)，作直徑的垂線交圓于另一點，說明這兩點到直徑的距離相等.

生2：任取圓上一點(直徑兩端點除外)，作直徑的對稱點，證明該點在圓上.

設計意圖：從兩個角度預設學生對圓的軸對稱性進行解釋.這里是在前面操作感受圓是軸對稱圖形的基礎上進一步明晰幾何學習的路徑，即既要有基于“看”和“做”下的“合情推理”，也要有“想”和“證”下的“演繹推理”.兩個方向，可以組織學生先獨立思考，然后開展合作交流.

(2)探索垂徑定理

問題2通過折紙活動，我們發現圓有軸對稱性，你能嘗試證明它嗎？

設計意圖：前面兩種視角是一種思路分析，如何證明圓有軸對稱性，需要根據不同的學情在課堂上做出合適的選擇.建議在證明“圓是軸對稱圖形”時，先引導學生厘清“軸對稱圖形”概念，進而回歸到概念上去證明.這里從演示到解釋，從圖形的標識到證明的嘗試，進而把合情推理和演繹推理結合在一起，培養學生思維的嚴謹性.

問題3在圖3中，你還有哪些發現？

師生活動：引導學生聚焦圖3，部分學生可能通過連線得到類似圖4的圖形，從“形結構”上觀察，激發學生學會在數學內部結合圓的構成元素展開聯想和思考.

圖3

圖4

設計意圖：證明“圓是軸對稱圖形”的過程中，學生必然要經歷對圖形以及元素之間關系的梳理.這一過程能夠較大程度地激發學生基于問題2中的形結構“模型”進行深層次聯想，從而發現更多的結論.這里師生活動旨在凸顯數學的思維體驗，并為后面發現“垂徑定理”的構成條件和結論作鋪墊.

追問1：回到圖3，你能發現有哪些相等的線段和弧？請用文字語言進行概括.

追問2：如何證明你的發現？

追問3：從圖5的各種情形中能得出什么結論？為什么？

圖5

設計意圖：問題3的三個追問，層次和目的明確.追問1指向厘清已有條件和發現的結論；追問2則是要求證明已經表達清楚的“發現”；追問3則是通過圖的變式，將直徑、半徑、弦心距以及過圓心的直線進行統一，通過分析發現，垂直于弦的不一定必須是直徑，也可以是半徑、弦心距、過圓心的直線，而它們的“形結構”本質特征是都過圓心.

追問4：不難看出，①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所對的劣弧，⑤平分弦所對的優弧，垂徑定理是以①②作為條件，得到結論③④⑤.我們還能從中選出一些作為條件，其余的作為結論形成真命題嗎？

師生活動：教師啟發學生先寫出命題，然后思考命題是否正確.

設計意圖：基于不同的分類組合得到不同的命題，一方面是對“垂徑定理”內涵的深度理解，另一方面也是對“垂徑定理”外延的其他形式進行辨析.組織師生活動，先寫命題，再思考命題是否正確，需要根據學情選擇部分或全部命題進行不同程度的證明或說理.追問4是在辨析定理的基礎上滲透提出問題的一種思維方式.

圖6

(3)運用垂徑定理

例1如圖6，在⊙O中，弦AB長為8 cm，圓心O到弦AB的距離是3 cm，求圓O的半徑.

設計意圖：例1重點考查“垂徑定理”的應用，難度不大，且圖形貼近定理的基本圖形.在分析題意的過程中容易激發學生聯想到定理，從而更容易結合條件分析出解題思路.

圖7

例2如圖7，有一圓弧形拱橋，拱的跨度AB為16 m，拱高CD為4 m，那么弓形的半徑是多少？

設計意圖：從例1中的求線段長到例2的求弓形半徑，是一種基于模型一致的問題解決和應用，巧妙地對“垂徑定理”進行鞏固.

問題4你能綜合運用本節課的知識，確定一張圓形紙片的圓心嗎？

追問：如果只用直尺和圓規，你能確定它的圓心嗎？

設計意圖：問題4短短的追問不僅涵蓋了本節課的全部知識內容，更有效提升了學生的直觀想象和邏輯推理能力.

(4)小結

①本節課是怎樣發現和證明垂徑定理的？

②垂徑定理的條件和結論分別是什么？

③用垂徑定理可以求得哪些量？怎樣求得？

設計意圖：通過小結，幫助學生梳理本節課的核心知識以及應用知識解決問題的方法.

3 結構化教學設計與實施的反思

3.1 結構化教學要以核心素養為導向

課程目標以核心素養為導向，而落實“四基”與“四能”的主陣地是課堂教學，因此必須對知識進行結構化整合，且實施結構化教學必須以核心素養的導向為教學目標.本節課教學目標中“探索并證明垂徑定理”，立足于“探索”，顯化于“證明”.在經歷實驗、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過程中，重在引導學生自主探尋圓中有關垂徑定理的外部知識關聯結構，以及內部元素結構特征.這樣的探尋過程具有鮮明的“邏輯性”，所聯想到的知識之間有強烈的“結構化”特征，學生在經歷從合情推理到演繹證明的過程中，發展了理性精神，形成了正確的情感、態度和價值觀.

3.2 結構化教學要體現結構化的特征

課程標準中要求數學課程內容要反映數學學科的特征，符合學生的發展規律，在內容設計時要凸顯出數學知識的結構特征，教學活動的組織要體現數學教育形態結構化安排，學生的學習獲得應該形成結構化的認知路徑和數學知識.以垂徑定理為例，本節課的設計具有較為明顯的層次性和多樣性，以問題串的形式層層推進，引導學生經歷了“看、做、想、證”等符合學生認知規律的數學活動.這樣的活動環環相扣，具有結構化特征，在這樣的活動中學生也逐步清晰地認識了圓作為軸對稱圖形的“形結構”特征.

3.3 結構化教學要關注學法的結構化

教學活動是在教師引導下學生主動學習的過程.有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.結構化教學要求教師一方面提升教的水平，另一方面要關注學生學習的結構化.教師要在“看、做、想、證”等數學活動的組織上下功夫，引導學生經歷類似垂徑定理這樣的數學發現過程；要在“適時分步介入”的問題引導上下功夫，精心預設，在預設中敏銳發現生成資源，及時地發掘生成資源的價值；要在“獨立思考、合作交流、師生共研”的教學相長的合作上下功夫，幫助學生克服畏難情緒，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，培養學生良好的學習習慣.

總之，以垂徑定理的結構化設計和教學實施為例，我們可以看到結構化的知識比碎片化的知識更有利于知識存儲與提取，更能有效促進問題的解決.因此，只有緊扣學科知識的內在結構特征進行教學設計，從整體上把握教學的邏輯結構，“教結構”，學生才能“學結構、用結構”.