基于Gold-Schmidt算法的高精度低延遲浮點平方根運算單元的VLSI實現

文/劉明，佳沐，許志良，傅文佳，張霆廷

基于Gold-Schmidt 迭代算法，筆者采用IEEE-754（2008）標準中的128 位浮點標準數據格式，模塊化地實現了浮點平方根運算單元的VLSI 電路設計。隨后，筆者對實現的128 位浮點平方根運算單元進行了仿真測試，結果表明，本文設計的硬件運算單元滿足全浮點域的精度要求。接著，筆者使用TSMC 65nm 標準工藝庫對該硬件運算單元做了邏輯綜合，結果表明，本文設計的硬件運算單元工作頻率可達800MHz，完成一次完整的128 位浮點計算需要4 個時鐘周期，最大計算誤差小于1 比特位，硬件電路面積為0.8216mm2，硬件功耗為13.87MW。

一、平方根算法簡述

目前常見的開方算法有以下幾類。

（1）數字遞歸法。該方法操作簡單，易于實現，但延遲較長，這點在精度較大的浮點數運算過程中表現得尤為明顯。

（2）函數迭代法。如Newton–Raphson 法、Householders 法和Gold-Schmidt 迭代算法，此類算法需要更多的硬件成本，卻不能保證運算結果的完全準確，此類算法的優點是快速、可擴展、易于流水線化。

（3）高基數運算法。該方法運算速度快，但實現起來較為復雜，且通常需要消耗相當大的硬件面積。

（4）查表法。該方法簡單、快速，但硬件成本較高，可擴展性較差。

基于此，本文采用Gold-Schmidt 法來設計并實現高精度、低時延的浮點平方根運算單元。Gold-Schmidt 法的迭代公式如下：

式（1）中，ri表示平方根變量；xi表示調變因子x 變量；hi表示調變因子h 變量。

初始值設置如式（2）所示：

其 中，r0≈1/X1/2是1/X1/2的近似值（查表獲取）。經過n 次迭代，筆者得到xn=X1/2。此時，筆者結合式（1），得到Gold-Schmidt 法的迭代示意圖，如圖1 所示。

二、浮點平方根運算單元的VLSI 實現

基于Gold-Schmidt 法的浮點平方根運算單元的結構如圖2所示。

如圖2 所示，sqrt_preconfig模塊主要負責對輸入的128 位浮點數data 進行異常檢測與預處理。首先，該模塊會將輸入的data分解為符號data_in_sign、指數data_in_exp以及尾數data_in_m，并計算指數偏差值exp_out；隨后，進行異常檢測，輸出異常檢測旗幟信號exception。exception 有5種可能的值：3′b000（輸入不存在異常情況），3′b001（輸入為非數，輸出為非數），3′b010（輸入為負數，輸出為非數），3′b011（輸入為正無窮，輸出為正無窮），3′b100（輸入為0，輸出為0）。同時，在檢查輸入浮點數的指數為奇數還是偶數后，該模塊還會調整尾數部分，例如將其由113 位調整為116 位，并輸出mantissa_out，以便后續sqrt_mantissa_calculation 模塊的分組計算。

三、浮點平方根運算單元的驗證與分析

（一）仿真驗證

在本研究中，仿真驗證共分為三大部分，分別是浮點異常驗證、邊界數據驗證和邏輯功能驗證。其中，浮點異常驗證主要針對的是輸入的非數（NaN）、正負無窮、0 或者不符合定義域的輸入數值，邊界數據驗證的一般是定義域邊界的輸入數值，而邏輯功能驗證的則是定義域內的浮點正規數。

基于此，筆者對此次設計的浮點平方根運算單元進行大量的隨機數據測試，測試數據包括非數、正負無窮、0、浮點正規數以及邊界數。仿真驗證結果如表1 所示。

表1 浮點平方根運算單元仿真驗證結果對比

（二）性能分析

在電路設計得到仿真驗證之后，本文根據TSMC 65nm標準工藝庫，在0.9V 的工作電壓下完成了邏輯實現和綜合，最終得到有關硬件的工作頻率、面積等邏輯綜合結果，如表2 所示。

表2 浮點平方根運算單元綜合結果

四、結語

本文對128 位浮點平方根運算單元實現了RTL 級（寄存器傳輸級）建模，并基于ModelSim硬件仿真平臺完成了平方根運算單元的邏輯功能的仿真驗證；在TSMC 65nm的標準工藝完成了邏輯實現和綜合。結果表明，本文所設計的浮點平方根運算硬件單元完成一次128位浮點計算需要4 個時鐘周期，計算誤差最大不超過128 位浮點尾數的最低位，滿足精度高、延遲低的特征。DC 邏輯綜合結果表明，當電路的工作頻率為800MHz 時，硬件電路面積為0.8216mm2，功耗為13.87MW。