新課標視域下“一致性”教學的思與行

王孝勤 李芳芳

［摘 要］數學課程要體現“一致性”。小學階段數與代數領域“數與運算”的一致性主要體現為數概念的一致性和運算本質的一致性，而圖形與幾何領域中圖形認識和測量的一致性主要體現在圖形的特征、圖形的周長和面積的測量以及角的度量上。文章探討幫助學生把握每個領域知識的一致性，打通知識之間的關聯并進行結構化整合，使學生的學習從“碎片化”走向“結構化”，進而走向“整體化”。

［關鍵詞］一致性；數概念；數運算；圖形的測量；結構化

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）32-0081-03

“一致性”為核心素養落地提供了新的視角，它反映了數學學科的本質。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）在第二學段提出“一致性”這一概念，之前是讓學生更多地感悟，在感悟的基礎上更好地理解，感受一致性存在于平時的數學學習中，而非只是一個陌生的概念，只要把握各領域的一致性，那么數學學習將不再是一個個孤立的點，而是一張有聯系的關系網。但是，如果在一年級就向學生提及計數單位等抽象的概念，會讓學生覺得數學是抽象的、不好理解的，進而使學生失去學習數學的興趣。因此，《課程標準》中提出了關注學生學習的整體性、一致性和階段性。那么，在小學階段“數”與“形”的教學中，“一致性”又該怎樣體現呢？

一、基于計數單位，理解“數與運算”本質的一致性

《課程標準》把“數的認識”和“數的運算”兩大板塊合并成“數與運算”。小學階段數的認識包括整數、分數和小數的認識，它們形式上雖有所不同，但都是計數單位個數的累加。而數的運算一致性則包括整數、小數、分數運算的一致性以及加減乘除四則運算的一致性，兩種類型的運算本質都是計數單位及計數單位個數的運算。

1.溝通關聯，感悟數概念的一致性

《課程標準》明確指出了“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識”。數概念本質上的一致性主要體現在兩個方面：一方面，整數、小數和分數都是對數量或者數量關系的抽象；另一方面，無論是整數、小數還是分數，都可以從計數單位和計數單位個數的角度去認識。

（1）基于對數量或數量關系的抽象

數是對數量的抽象，不管是整數、小數、分數，它們都是對數量的抽象。如在一年級學習數字時，課本情境圖中氣球的個數可以用數字4來表示，教師順勢提問：“4除了可以表示4個氣球，還可以表示什么？”此時學生發揮想象聯系生活，發現還可以表示4張桌子、4本書、4個面包、4朵花等，4的含義就在具體、直觀的學生熟悉的生活中抽象出來了。從具體到抽象，再到用抽象的概念去解釋具體的事物，加深了學生對數概念的理解。小數和分數的認識過程也與整數的認識一樣，比如學習小數的認識時有0.4元、0.4米、0.4時等，雖然表示的意義有所不同，但都含有0.4。認識分數時，可以在[25]米、[25]塊、[25]個中抽象出分數[25]。這些都體現了數是對具體事物數量的抽象。

數是對數量關系的抽象，在數字后面加上一個“倍”字后，用來表示一個物體和另一個物體之間的倍數關系，即表示的是兩個數量之間的關系，從這個意義上來說它們之間是充滿聯系的。

因此，不管是整數、分數還是小數，它們表達的具體的含義可能會有所不同，但是它們都可以看成是對現實事物中的數量及數量關系的抽象。

（2）基于計數單位及計數單位個數的表達

《課程標準》的教學建議中提出“在理解整數、小數、分數意義的同時，理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性”。也就是說，整數、分數、小數其實都可以看成是計數單位的累加。例如，在學生學習了整數、小數和分數之后，可以設置“根據數字涂色”的活動幫助學生理解三種數之間的聯系，讓學生體會計數單位的價值、感悟數概念的一致性。

活動及學生的作品如圖1所示。

學生表達自己的想法：75表示的是7個10和5個1，而0.75則表示7個0.1和5個0.01，它們的計數單位不同，但都在表示計數單位的個數；第三個數[34]的計數單位是[14]，圖形中是把一個正方形平均分成了4份，其中的一份就是[14]，陰影部分是這樣的3份，也就是3個[14]，它也是在表示計數單位的個數。通過觀察比較，學生發現不管是整數、小數還是分數，在表示數的含義時都是在表示計數單位和計數單位的個數。

2.把握整體，感悟數運算的一致性

《課程標準》第三學段的內容要求中有“能進行簡單的小數、分數四則運算和混合運算，感悟運算的一致性，發展運算能力和推理意識”。

（1）加減法運算的一致性

教學時，出示整數加法算式、小數加法算式、分數加法算式，并讓學生完成“算一算”“比一比”“說一說”活動。

如圖2所示是算式及學生的運算過程。

交流時學生提出，整數和小數的加法都是把相同數位對齊再進行計算，這樣相同計數單位上的數才能相加；雖然分數的計算不需要列豎式，但是要先通分再計算，通分就是把分數變成分母相同的數，這時兩個分數的分數單位就一樣了，本質還是把相同計數單位上的數相加。

然后，教師出示如圖3所示的一組減法算式，讓學生體會減法算式中也存在這樣的規律。

經過加減法算式的對比，學生已經初步感受整數、小數和分數加減法運算的一致性，以及把相同計數單位上的數相加減。

（2）乘除法運算的一致性

教師出示如圖4所示的練習，并提問：“乘除法的運算是否跟加減法的運算具有相似的規律呢？”

學生回憶之前學習小數乘法時，發現課本中是把小數乘法轉化成整數乘法再計算，也就是把2.3×6轉化成23×6來計算，轉化后的23表示23個0.1，是計數單位的個數。因此，2.3×6可以看作23個0.1乘6個1，23和6相乘，0.1和1相乘，得到138個0.1，也就是13.8。而如果從計數單位的角度思考，23×6就是23個1乘6個1，因為23和6都是計數單位的個數，而1和1都是計數單位，所以得到138個1，也就是138。因此，整數乘法和小數乘法都是把計數單位和計數單位相乘，把計數單位的個數和計數單位的個數相乘，最后得到正確的得數。

學生用同樣的思路繼續研究分數的乘法，發現在 [12]×[35] 這道分數算式中，[12]里有1個[12]，[35]里有3個[15]，用1乘3得3，[12]乘[15]得[110]，最后再用3乘[110]得[310]。因此，乘法的計算也跟計數單位和計數單位的個數有關，只是相對于加減法而言，計數單位也參與了運算。

除法是乘法的逆運算，根據上述結論，除法是不是也是計數單位與計數單位相除，計數單位的個數與計數單位的個數相除呢？學生結合3道算式驗證了自己的猜想。如整數除法138÷6可以看成138個1除以6個1，得23個1，也就是23。再如，小數除法13.8÷2.3可以看成（138×0.1）÷（23×0.1），[310] ÷ [35 ]可以看成（3×[110]）÷（3×[15]）。因此，不管是乘法還是除法，都是把計數單位和計數單位相乘除，計數單位的個數和計數單位的個數相乘除。

還可以從算理和算法中尋找一致性。如計算428÷4時，百位上的4除以4夠除，商1，十位上的2除以4不夠除，就把2個10變成20個1，再和8個1合起來，即用28個1除以4，得7個1。而計算4.2÷4時，先用4個1除以4得1個1，2個0.1除以4不夠除，可變成20個0.01，用20個0.01除以4得5個0.01，算得商1.05。兩道題目的相同之處都是當除到這一位不夠除時就把計數單位細分變成更小的計數單位繼續除。還有，[23] ÷ [35 ]其實就是把[23]、[35]的計數單位進行細分，分成以[115 ]作分數單位的分數，得[23] ÷ [35] =（2×5×[115]）÷（3×3×[115]）。學生經歷除法運算本質的探究過程后，深刻感悟整數、小數和分數的除法都是把大計數單位細分為小計數單位再進行計算，進而從“會算”走向了“會思”。

二、基于度量單位，理解“圖形的認識和測量”本質的一致性

圖形的認識和測量也存在著一致性。圖形的認識主要是對圖形的抽象，學生經歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關系。圖形的測量重點是讓學生經歷統一度量單位的過程，感受統一度量單位的意義，基于度量單位理解圖形長度、角度、周長、面積、體積等，并在此過程中感悟數學度量方法，逐步形成量感和推理意識。

1.在特征探索中，感悟圖形認識的一致性

小學階段認識的平面圖形有長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、角、圓，立體圖形有正方體、長方體、圓柱和圓錐。在認知長方形和正方形時，課本中指出長方形有4條邊、對邊相等、4個角都是直角，正方形4條邊都相等、4個角都是直角，分別從邊和角兩個維度來進行描述。后期在學習三角形、平行四邊形、梯形和角以及圓時，也都是從點、線、面（或者頂點、邊、角）這三個方面來探索圖形基本特征的。在刻畫圖形大小時，學生還認識了圖形的“高”（圓的半徑相當于“高”），高在計算面積和體積時發揮著重要的作用。因此，看似不相關的圖形，其實都有一定的關聯。

2.在單位累加中，感悟圖形測量的一致性

圖形的測量其實就是圖形中度量單位的累加。如在六年級復習課中，教師可以出示根據面積、體積公式畫圖的練習，讓學生感悟圖形測量的一致性。

練習及學生的作品如圖5所示。

學生根據長方形的面積等于長×寬，知道長方形的長是5，寬是4，畫出長方形；在推導長方形面積時，知道該長方形是用一個個小正方形拼出來的，長方形的長表示一共有多少列，長方形的寬表示一共有多少行，行數乘列數得到小正方形的個數，即長方形的面積，而每一個小正方形就是一個面積單位，一個個面積單位累加成了面積，感知面積是由面積單位累加而來的。在根據體積公式畫長方體時也是一樣的，由計算公式5×4×3得到長方體的長是5，寬是4，高是3，也就是長方體一共有3層，每層有5×4個小正方體，每一個小正方體也正是長方體的體積單位。

除了面積與體積的度量，圖形的測量還包括周長、線段以及角的度量等。圖形的度量就是看圖形中包含了多少個度量單位，即相應度量單位的累加。

當我們厘清了數學的一致性后，就可以從紛繁復雜、迷霧重重的數、算理、算法、運算、度量等數學知識點中找到一條藤蔓，引領學生經歷知識形成與發展的過程，使其不斷接近數學本質，慢慢形成數學的眼光、數學的思維、數學的語言，真正讓“一致性”融入學生的數學素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 許衛兵.小學數學整體建構教學[M].上海：上海教育出版社，2021.

[3] 王巖，逄亞楠，王均杰.單元整合重關聯 主題統整落素養：大概念下“小數乘、除法”單元設計與實踐[J].小學數學教育，2021（Z3）：13-17.

[4] 史葉鋒.主題式學習：從課堂走向未來[J].江蘇教育研究，2016（14）：55-58.

[5] 李勤.圖形與幾何：主題統整式教學實踐論[M].南京：南京出版社，2021.

【本文系2022年安徽省教育科學規劃課題“學習共同體視域下小學生表達素養提升的實證研究”（項目編號：JK22029）階段研究成果。】

（責編 楊偲培）