教軌非墨守，智慧脫尺規

王麗

［摘 要］非標準化變式訓練即通過非常規或非標準的方式來訓練學生的數學思維和解題能力。文章從調整形態、調整描述、調整構架、調整策略四個方面闡述了非標準化變式訓練的實施路徑，旨在打破傳統變式訓練的局限，促使學生從不同角度和層面去思考問題，從而培養他們的思維靈活性和創新能力。

［關鍵詞］非標準變式；變式訓練；數形結合；解題路徑；小學數學

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）32-0078-03

變式訓練是中國數學教育的一大特色，被認為是中國數學教學中促進高效學習的關鍵性手段。這種方法通過探究變化與恒定之間的關系來凸顯數學學科的本質，已廣泛應用于不同年級的數學課堂。然而，在小學教學中，這一方法的應用成效參差不齊。由于小學生的生活經驗和思維發展還相對較少，在變式訓練過程中難免會遇到一些無法預料的問題。近年的研究顯示，在很多情況下，變式訓練效果未能達到預期的原因是過度規范化，這種規范化導致學生思維單一且固化。具體而言，這種教學模式容易導致學生思維的狹隘、思考方式的僵化、邏輯推理生硬，以及缺乏解決問題的創造力。

根據經驗可知，將變式訓練由“標準化”轉向“非標準化”能夠極大地拓寬小學生思維的邊界，幫助他們跳出思維的窠臼，朝著更自然、更深刻的理解方向發展。通過科學運用“非標準化”變式訓練，不僅可以有效培養學生的數學表達習慣、邏輯思維和問題解決能力，同時還可以幫助學生構建知識體系，為他們之后的學習旅程鋪平道路。

一、調整形態：由局部至全面，引導學生思維發展

空間與圖形是一種視覺形態，而這種形態涉及運動和構造等多種屬性。教師從平面與立體、感知與判斷、位置與變化這些維度來設計非標準化變式，能夠有效凸顯空間與圖形的性質，從而提升學生對知識的認知與理解。以“正方形的認識”為例，教學設計可按照以下三個步驟開展。首先，教師可以展示學生預先收集的各種幾何物體，從三維物體中找二維圖形。其次，通過正方形和其他圖形之間的比對，明確正方形角與邊的特性。隨后，從大小、位置、方向三個角度開展各種變式訓練，以提升學生對正方形的認知與理解。

1.融合平面與立體，實施變式認知對接

當某一知識屬性保持恒定，而其他屬性發生轉變時，就形成了第一種變式。在教學正方形這一圖形相關知識時，教師引導學生從生活物體中提煉出正方形的形狀，通過對實物邊的長度、數量以及角的大小等屬性進行變式，提升學生對正方形邊與角特性的理解。

2.注重感知和辨析，開展變式教學訓練

首先，讓學生觀察生活中的實物并感受它們表面之間的差異性，然后專注于那些表面為正方形的立體實物，引導學生將正方形從三維物體中“提煉”出來。這一步的目的是借助多樣的立體實物來達到第一個認知維度。其次，對于第二和第三認知維度，則需要對各種四邊形和其他幾何形狀的邊和角進行比較，讓學生在復雜多變的非本質屬性中識別出正方形，進而掌握其核心特性。

3.結合位置與變換，構建知識框架體系

通過多種非標準化變式訓練，學生對正方形的初步理解已經逐漸形成，而且對其特性有了深入認識。然后，教師可以通過介紹多維度的位置及大小變化來加強學生對正方形的全面理解，并在應用中完成知識的整體構建。例如，不同大小的正方形、不同位置的正方形等維度。如此一來，非標準化變式已從知識外延范圍轉向了對知識核心屬性的探討。

一般而言，小學階段的學生處于從形象思維向抽象思維過渡的轉變階段，雖然能認知和記憶圖形，但在空間感上存在欠缺之處。如果教學中只開展一些標準化的變式訓練，學生在面對非標準圖形的問題時依然難以自主解決。因此，在這種教學情境下，適當加入各種非標準化變式，有助于學生對數學知識的全面化及系統化構建。

二、調整描述：由淺層入深層，深化學生數學認知

在數學教學工作中，表述方式可以分為示例、條件以及問題的展示等，這是整個數學教學的重要組成部分。非標準式的表述注重將形狀、圖像和文字進行融合轉換，利用多樣性以及多角度的描述來呈現教學內容，幫助學生在變化中篩選出知識核心特性，進而達到更深入的理解。以蘇教版一年級下冊“兩位數加減兩位數的進位加和退位減”教學為例，教師可以運用圖形與數值相結合等多種表述方式實現對分散知識點的整合，不僅有助于學生更好地理解復雜的知識概念，還能促進他們建立系統化的知識連接。

填空題：□+11= 60? ? ? 68-□=22

文字題：明明要抄寫 50 個漢字，他已經抄了 17 個，還需要抄寫幾個？

表格題：

變化的是表述路徑，不變的是知識本身，這一組練習可在強化算理的同時將不同的題型串起來，讓學生的認知形成一個完整而又四通八達的體系。

1.數形并用，架設理解之橋

數形結合是一種常見的數學教學手段，它主要是用幾何形狀來表示數字概念，再用數字來解釋幾何形狀。在非標準化變式訓練中，可以采取數字與圖形的多樣化結合方式來實現教學目標。比如，在低年級，可以使用直線來教學數字的順序和比較大小；而在高年級，運用繪制線段圖的方式可讓學生更清晰地了解數量關系在實際問題中的應用。

2.圖文轉譯，通暢知識之鏈

例如，圍繞“40-5=”這一核心算式可設計表述不同的兩層變式：表述形式變式和表述內容變式。表述形式變式為“全圖→半圖半文→全文”，遵循兒童的思維特點，從形象向抽象過渡。在表述內容上首先將“40-5=”作為本質（不變）放在買書包的情境（變化）中，幫助兒童理解“商品價錢、找回的錢和付出的錢”之間的關系；接著再將買東西的數量關系作為本質（不變）進行商品和數字的變式。

3.文辭巧述，明確思維之向

進行運算教學時，可引入帶有空白方塊的問題，如“□+3=70”或“70-□=67”，有助于學生更深入地了解加法和減法算式中各元素的相互關系，再通過文字表述來開展以下非標準化變式訓練。

（1）數字不變，情境變化。例如，“小明帶了70元去買了一本67元的書，他還剩多少錢？”。

（2）情境不變，數字變化。例如，“小明帶了70元去買了兩本書，一本35元，另一本26元，正好趕上活動日可以打9折，他還剩多少錢？”。

（3）數字和情境都變化。例如，“小麗拿了50元去購買一個價值53元的玩具，正好趕上活動日，滿50元可以打9折，買完后她還有多少錢？”。

通過這樣多維度、多層次的非標準化變式教學，不僅能有效提升學生的計算水平，還能培養其良好的實際應用能力。

簡明的文字和直觀的圖示是數學教學中的重要工具，二者除了可以單獨使用，還能完美融合在一起，從而讓數學知識變得更加連貫和系統。對于剛開始形成抽象思維的小學生而言，非標準化變式訓練中對問題的多樣化呈現形式能使教學過程循序漸進，能夠有效引導學生探索知識的深層本質。

三、調整構架：由被動變主動，轉變學生理解模式

數學中的“構架”有內外之分，外部指的是教學進程的安排，內部則是指知識體系的構建。非標準化變式中的教學結構是將二者進行有機結合，目的是讓學生避免遵循一種預定的、被動接受的學習模式，進而實現更有創造性的知識探索。以蘇教版三年級下冊中“小數”的教學為例，教師可以先讓學生觀察購物小票中的數值，讓其了解小數與整數之間的不同，然后在黑板上畫出一個正方形來表示“1元”，并讓學生在上面標記出“0.5元”，進而幫助其理解小數的含義。最后，教師還可以在正方形上標記刻度，讓學生借助測量工具來畫出不同數額，進一步鞏固學生對小數知識的理解。

1.利用反例凸顯，在對比辨析中觸摸知識

新知識之所以與原有知識不同，主要是因為它引入了與以前學過的內容不同或更深層次的概念。但是，它與原有知識又保持著緊密的聯系，通常是在原有知識的基礎上進行擴展或深化。在使用購物清單中的金額開展小數的教學時，教師開展一些變式訓練后，還要注重加入之前所學的整數內容，讓學生在訓練中嘗試主動對既學知識進行對比分辨，讓其學會對新概念進行自主總結與提煉，進而更好地掌握課堂核心內容。這種反例變式的訓練方式可以很好地幫助學生構建自身的知識體系。

2.改變構建方式，在原有體系上衍生新知

小數知識的變式除了和整數關聯，還可以和分數建立聯系，讓學生深刻明白所有十進制小數都可以用分數來表示。例如，用長方形紙表示1元，然后要求學生用這張紙來展示0.6元，學生自然會想到把這張紙平均分成10個部分，并涂色其中的6個部分。這個動手活動很好地激活了學生之前學過的知識，比如[610]，從而自然而然地將小數和分數聯系了起來。這種實踐性的變式訓練方法提供了一個更加直觀的方式，使學生清晰明了地掌握小數相關知識點。

3.轉換練習視角，在層層變式中擴大視野

在實踐教學過程中，教師可以通過使用非傳統的教學方法將不同類型的模型（如貨幣、米制、數軸等）有機結合起來。盡管模型和表達方式有所不同，但小數的基本含義保持不變。實驗表明，當學生通過自我探索發現“0.x等于[x10]”后，在后續的練習中會表現得更加出色，特別是練習與數軸相關的知識時，學生會自我糾正“小數一定小于1”的誤解，這對于其整體掌握數學知識有著很好的幫助。總之，通過改變傳統的、被動的教學方法，并在適當的時間引入創新的非標準化變式，教師能給學生提供更多觀察、推測、實踐、驗證和總結的機會。這不僅能激發學生的學習興趣，還有助于他們構建自己的知識架構體系。

四、調整策略：由套路至多元，拓展學生解題路徑

所謂“得法自然成，失法寸步難”，從教學的角度來看，選對方法對于提升學習效果有著非常關鍵的作用。以蘇教版四年級“平均數”單元教學為例，課程可以從測量全班學生的閱讀量開始，先讓學生探討哪個數字最能代表整體，進而引入平均數的概念。接著通過圖解和算式來加深學生對平均數的理解。最終，通過不同類型的問題讓學生掌握平均數的變動范圍。

1.情境變異，凸顯探索本質

提前了解學生的現有知識和生活經驗是開展教學工作的關鍵一環，而“閱讀量”這一概念符合學生的認知范圍，以此開展情境類活動對于激發學生對新知識的渴求有很好的幫助。借助探索情境的轉變，讓學生學會對變式條件進行分析與選擇，進而去除知識中的非核心因素，更加專注于知識的關鍵屬性，最終實現學生思維空間的拓展以及探究能力的提升。

2.方法變換，拓展計算領域

想要打破學生對平均數僅是“先加再除”的固有認識，教師可以通過多樣化的教學手段進行引導。例如，小組內共有8名學生，其中4名學生分別閱讀了1本書，2名學生分別閱讀了2本書，剩余2名學生分別閱讀了4本書，平均每人讀了多少本？

常規思路：（1+1+1+1+2+2+4+4）÷8=2

其他思路：（4×1+2×2+2×4）÷8=2

在實際操作中使用各種數據類型幫助學生優化計算方法，同時設計多樣的練習題，能讓他們明白計算也須個性化處理。計算方法的改進當然重要，但方法的誕生和篩選也是一個漸進的過程。教師除了注重傳統的筆算教學，還應當培養學生在巧算、口算和估算等方面的能力。

3.層次鋪墊，提升問題價值

問題解決的方法是多樣的。但不同解決方法對學生知識儲備的要求也各不相同。在教學中，可以針對不同的知識點和訓練點，以多層次的問題鋪墊引導學生深入思考。通過多層的變式鋪墊，使學生對知識的理解、對問題的思考更加深刻。

解決問題的途徑有很多種，而學生的知識儲備與學習能力也各有差異。在教學過程中，教師可以通過設計多級別的問題，促使學生更加有效地吸收和應用知識。除了基礎計算，還可以加入結果預估和數據變動兩個環節。先讓學生預估平均數，以引導他們思考平均數可能的范圍，然后改變單個數據點，讓學生實際感受到數據變動是如何影響平均數的。這種多層次的問題設計不僅加深了學生對知識的理解，同時也能極大地拓展其思考寬度。

在小學數學教學中，非標準化變式的應用為課堂帶來了更多新的可能性。非標準化變式訓練有助于學生辨別知識非核心因素，進而更加精準地掌握知識核心特質。這不僅有助于學生打破原有的思維局限，拓展學生的思維空間，還有助于其全面構建知識體系，促進學生思維發展。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 賈濤. 變式訓練在高中數學解題教學中的實踐探究[J]. 數理化解題研究，2022（15）：50-52.

[2] 陳致霞. 變式練習在小學高年級數學教學中的有效運用[J]. 新課程，2021（35）：12.

（責編 楊偲培）