以計數(shù)單位為核心，感悟運算的一致性

戴香華

摘? 要：

小學(xué)階段，不論整數(shù)計算、小數(shù)計算，還是分數(shù)計算，本質(zhì)上都是計算出計數(shù)單位以及計數(shù)單位的個數(shù)，這與數(shù)的意義和組成也保持一致。教學(xué)《分數(shù)乘分數(shù)》一課時，引導(dǎo)學(xué)生在畫圖中直觀感悟新的計數(shù)單位及個數(shù)，在說理中提取核心要素“計數(shù)單位及個數(shù)”。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；計數(shù)單位；運算一致性；《分數(shù)乘分數(shù)》

小學(xué)階段，不論整數(shù)計算、小數(shù)計算，還是分數(shù)計算，本質(zhì)上都是計算出計數(shù)單位以及計數(shù)單位的個數(shù)，這與數(shù)的意義和組成也保持一致。由此，教學(xué)《分數(shù)乘分數(shù)》一課時，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫圖操作、說理反思，以計數(shù)單位為核心，感悟基于計數(shù)單位的數(shù)的概念與運算的一致性。

一、教學(xué)過程

（一）探究算理

1.教學(xué)12×14

師? （課件出示：工人師傅在一塊長方形空地

上鋪草坪，平均每小時鋪這塊地的12，14小時能鋪這塊地的幾分之幾？）“平均每小時鋪這塊地的12”是什么意思？

生? 就是把這塊地平均分成2份，其中的一份就是它的12。

師? 我們用一張紙代表這塊地，你能在這張紙上表示出一小時鋪的地嗎？請你折一折、畫一畫。

（學(xué)生折、畫，教師選一種張貼在黑板上，涂色表示12，指出：為了方便看出平均分的份數(shù)，可以用水彩筆把折痕描出來。）

師? 這是師傅1小時鋪的面積，那么14小時能鋪這塊地的幾分之幾呢？怎么列式？

生? 12×14。

師? 為什么用乘法計算？

生? 因為求的是工作總量，就用工作效率乘工作時間。

生? 1小時鋪了這塊地的12，14小時鋪的面積只要把1小時鋪的再平均分成4份，也就是求12的14是多少，所以用乘法解決。

師? 說得都很好！那12×14到底等于多少呢？請大家利用剛才的12，繼續(xù)折一折、畫一畫，研究12的14是多少。

（學(xué)生折、畫。）

師? 我在大家的作品中選了幾個有代表性的作品，他們的表示方法對不對？

生? 對的，他們都是先表示出了12，再在12中表示出了它的14。

［說明：借助折一折、畫一畫、涂一涂這樣的操作活動，可以讓抽象的算理更為直觀，也可以讓算理的表述更有依據(jù)，外化學(xué)生的認知。通過研究“12的14”的操作活動，讓學(xué)生感受到新計數(shù)單位的產(chǎn)生過程。］

師? 現(xiàn)在你知道12×14等于多少了嗎？

生? 等于18。

師? 這里的8是哪來的？

生? 是數(shù)出來的。

生? 每個12都被平均分成了4份，這里就有2個4份，也就是8份。

師? 你的意思是，不數(shù)也能得到8？

生? 用2×4=8。

師? 這里的“2×4=8”表示什么意思？上臺指著圖說一說。

生? 這塊地先被平均分成了2份，每一份又被平均分成了4份，一共是8份。

師? 經(jīng)過兩次平均分，這塊地被平均分成了2×4也就是8份，那么每一份就變——

生? 每一份變小了。

師? 你知道現(xiàn)在的每一份是多少嗎？

生? 現(xiàn)在的每一份都表示這塊地的18。

［說明：從動手畫圖到心中有圖，根據(jù)圖示思考“8是哪里來的”：不論哪種折法，都是先平均分成2份，每一份再平均分成4份，共計8份。引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注到分的份數(shù)發(fā)生了改變，計數(shù)單位發(fā)生了變化，讓學(xué)生初步認識分數(shù)乘分數(shù)的本質(zhì)。］

2.教學(xué)12×34

師? 34小時呢？會算嗎？這里的12×34表示什么意思？

生? 表示12的34是多少。

師? 請你再折一折、畫一畫，研究一下12×34等于多少？

（學(xué)生在之前的紙上繼續(xù)折、畫。）

師? 12在哪里？12的34又在哪里？結(jié)果是多少？8是怎么得到的？這里的8表示什么？還可以表示什么？

3表示什么？

生? 8表示單位“1”被平均分成了8份。

生? 3表示有3個18。

師? 18在這里是什么？它是哪里來的？

生? 18是分數(shù)單位，也就是新的計數(shù)單位。

生? 是2×4得來的。

師? 2×4得到的是8，18應(yīng)該是——

生? 是12×14得來的。

師? 看來用原來12的計數(shù)單位乘34的計數(shù)單位，就會得到新的計數(shù)單位。這里新的計數(shù)單位就是——

生? 18。

師? 有幾個這樣新的計數(shù)單位？3除了數(shù)出來以外，還可以怎么得到？

生? 用1×3得到。

師? 這兩道算式有什么相同與不同？

生? 這兩道算式分母相同，都是2×4=8，單位“1”被平均分成了8份，所以分數(shù)單位相同，也就是新的計數(shù)單位相同。只是分子不同，即計數(shù)單位的個數(shù)不同。

［說明：有了之前12×14的經(jīng)驗，學(xué)生能夠算出12×34的結(jié)果，但是對其中算理的理解尚不夠透徹。在之前表示12×14的圖上調(diào)整，很容易得到12×34的結(jié)果。多次反復(fù)由圖到式，再由式回到圖，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生透徹理解新的計數(shù)單位以及計數(shù)單位個數(shù)的含義，初步感悟運算的一致性。］

3.教學(xué)34×78

師? 帶著以上學(xué)習(xí)經(jīng)驗，我們一起來試著算一算34×78等于多少。

生? 34×78應(yīng)該等于2132。

師? 請你利用手邊的材料，折一折、畫一畫、涂一涂，驗證一下我們的計算是否合理，并說出其中的道理。

（學(xué)生折、畫。）

［說明：借助之前兩次操作，學(xué)生能夠感悟出34×78的算法和結(jié)果，此處的操作活動主要起到驗證結(jié)果和固化算法的作用。］

師? 前面并沒有132，這里的132哪來的？

生? 14×18=132。

師? 14和18又是什么？

生? 是算式中兩個分數(shù)的計數(shù)單位。

師? 原來兩個計數(shù)單位相乘就會得到新的計數(shù)單位。分子21呢？表示什么？怎樣能快速得到21呢？

生? 表示有21份，即有21個這樣的計數(shù)單位。

生? 用3×7=21。

［說明：追問“這里的132哪來的”和“分子21表示什么”，促進學(xué)生對計數(shù)單位的認知和重視，在計數(shù)單位個數(shù)與分子之間建立聯(lián)系，理解分數(shù)乘法算理的本質(zhì)。］

4.歸納算法

師? 現(xiàn)在，你能說說分數(shù)乘分數(shù)怎么計算嗎？

生? 用分子乘分子的積做分子，用分母乘分母的積做分母。

師? 分母乘分母會得到什么？

生? 會得到新的分母。

生? 也就是得到了新的分數(shù)單位。

師? 那分子乘分子呢？

生? 表示新的計數(shù)單位的個數(shù)。

生? 表示有這樣的多少份。

［說明：理解分數(shù)乘分數(shù)算理的核心就是借助圖形理解分母乘分母、分子乘分子所表示的含義。借助三道算式的探究，通過觀察、比較、反思，從直觀感知上升到理性思考，有效提升學(xué)生對算理和算法的把握。］

（二）即時運用

師? （依次出示兩道算式：34×34，34+34）會算嗎？為什么乘法中分數(shù)單位是116，而加法里分母不變，也就是計數(shù)單位不變，只把分子累加呢？

生? 因為乘法是平均分成4份后，再把每一份平均分成4份，也就是16份，計數(shù)單位會發(fā)生改變；而加法是把單位“1”平均分成4份后，求3份加3份是多少，只分了一次，計數(shù)單位不發(fā)生變化。

師? 我們還可以怎樣算34+34？

生? 34+34=34×2。

師? 34×2是我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的分數(shù)乘整數(shù)，今天所學(xué)的分數(shù)乘分數(shù)的知識是不是也能解釋昨天學(xué)習(xí)的分數(shù)乘整數(shù)呢？

生? 可以，只要把2想成21就可以了，分母4×1還等于4，分子3×2等于6。

生? 也可以把分母4和分子2先約分再計算，會更加方便一些。

［說明：加入同分母分數(shù)加法，“逼迫”學(xué)生對算理的理解走向深入：同分母分數(shù)相乘的時候，分母會發(fā)生改變，也就是會產(chǎn)生新的計數(shù)單位；而同分母分數(shù)相加的時候，分母不變，分子相加就可以了。］

二、教學(xué)反思

（一）畫圖，直觀感悟新的計數(shù)單位及個數(shù)

計數(shù)單位的概念比較抽象，分數(shù)乘分數(shù)的算理也很抽象。雖然多數(shù)學(xué)生在教學(xué)前已經(jīng)能夠正確計算，但對算理的理解多半“不知其所以然”，抓住算理的本質(zhì)才是計算教學(xué)的核心所在。本課，讓學(xué)生動手畫一畫、折一折、涂一涂，借助直觀圖形將抽象的算理形象化、直觀化、可視化，感悟分數(shù)乘分數(shù)的算理本質(zhì)上就是探尋計數(shù)單位及計數(shù)單位的個數(shù)，有效降低了算理表達的難度。

能用不同語言表述算理并相互轉(zhuǎn)換是判定理解與否及理解程度的一個指標(biāo)。從這個意義上說，學(xué)生會列式計算后，還應(yīng)該會畫圖解釋、會操作演示、會語言說明，將內(nèi)化的思維轉(zhuǎn)變成外在的表達。本課中，12×14較為簡單，重在關(guān)注兩次分的過程中分的份數(shù)發(fā)生了變化。12×34，不僅計數(shù)單位發(fā)生了變化，計數(shù)單位的個數(shù)也發(fā)生了變化。34×78，順承先前的思路，讓學(xué)生用不同的手段深化理解算理。

三道算式的教學(xué)，各具其義，層層進階，充分發(fā)揮圖形的直觀優(yōu)勢，幫助學(xué)生感悟分數(shù)乘分數(shù)算理的本質(zhì)。

（二）說理，提取核心要素“計數(shù)單位及個數(shù)”

只有動手操作，沒有數(shù)學(xué)思考，不能在學(xué)具操作與數(shù)學(xué)理解之間建立聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識難以得到內(nèi)化。學(xué)生只有對圖與式的緊密聯(lián)系有著較為準(zhǔn)確的把握，才能真正理解

算理。因此，教師要做的就是在學(xué)生呈現(xiàn)各種不同的想法時，把握住需要突出的重點，引領(lǐng)學(xué)生

打通不同方法之間本質(zhì)上的關(guān)聯(lián)，提取出核心要素，加深對運算一致性的感悟。

從算式出發(fā)，采用問題驅(qū)動的方式，可以實現(xiàn)從對分數(shù)意義的認識走向?qū)λ憷淼纳钊胨伎肌！?8、132是哪里來的，表示什么意思”“21是怎么得到的”“為什么乘法中分數(shù)單位是116，而加法里計數(shù)單位不變”，這些問題直逼學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”。此時，學(xué)生對分數(shù)乘分數(shù)的理解不再停留在直觀圖形上，而是走向?qū)?shù)與運算更為準(zhǔn)確的認知，也就是“分母乘分母確定了新的計數(shù)單位，分子乘分子確定了分數(shù)單位的個數(shù)”，達成從初步體會到深刻理解的過渡。