非交換擬鞅的原子分解

李春燕，姚長征

（新鄉學院數學與統計學院，河南 新鄉 453003）

20 世紀70 年代，人們開始研究非交換鞅。 其中，第一個非交換鞅不等式是由I. Cuculescu［1］得到的非交換鞅的弱(1,1)型不等式。 在以后的20 多年里，非交換鞅的研究一直停滯不前， 這是因為在經典的鞅空間理論研究過程中，一些常用的方法（如停時和極大函數方法）在非交換的情形下是不能直接應用的，這使得經典的鞅結果在向非交換情形拓展時變得舉步維艱。因此，人們需要引進新的工具和方法。 1997 年，G. Pisier 等［2］得了重大突破， 證明了非交換鞅的Burkholder-Gundy不等式和Fefferman 對偶定理等非交換結果。 以后，非交換鞅的研究進入快速發展階段，研究成果不斷涌現。

原子分解是研究經典鞅論和調和分析的重要工具。 T. N. Bekjan 等［3］對非交換鞅Hardy 空間H1和h1進行了原子分解。 Z. Q. Chen［4］得到了非交換小指標鞅空間上的原子分解。 這些成果對非交換鞅的發展起到了至關重要的作用， 為人們研究非交換擬鞅空間的原子分解提供了思路和方法。在本文中，我們定義了非交換擬鞅的條件Hardy 空間,證明了當0

1 定義及符號

設(Mn)n≥1是von Neumann 代數M中的一列遞增的子σ代數流，且滿足Mn的并在M中是弱*-稠密的，ε nε(0=0)是關于Mn的條件期望。

定義1：若對任意的n≥1,xn∈L1(Mn),則稱序列x=(xn)n≥1是適應的。 若x n∈L1(Mn?1),則稱序列x=(xn)n≥1是可料的。 若εn(xn+1)=xn(n≥1),稱L1(M)中的序列x=(xn)n≥1為關于(Mn)n≥1的鞅。

此外，設0

若||x||p<∞,則稱x是L p(M)有界的鞅。

定義2： 設0

定義3： 設0

定義4：設0

定義5：設0

2 非交換擬鞅的原子分解

引理1：設0

由文獻［5］可知，對于任意的j≥1,存在等距的右Mj-模映射對于任意的y∈L2(M),z∈L2(M),有u j(y)?u j(z)=εj(y?z)?e1,1。因此，有

其中bn,i=un?1(d n(ai))。

引理2［2］:設0

定理1：設0

證明：假設x=(xn)n≥1是M中的有界擬鞅，s c,n(x)是可逆的，否則可構造一列逼近s c,n(x)的可逆算子。

在以下證明過程中，把sc,n(x)簡記為s n(x)。 設m≥2,令

注意到

由引理2 可知

利用擬鞅定義和式（1）可得

又注意到

則由式（2）和式（3）可得