平面圖形翻折 解題思維展示

摘要：文章結合一道平面圖形翻折題的多視角、多方法解析，歸納解題規律，拓展解題思維，引領并指導解題研究．

關鍵詞：動點；翻折；軌跡；極端

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（202301-0032-03

收稿日期：2022-10-05

作者簡介：劉金剛（1982.12-），男，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

立體幾何是高中數學的主線之一，也是高考考查的主干內容之一．近年高考對立體幾何的考查，在直觀想象與創新意識等方面的要求較高，而平面圖形翻折成立體幾何的問題，就是其中一種比較吻合的考點．對于這類平面圖形的翻折問題，我們要化“動”為“靜”，“動”中取“靜”，“動”“靜”結合，找到點、直線、平面等相關要素之間變與不變的量，以及翻折過程中關鍵點的變化軌跡，合理切入，巧妙應用．

1 問題呈現

問題在△ABC中，已知AB=2BC=4，AC=23，動點M在線段AC上（不與端點重合），將△ABM沿直線BM翻折，使線段AB上存在一點N，滿足CN⊥平面ABM，若NB>λ恒成立，則實數λ的最大值為_______.

此題以一個直角三角形所對應的平面圖形為問題背景，結合線段上的動點與頂點所對應的直線進行翻折變化，構建相應的立體幾何圖形，利用另一線段中的存在點滿足線面垂直關系來合理創設，進而確定線段長度的變化情況，結合不等式恒成立引入參數，巧妙確定參數的最值問題，內涵豐富，知識交匯，形成一個“動”“靜”結合、“定值”“最值”鏈接的創新情境問題．

2 問題破解

解法1（運動直觀法）由運動相對性，不妨固定△ABM，將△BCM繞BM翻折，作點C關于BM的對稱點C1，連接CC1，交BM點E，則點C在翻折時的軌跡為以E為圓心，CE為半徑的圓.

由題意CN⊥平面ABM，可知點C在底面ABM的投影點N在CC1上.

又點N在線段AB上，所以點N為線段CC1與AB的交點，當且僅當∠CBC1≥∠CBA時滿足題意.

如圖1所示，當點M從點C移動到點A的變化過程中，BN的長度由大變小，所以當點M與點A重合時，此時NBmin=1（因不含端點，故最小值1取不到）.

要使得NB>λ恒成立，則實數λ的最大值為1.