基于變密度法的約束阻尼結構拓撲優化研究

徐金府，周青山，欒福強

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

約束阻尼板結構（Constrained Layer Damping，CLD）主要依靠粘彈性阻尼材料剪切變形耗散振動能量實現主體結構的振動和噪聲的降低，其具有結構簡單、技術實施方便、減振降噪效果好、高可靠性等優點[1]，被廣泛應用于大型船舶、航空航天機構、汽車等承載板殼減振降噪的設計中。在最初的減振設計中，約束阻尼材料覆蓋于整個基礎結構表面，這樣做能達到減小振動的效果，會使得結構質量增加而與輕量化設計的要求相悖。因此，在輕量化設計的要求下，為了實現材料的有效利用，必須開展約束阻尼結構的拓撲優化設計。

有關約束阻尼結構參數的優化設計研究已取得豐碩的成果[2-4]，大多數都是用結構的峰值響應和損耗因子作為對應的目標函數，優化設計約束阻尼板材料的幾何尺寸以及材料屬性。優化參數時，對象大多是表面涂蓋約束阻尼材料的結構，但是很難實現材料的充分利用。約束阻尼結構拓撲優化是一種有效的減振降噪技術手段。Ansari 等[5]采用水平集法（Level Set Method，LSM）對薄板結構上約束阻尼材料的位置和形狀進行了優化設計，利用實驗方法驗證了數值結果的準確性；Zhang 等[6]將漸進優化方法（Evolutionary Structural Optimization,ESO）和遺傳算法（Genetic algorithm，GA）相結合，提出了約束阻尼結構的分級優化策略，實現了約束阻尼材料在基板各個區域的二次優化配置，獲得了更好的減振降噪效果；Zheng 等[7]提出了一種以模態損耗因子最大化為目標的約束阻尼板結構的拓撲優化方法，并采用移動漸近線法（Method of moving Asymptotes，MMA）搜索薄板約束層阻尼布局的拓撲構型。上述文獻表明，開展約束阻尼結構的優化設計不僅可以滿足輕量化設計要求，而且可以試想更好的減振降噪效果。

變密度法一般假設單元之間存在一個相對的密度，相對密度的值被認為是[0，1]之間的一個連續變量，元素的密度通過建立一個內部材料插值模型來影響它的材料特性，改變單元的密度，進而改變結構的性能，使其性能達到最優。焦洪宇[8]等人基于變密度法建立了矩形懸臂梁的周期性拓撲優化模型；許小奎等[9]提出了一種密度體積的插值方法來減少變密度法中灰度單元的數量；董莉[10]等人基于變密度法提出一種多材料任意比例混合的連續體拓撲優化方法。可見，變密度法可以實現復雜連續體結構的優化設計，且相對于其他方法計算效率更高。

本文研究了基于變密度法的約束阻尼結構拓撲優化問題，以模態損耗因子為目標函數，約束阻尼材料的體積為約束條件，構建約束阻尼結構的拓撲優化模型。利用伴隨向量法計算目標函數對設計變量的靈敏度，采用優化準則法更新設計變量對模型進行求解。本文討論了四邊固支和懸臂的約束阻尼板結構的優化設計問題。數值結果表明，優化后約束阻尼板結構的模態損耗因子提升比基本在50%以上，且振動響應有明顯的抑制。

1 約束阻尼結構動力學模型

如圖1 所示，將約束阻尼復合單元考慮為一個二維四節點單元[8]。每個單元由基板層、粘彈性阻尼層和約束層組成，每個節點有7 個自由度，分別是基板層中性面內沿著x、y 方向的位移ub、vb；約束層中性面內沿著x、y 方向的位移uc、vc；整個復合單元的橫向位移w 以及繞x 軸和y 軸的轉角φx和φy。

圖1 CLD 復合單元有限元模型Fig.1 The CLD composite element finite element model

根據彈性力學板殼理論和振動理論，同時考慮粘彈性阻尼材料的剪切模量為復常數模型，約阻尼結構的有限元動力學方程為

式中：M，K——約束阻尼板結構的總體質量矩陣和剛度矩陣；KR，KI——總體剛度矩陣K 的實部和虛部，表達式可以寫為

2 基于變密度法的拓撲優化設計

2.1 SIMP 插值方法

基于SIMP 插值模型，約束阻尼結構的質量矩陣和剛度矩陣可以表示為

式中：xi——第i 個復合單元的密度；p——懲罰因子，本文中取p=3。

2.2 優化模型

采用基于SIMP 的優化準則法以約束阻尼結構模態損耗因子最大化為目標進行拓撲優化，優化模型可以表示如下：

式中：ηr——第r 階模態損耗因子；xi——設計變量即第i 個單元的密度；vi——第i 個單元的體積；V0——單胞的體積；f——實體材料規定的體積分數約束。

2.3 靈敏度分析

本文采用伴隨向量法進行靈敏度分析。為避免計算目標函數中振型對設計變量的偏導數，以及方便采用優化準則法更新設計變量，通過引入伴隨向量μ1和μ2將目標函數改寫為

為了計算目標函數對設計變量的靈敏度，需要求解公式（9）計算伴隨變量μ1和μ2。

式（5）中質量矩陣和剛度矩陣對設計變量的靈敏度為

2.4 設計變量更新準則

本文利用優化準則法更新設計變量對優化模型進行求解。首先，針對優化問題式（6）構造相應的拉格朗日函數為

式中：λ1，λ2，λ3——拉格朗日乘子，λ1為標量，λ2和λ3為矢量。再利用庫恩-塔克條件（KKT）條件，可以得到設計變量的更新準則：

3 數值算例

本節通過2 個數值算例說明該方法的有效性，第1 個是四邊固支的矩形約束阻尼板，第2 個是懸臂的矩形約束阻尼板。2 個板結構的材料屬性相同如表1 所示。粘彈性阻尼材料的剪切模量采用復常數模型，損耗因子取0.5。

表1 約束阻尼板結構各層材料幾何參數和物理參數Tab.1 Geometric and physical parameters of each layer of constrained damping plate structure

3.1 四邊固支的約束阻尼板結構

根據本文所提出的方法，以四邊固支的約束阻尼板結構的1 階模態、2 階模態損耗因子最大化為目標、約束阻尼材料體積分數為0.5 作為約束條件進行優化。劃分的單元數量為40×30，每個單元的初始設計密度為0.5，尺寸為0.01 m×0.01 m。約束阻尼板初始構型的1 階、2 階模態的損耗因子分別為0.056 0 和0.060 7。優化后的約束阻尼板結構拓撲構型如圖2 所示，圖2 中陰影部分為約束阻尼材料的布置區域。對應的優化迭代歷程如圖3 所示。可見，隨著迭代步數的增加，目標函數和體積分數均趨于穩定且收斂。

圖2 四邊固支的約束阻尼板結構最優構型Fig.2 Optimal configuration of CLD plate with clamped four edges

圖3 四邊固支的約束阻尼板結構的優化迭代歷程Fig.3 Optimization iteration process of CLD plate with clamped four edges

優化后模態損耗因子分別為0.136 2 和0.162 9，相對于初始構型模態損耗因子分別提高58.88%和62.74%。優化前后的約束阻尼板結構的位移響應如圖4 所示。可以看出，優化后約束阻尼板結構的振動幅值得到有效抑制。

圖4 四邊固支的約束阻尼板結構的位移響應Fig.4 Displacement response of CLD plate with clamped four edges

3.2 懸臂的約束阻尼板結構

改變約束阻尼板結構的邊界條件，以懸臂的約束阻尼板結構的1 階模態、2 階模態的損耗因子最大化為目標，約束阻尼材料的體積分數為0.5 作為約束條件，進行優化設計。板結構的初始構型、尺寸和單元數量與上述算例相同。約束阻尼板初始構型的1 階、2 階模態的損耗因子分別為0.065 4 和0.076 1。優化后的約束阻尼板結構拓撲構型如圖5所示。圖5 中陰影部分為約束阻尼材料的布置區域，對應的優化迭代歷程如圖6 所示。

圖5 懸臂的約束阻尼板結構最優構型Fig.5 Optimal configuration of cantilever CLD plate

圖6 懸臂的約束阻尼板結構的優化迭代歷程Fig.6 Optimization iteration process of cantilever CLD plate

優化后的模態損耗因子分別為0.133 7 和0.122 3，相對于初始構型模態損耗因子分別提高51.08%和37.78%。優化前后的約束阻尼板結構的位移響應如圖7 所示。可以看出，優化后的約束阻尼板結構的振動幅值得到有效的抑制。

圖7 懸臂的約束阻尼板結構的位移響應Fig.7 Displacement response of cantilever CLD plate

4 結論

本文采用有限元方法建立約束阻尼結構的動力學有限元模型。基于SIMP 插值方法以模態損耗因子最大化為目標，約束阻尼材料用量為約束構建約束阻尼結構的拓撲優化模型。利用伴隨向量法推導了目標函數對設計變量的靈敏度，通過優化準則法對優化模型進行求解。分別考慮了四邊固支和懸臂的約束阻尼板結構的優化設計問題。數值結果表明：優化后約束阻尼板結構的模態損耗因子提高比基本在50%以上，且振動響應值有明顯抑制。